2024石嘴山三中高三下学期三模试题数学（文）含解析

这是一份2024石嘴山三中高三下学期三模试题数学（文）含解析，共24页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，已知函数，若的值域是，则的值为等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．(1−i)2 =（ ）
A．−2i B．2−2i C．−2−2i D．2i
2．集合，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元
素的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图案。定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（ ）
A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个
B．函数可以是某个圆的“太极函数”
C．正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数”
D．是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图
形”
4. 已知数列是等比数列，且则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
5．我国古代数学名著《九章算术》将两底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，如图，已知直三棱柱是堑堵，其中，则下列说法中错误的是（ ）
A．平面 B．平面平面
C． D．为锐角三角形
6．将函数的图像向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
7．一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，
则这个三棱柱的侧视图的面积为（ ）
A. B．
C． D．
8.在上随机取一个数，则“直线与圆无公
A1
A
B
F
O
C
x
y
共点”的概率为（ ）
B． C． D．
如图，过抛物线的焦点F的直线
交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AA1与
准线垂直且垂足为A1，若BC=2BF，AA1=3，则此抛物线的方程为（ ）
B．
C． D．
10．已知函数，若的值域是，则的值为（ ）
A．B．C． D．
11．已知双曲线的上、下焦点分别为，，直线与的上、下支分别交于点，，若以线段为直径的圆恰好过点，且，则的离心率为（ ）
A． B．2C．D．
12.若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
第II卷（非选择题）
填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量，若向量在向量方向上的投影为2，则实数
14.设是数列的前项和，当时点在直线上，且 ，则的值为
15.已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的半径相等，则圆锥的体积与球
的体积的比值为 ．
16．已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)
（一）必考题：（共60分）
17．为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占.
(1)求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
(2)若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；
(3)若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数.
参考公式：，（是第组的频率），
参考数据：
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点在棱上，平面.
(1)试确定点的位置，并说明理由；
(2)是否存在实数，使三棱锥的体积为，
若存在，请求出具体值，若不存在，请说明理由.
19．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：
①；②；③.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积.
20．已知函数，（为自然对数的底数）．
(1)求曲线在处的切线方程
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的最大值；
21.已知椭圆的方程，右焦点为，且离心率为
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围.
选考题（10分）
请考生在第22、23两题中任选一题作答．考生只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．【选修4-4，坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线是经过点且倾斜角为的直线．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系．
(1)求的直角坐标方程和的极坐标方程；
(2)若曲线的极坐标方程为，设与和的交点分别为，求的值．
23.【选修4-5，坐标系与参数方程】
已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若函数的最小值为，且正数满足，求证：．石嘴山三中2024届高三三模考试数学（文科）试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．(1−i)2 =
A．-2iB．2-2iC．-2-2iD．2i
【答案】A
2．集合，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
3．如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图案。定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（ ）
A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个
B．函数可以是某个圆的“太极函数”
C．正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数”
D．是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图形”
【答案】D
【分析】根据太极函数的定义，结合圆的对称性、奇函数的对称性逐一判断即可.
【详解】任意一个圆是关于圆心的中心对称图形，其“太极函数”有无数个，故A正确；
函数是奇函数，其图象关于原点对称，将圆的圆心放在坐标原点上，
则是该圆的“太极函数”，故B正确；
将圆的圆心放在正弦函数的对称中心上，则正弦函数
是该圆的“太极函数”，故有无数个圆成立，故C正确；
函数的图象是中心对称图形，则是“太极函数”，
但函数是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如
图，故D错误.
故选：D.
4.已知数列等比数列，且则的值为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
5．我国古代数学名著《九章算术》将两底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，如图，已知直三棱是堑堵，其中，则下列说法中错误的是（ ）
A．平面B．平面平面
C．D．为锐角三角形
【答案】C
【分析】利用线面平行判定定理直接证明可判断A；证明平面，然后由线面垂直的性质可判断B；假设，然后可证，即可判断C；设，，，利用证明即可得为锐角，同理即可证明为锐角三角形，可判断D.
【详解】选项A：易知，又平面，平面，
所以平面，故A正确．
选项B：因为，所以，
由直棱柱性质可知，
又平面，所以平面，
而平面，所以平面平面，故B正确．
选项C：假设，因为，平面，
所以平面，
又平面，所以，这与矛盾，所以C错误．
选项D：设，，，
则，所以为锐角．
同理可得，均为锐角，故D正确．
故选：C
6．将函数的图像向左平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍，得到的图像，则（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
7．一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱住的侧视图的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：依题意可得三棱柱的底面是边长为4正三角形.又由体积为.所以可得三棱柱的高为3.所以侧视图面积为.故选A.
