湖南省长沙市浏阳市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共25道题（其中选择题10道，主观题15道），考试时间120分钟，总分120分，考试形式为闭卷；
2．答题前，请考生在答题卡上将自己的班级、姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上信息；
3．选择题请用2B铅笔填涂，非选择题用签字笔在答题卡对应题号位置作答；
4．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁．
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各图中，和是对顶角的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是对顶角的概念，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，根据对顶角的概念判断即可．
【详解】A．图中和是对顶角，符合题意；
B．图中和的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意；
C．图中和没有公共顶点，不是对顶角，故不符合题意；
D．图中和的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故不符合题意；
故选A．
2. 如果，，那么，这个推理的依据是（ ）
A. 等量代换B. 平行线的定义
C. 两直线平行，内错角相等D. 垂直于同一直线的两条直线平行
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据判定方法即可求解，熟练掌握在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行是解题的关键．
【详解】如果，，那么，这个推理的依据是在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，
故选：．
3. 如图，直线，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，先由两直线平行，同位角相等得出，再根据邻补角求出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：B．
4. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 两点之间，垂线段最短B. 有理数的绝对值都是正数
C. 等角的补角相等D. 同位角相等
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了真命题的定义、两点之间，线段最短，绝对值，余角和补角的定义、平行线的性质，据此相关性质内容想逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、两点之间，线段最短，故该选项是错误的；
B、0是有理数，0的绝对值是0，并不是正数，故该选项是错误的；
C、等角的补角相等，故该选项是正确的；
D、两直线平行，同位角相等，故该选项是错误的；
故选：C．
5. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根以及立方根，先分别算出各个选项的算术平方根以及立方根，再与等号右边的值进行比较，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是正确的；
D、，故该选项是错误的；
故选：C
6. 下列是二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此求解即可．
【详解】解：A、不是方程，不是二元一次方程，不符合题意；
B、只含有一个未知数，不是二元一次方程，不符合题意；
C、不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意；
D、是二元一次方程，符合题意；
故选：D．
7. 下列坐标中，在第四象限内的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了第四象限内点的坐标特点，熟知第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负是解题的关键．
【详解】解：∵第四象限内点横坐标为正，纵坐标为负，
∴四个选项中只有B选项符合题意，
故选：B．
8. 已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解．本题考查了平行线之间的距离，注意需分两种情况讨论求解．
【详解】解：如图1，直线在、外时，
与的距离为，与的距离为，
与的距离为，
如图2，直线在直线、之间时，
与的距离为，与的距离为
与的距离为，
综上所述，与的距离为或
故选：C
9. 已知是二元一次方程的解，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，根据二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程求出a的值即可．
【详解】解：∵是二元一次方程的解，
∴，
∴，
故选：A．
10. 小成心里想了两个数字，满足下列三个方程，那么不满足的那个方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组．根据二元一次方程组的解法即可求出答案．
【详解】解：假设满足选项A、B两个方程，则．
解得．
把代入选项C的方程，满足选项C的方程，
说明不满足的那个方程是选项D的方程，
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 如图所示，计划在河边的A，B，C，D处引水到P处，从B处引水能使所用的水管最短的理由是______．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】本题考查了垂线段的性质，熟记性质是解题关键．根据垂线段的性质：垂线段最短，可得答案．
【详解】解：，
由垂线段最短可知，从B处引水，能使所用的水管最短．
故答案为：垂线段最短．
12. 如图，直线交于点O，，若，则的度数为________．
【答案】##150度
【解析】
【分析】本题考查了垂直的定义，邻补角的定义，几何中角度的计算，根据垂直的定义得到，由，计算出，再根据邻补角的定义即可求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
13. 计算： ______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，利用立方根的定义运算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
14. 二元一次方程组的解为________．
【答案】．
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为：．
故答案为：．
15. 浏阳素有“将军故里，红色小城”的美誉，下图是市内三个知名的红色景点，现将其放在适当的平面直角坐标系中，使得寻淮洲故居的坐标为，革命烈士陵园的坐标为，则李志民故居的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据寻淮洲故居和革命烈士陵园的坐标建立坐标系后即可得到答案．
【详解】解：根据题意可以建立如下坐标系，
∴李志民故居的坐标为，
故答案为：
