2023-2024学年浙江省丽水市五校高中发展共同体高一（下）联考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省丽水市五校高中发展共同体高一（下）联考数学试卷（4月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在△ABC中，BC=a，CA=b，则AB等于( )
A. a+bB. −a−bC. a−bD. b−a
2.若复数z满足z(2−i)=2i，i是虚数单位，则在复平面内z对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2 3，则角B的值为( )
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
4.已知复数z=a+bi(a,b∈R)，i是虚数单位，若z−2z−=2+3 3i，则复数z的虚部为( )
A. 3B. 2 3C. 3iD. 2 3i
5.已知向量a=(−4,3)，则与向量a方向相反的单位向量是( )
A. (−45,35)B. (45,−35)
C. (−45,−35)D. (45,−35)或(−45,35)
6.已知△ABC三条边上的高分别为3，4，6，则△ABC最小内角的余弦值为( )
A. 78B. 158C. 1124D. 724
7.已知圆O的半径为2，弦AB的长为2，C为圆O上一动点，则|AC+BC|的取值范围是( )
A. [0,2]B. [0,4]
C. [2− 3,2+ 3]D. [4−2 3,4+2 3]
8.在△ABC中，已知AB=2AC，∠BAC=120°，若D，E分别是BC的三等分点，其中D靠近点B，记a=AB⋅AD,b=AD⋅AE,c=AE⋅AC，则( )
A. a2b”是“sinA>sin2B”的不必要条件，
综上：“a>2b”是“sinA>sin2B”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，由正弦定理可得 sinA： sinB： sinC= a： b： c，
不妨设a2 ab>0，
所以( a+ b)> c，故D正确．
故选：BCD．
对于A，根据三角形内角和定理，三角函数的诱导公式分析可得结论；
对于B，根据三角形内角和定理，三角函数的诱导公式分析可得结论；
对于C，利用二倍角公式与正弦定理，由a>2b，可得sinA>sin2B，反之不成立，可得结论；
对于D，根据正弦定理边化角，结合三角形三边满足的关系即可求解．
本题考查的知识要点：正弦定理，三角函数恒等变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A选项，设△ABC的重心为M，由题意可知，D，E，M三点共线，
所以存在λ使得AM=λAD+(1−λ)AE，则AM=λxAB+(1−λ)yAC，
又AM=23×12(AB+AC)=13(AB+AC)，所以λx=13(1−λ)y=13，
化简得1x+1y=3，故A正确；
对于B选项，S△ADE=12×|AD|×|AE|×sinA,S△ABC=12×|AB|×|AC|×sinA，
又因为AD=xAB,AE=yAC，即|AD|=x|AB|，|AE|=y|AC|，
所以S△ADES△ABC=12×|AD|×|AE|×sinA12×|AB|×|AC|×sinA=xy，
因为1x+1y=3≥2 1xy，当且仅当x=y时等号成立，所以xy≥49，
所以S△ADES△ABC的最小值为49，故B正确；
对于C，D，因为BA=BC+CA，所以DE⋅BA=DE⋅(BC+CA)，即DE⋅BA=DE⋅BC+DE⋅CA，
又因为DE−⋅BA=|DE|⋅|BA|cs∠EDA=c|DE|csθ，
DE⋅BC=|DE|⋅|BC|cs(B−θ)=a|DE|cs(B−θ)，
DE⋅CA=|DE|⋅|CA|cs(A+θ)=b|DE|cs(A+θ)，
所以c|DE|csθ=a|DE|cs(B−θ)+b|DE|cs(A+θ)，
所以ccsθ=acs(B−θ)+bcs(A+θ)，故D正确，C错误．
故选：ABD．
对于A，设△ABC的重心为M，由题意可知，D，E，M三点共线，AM=13AB+13AC，化简判断A；对于B，S△ADE=12×|AD|×|AE|×sinA，S△ABC=12×|AB|×|AC|×sinA，结合AD=xAB,AE=yAC，判断B；对于C，D，借助向量表示得DE⋅BA=DE⋅BC+DE⋅CA，化简，判断C，D．
本题考查了三角形的面积公式、基本不等式和向量数量积公式，属于中档题．
12.【答案】5 2
【解析】解：复数z=m−5ii−1=(m−5i)(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−m−5+(5−m)i2=−m−52+5−m2i为纯虚数，
则−m−52=05−m2≠0，解得m=−5，
故|z+m|=|−5+5i|= (−5)2+52=5 2．
故答案为：5 2．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，复数模公式，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，复数模公式，属于基础题．
13.【答案】(25,45)
【解析】解：b=(1,2)，
则|b|= 5，
|a+b|=|2a−b|，|a|=2，
则a2+2a⋅b+b2=4a2−4a⋅b+b2，即4+6a⋅b+5=16+5，解得a⋅b=2，
故向量a在向量b上的投影向量的坐标是：a⋅b|b|2×b=25b=(25,45)．
故答案为：(25,45)．
根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
14.【答案】6 5
【解析】解：因为sin∠ACD=3 1414，所以cs2∠ACD=1−914=514．
由BP=2PD，得AP−AB=2(AD−AP)，整理得AP=13AB+23AD，所以CA=−2AP=−23AB−43AD，
可得CD=CA+AD=−23AB−13AD，设AB⋅AD=x，
则CA⋅CD=(−23AB−43AD)⋅(−23AB−13AD)=49AB2+109AB⋅AD+49AD2=49×36+109AB⋅AD+49×9=20+109x，
而|CA|2=(−23AB−43AD)2=49AB2+169AB⋅AD+169AD2=49×36+169AB⋅AD+169×9=32+169x，
|CD|2=(−23AB−13AD)2=49AB2+49AB⋅AD+19AD2=49×36+49AB⋅AD+19×9=17+49x，
由cs∠ACD=CA⋅CD|CA|⋅|CD|两边平方，得cs2∠ACD=(CA⋅CD)2|CA|2⋅|CD|2=514，即(20+910x)2(32+169x)(17+49x)=514，
化简整理，得x2+30x+216=0，解得x=−18或x=−12，
当x=−18时，AB⋅AD=|AB|⋅ADcs∠BAD=−18，即6×3cs∠BAD=−18，
可得cs∠BAD=−1，∠BAD=180°，不符合题意，舍去．
当x=−12时，同理可得6×3cs∠BAD=−12，即cs∠BAD=−23，可得sin∠BAD= 1−cs2∠BAD= 53(舍负)．
所以S△ABD=12AB⋅ADsin∠BAD=3 5，结合P为AC中点，可得S△CBD=S△ABD=3 5，
因此，四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD=6 5．
故答案为：6 5．
根据同角三角函数的平方关系算出cs2∠ACD=514，然后以向量AB,AD为基底表示出CD,CA，利用平面向量的数量积与夹角公式列式算出AB⋅AD=−12，进而可得sin∠BAD= 53，再根据三角形的面积公式算出S△ABD=3 5，结合P为AC中点算出四边形ABCD的面积．
本题主要考查平面向量的线性运算、向量的数量积与夹角公式、同角三角函数的基本关系与三角形的面积公式等知识，属于中档题．
15.【答案】解：(1)设a与b的夹角为θ，
因为(2a+b)⊥b，所以(2a+b)⋅b=2a⋅b+b2=0，
又|a|=3,|b|=4，所以2×3×4×csθ+16=0，
所以csθ=−23，
所以向量a与b夹角的余弦值为−23．
(2)|a|=3，|b|=4，csθ=−23，
则|a+12b|2=a2+a⋅b+14b2=9+3×4×(−23)+14×16=5，
所以|a+12b|= 5．
【解析】(1)根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解；
(2)将|a+12b|平方并开方，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
16.【答案】解：(1)由2ccsA=2b−a，以及正弦定理可得：2sinCcsA=2sinB−sinA，
即2sinCcsA=2sin(A+C)−sinA=2sinAcsC+2csAsinC−sinA，
即2sinAcsC−sinA=0，又在△ABC中，sinA≠0，所以csC=12，
又C∈(0,π)，所以C=π3；
(2)由余弦定理c2=b2+a2−2bacsC，
得12=4+a2−2a⇒a2−2a−8=0，由a>0得a=4，
所以△ABC的面积S=12basinC=12×2×4sinπ3=2 3．
【解析】(1)根据正弦定理可得角C；(2)根据余弦定理可得a，代入面积公式即可．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题．
17.【答案】解：(1)因为M是BC的中点，
所以AM=12(AB+AC)=12a+12b，
设PN=tBN=t(AN−AB)，
因为AN=13AC，
所以AP=AN+NP=AN−t(AN−AB)=(1−t)AN+tAB=13(1−t)AC+tAB，
即AP=13(1−t)b+ta，
由AP,AM共线，得13(1−t)=t，解得t=14，
所以AP=13(1−t)b+ta=14b+14a，
所以PN=AN−AP=13AC−AP=13b−(14b+14a)=−14a+112b，
综上所述，AM=12a+12b，PN=−14a+112b．
(2)BN=BA+AN=−AB+xAC=−a+xb，
因为AM⊥BN，
所以AM⋅BN=(12a+12b)⋅(−a+xb)=−2+8x+4(12x−12)=0，
解得x=25．
【解析】(1)根据平面向量的基本定理，结合平面向量的线性运算法则，求解即可；
(2)用基底分别表示出AM，BN，再由AM⋅BN=0，可得关于x的方程，解之即可．
本题考查平面向量的运算，熟练掌握平面向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为a2−b2sin(A−B)=c2 3csC，
由余弦定理a2−b2=c2−2bccsA，及正弦定理asinA=bsinB=csinC得
a2−b2c2=c2−2bccsAc2=c−2bcsAc=sinC−2sinBcsAsinC
=sin(A+B)−2sinBcsAsinC=sinAcsB+csAsinB−2sinBcsAsinC
=sinAcsB−csAsinBsinC=sin(A−B)sinC．
所以sin(A−B)sinC=sin(A−B) 3csC，又sin(A−B)≠0，
所以sinC= 3csC⇒tanC= 3，
所以C=π3；
(2)c2a2+b2=a2+b2−aba2+b2=1−aba2+b2=1−1ab+ba，
因为ab+ba≥2，所以0