16. 对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式，可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：．理由如下：设，，则，由对数的定义得，又，，类似还可以证明对数的另一个性质：．请利用以上内容计算__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义把原式变形为，进一步变形得到，据此求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式先计算乘方，算术平方根和立方根，再计算除法，最后计算加法即可．
【详解】解：
．
18. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：
得，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
19. 为更好的开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的6棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视．
（1）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得古树A，B的位置分别表示为，，请标出x轴，y轴和原点O，并写出点C的坐标；
（2）在（1）建立的平面直角坐标系中，标出另外三棵古树，，的位置．
【答案】（1）图形见解析，
（2）图形见解析
【解析】
【分析】本题考查如何建立平面直角坐标系和描点：
（1）根据点A、点B的坐标确定小正方形的边长是1，从而确定原点的位置，继而画出x轴和y轴；
（2）根据点D、E、F的坐标，找出相应位置即可．
【小问1详解】
解：建立平面直角坐标系如下图所示：
点C的坐标为；
【小问2详解】
解：如图，点D，E，F即为所求．
20. 如图，直线相交于点，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）度数为
（2）的度数为
【解析】
【分析】（1）由直线相交于点，，得，再由平分，得，最后由即可得到答案；
（2）由直线相交于点，平分得，再由，得，最后由，即可得到的度数．
【小问1详解】
解：直线相交于点，，
，
平分，
，
，
，
的度数为；
小问2详解】
解：直线相交于点，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
的度数为．
【点睛】本题考查了对顶角，与角平分线有关的角度的计算，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
21. 填空，完成下列证明过程，并在括号中注明理由．
如图，已知∠CGD=∠CAB，∠1=∠2，求证：∠ADF+∠CFE=180°
证明：∵∠CGD=∠CAB
∴DG∥______(______)
∴∠1=______(______)
∵∠1=∠2
∴∠2=∠3(______)
∴EF∥______(______)
∴∠ADF+∠CFE=180°(______)
【答案】AB；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；等量代换；AD；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】
【分析】首先利用平行线的判定定理和性质易得∠1=∠3，等量代换得∠2=∠3，再利用平行线的判定定理和性质解答即可．
【详解】证明：∵∠CGD=∠CAB(已知)，
∴DG∥AB(同位角相等，两直线平行)，
∴∠1=∠3(两直线平行，内错角相等)，
又∵∠1=∠2(已知)，
∴∠2=∠3(等量代换)，
∴EF∥AD(同位角相等，两直线平行)，
∴∠ADF+∠CFE=180°(两直线平行，同旁内角互补)，
【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理及性质，综合运用平行线的判定及性质定理是解答此题的关键．
22. 如图，将一张上、下两边平行(即AB∥CD)的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．
(1)试说明∠1＝∠2；
(2)已知∠2＝40°，求∠BEF的度数．
【答案】（1）证明见解析（2）110°
【解析】
【分析】根据平行线的性质得到∠MEB＝∠NFD，∠NEA′＝∠MFB′，根据角的和差即可得到结论.
【详解】(1)∵AB∥CD，∴∠MEB＝∠MFD，
∵A′E∥B′F，∴∠MEA′＝∠MFB′，
∴∠MEA′－∠MEB＝∠MFB′－∠MFD，即∠1＝∠2；
(2)由折叠知，∠B′FN＝＝70°，
∵A′E∥B′F，∴∠A′EN＝∠B′FN＝70°，
∵∠1＝∠2，∴∠BEF＝70°＋40°＝110°.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
23. 已知正数的平方根分别为和，求这个正数的立方根．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根的概念，求一个数的立方根，根据平方根求原数，先根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，则，据此求出，再根据立方根的定义即可得到答案．
【详解】解：∵正数的平方根分别为和，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵64的立方根是4，
∴这个正数的立方根为4．
24. 探索发现：（1）如图，已知直线，若，，求的度数；
归纳总结：（2）根据（1）中的问题，直接写出图中、、之间的数量关系________；
实践应用：（3）如图，水务公司在由西向东铺设供水管道，他们从点铺设到点时发现了一个障碍物，不得不改变方向绕开障碍物，计划改为沿南偏东方向埋设到点，再沿障碍物边缘埋设到点处，测得．若要恢复原来的正东方向，则应等于多少度？
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质以及方位角的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据两直线平行，内错角相等，列式作答即可．
（2）根据两直线平行，内错角相等，列式，即可作答．
（3）运用平行线的判定与性质以及平角的概念，进行角的运算，即可作答．
【详解】解：（1）过点P作，如图：
∵
∴
∴
∴；
（2）设，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴图中、、之间的数量关系；
（3）如图：过点C作
依题意，
∴，
∴
依题意，
∴，
∵
∴
∵
∴．
25. 规定：关于，的二元一次方程有无数组解，每组解记为，称点为“坐标点”，将这些“坐标点”连接新得到一条直线，称这条直线是“坐标点”的“关联线”，回答下列问题：
（1）已知，，，则是“关联线”的“坐标点”的________；
（2）若，是“关联线”的“坐标点”，求，的值；
（3）已如，是实数，且，若是“关联线”的一个“坐标点”，用等式表示与之间的关系，并求出的最小值．
【答案】（1），
（2），
（3），
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义以及新定义内容，加减消元法解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据“坐标点”和“关联线”的定义，分别代入计算，即可作答．
（2）依题意，列出关于的二元一次方程组，再运用加减消元法解二元一次方程组，即可作答．
（3）先整理，得出，再结合是“关联线”的一个“坐标点”，得出，再化简，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意，∵，，
∴，，
∴则是“关联线”的“坐标点”的和；
小问2详解】
解：∵，是“关联线”的“坐标点”
∴
即
由，得，
∴把代入，得出
解得；
【小问3详解】
∵已如，是实数，且，
∴
若是“关联线”的一个“坐标点”
∴
则
整理得
∴
∵
∴
则的最小值为．