考点：1.三视图的知识.2.棱柱的体积公式.3.空间想象力.
8．在上随机取一个数，则事件“直线与圆无公共点”发生的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据直线与圆有公共点，求出的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可.
【详解】若直线，即与圆有公共点，
则圆心到直线距离，故解得或，
由几何概型的概率公式，得事件“直线与圆公共点”发生的概率为.
故选：B.
9．A1
A
B
F
O
C
B1
x
y
如图，过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于两点A、B，交其准线于C，若|BC|=2|BF|，AA1=3，则此抛物线的方程为（ A ）
A．y2=xB．y2=9x
C．y2=xD．y2=3x
【答案】D
10．已知函数，若的值域是，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】当时，，
因为的值域是，又在上单调递减，
所以.
故选：C.
11.已知双曲线的上、下焦点分别为，，直线与的上、下支分别交于点，，若以线段为直径的圆恰好过点，且，则的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知四边形是矩形，设，所以，再由双曲线的定义结合离心率的计算公式即可得出答案.
【详解】如下图，已知四边形是平行四边形，
又因为以线段为直径的圆恰好过点，所以，
又因为，设，所以，
则的离心率为.
故选：C.
12.若定义在上的偶函数在上单调递增，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A 【详解】因为是定义在上偶函数，所以，
因为，所以，
因为在上单调递增，所以， 故选：A.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量，若向量在向量方向上的投影为2，则实数
【答案】
【分析】利用向量的投影公式即可得解.
【详解】因为，所以，
所以向量在向量方向上的投影为，则.
14．设是数列的前项和，时点在直线上，且=2，则的值为
A．B．C．D．
【详解】试题分析：由已知，，即，可知数列为等差数列，且公差为，又函数的最小值为，即，故
15.已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球的半径相等，则圆锥的体积与球的体积的比值为 ．
【答案】
【分析】由轴截面为正三角形求出圆锥底面半径与圆锥高的关系，求出圆锥的体积、球的体积即可得解.
【详解】设圆锥的底面半径为r，球的半径为R，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高，
由题可知：，
所以圆锥的体积为，
球的体积，
所以，
故答案为：．
16．已知函数在区间上有最小值，则整数的一个取值可以是 ．
【答案】（答案不唯一，中的任意整数均可）
【分析】将问题“在上有最小值”转化为在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，结合二次函数零点分布求解即可.
【详解】由可知，，
又在上有最小值，
所以在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
令，则在上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，
所以，解得，
又因为，所以.
故答案为：（答案不唯一，中的任意整数均可）.
三、解答题.(共70分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17．为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛.共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占.
(1)求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
(2)若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率；
(3)若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数.
参考公式：，（是第组的频率），参考数据：
【答案】(1)
(2)
(3)105
【分析】（1）利用频率分布直方图中的平均数计算方法计算即可；
（2）先由题意求得抽到的高三学生人数，再利用古典概型与组合数即可求得所求概率；
（3）先利用题目所求标准差公式求得，再求得优秀成绩所在区间的频率，从而可估算得成绩优秀的人数.
【详解】（1）依题意，得
，
所以抽取的200名学生的平均成绩.
（2）由于第五组总共要抽取7人，高三学生占，所以抽到的高三学生应该有人，
所以由古典概型可得这2人都是高三学生的概率为.
（3）依题意，得
，
所以优秀的比赛成绩应该，
而比赛成绩在的频率为：，
而，
故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为105人.
18．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，点在棱上，平面.
(1)试确定点的位置，并说明理由；
(2)是否存在实数，使三棱锥体积为，若存在，请求出具体值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)点是的中点，理由见解析
(2)存在，使三棱锥体积为
【分析】
（1）连接，交于点，连结，根据线面平行的性质定理，证出，再结合是的中点，判断出点是的中点，可得答案；（2）若三棱锥体积为，则可推出三棱锥的体积为，进而利用棱锥的体积公式与底面，列式算出实数的值，即可得到答案.
【详解】（1）点是的中点，理由如下：
连接，交于点，连结，
底面是正方形，、相交于点，
是的中点，
平面，含于平面，平面平面，
， 中，是的中点，
是的中点.
（2）为中点，
.
若，则
底面，，

，解得.
存在，使三棱锥体积为.
19．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：
①；②；③.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理、三角恒等变换化简计算即可求解；
（2）由可得，由（1），根据余弦定理和三角形面积公式计算即可求解.
【详解】（1）若选①：，
由正弦定理得，
又，所以，
又，所以，即，
又，所以；
若选②：，
由正弦定理得，
又，所以，即，
又，所以；
若选③：，
，
，
即，
又，所以，即，
又，所以；
（2）由（1）知，，
所以，即，
又，所以，得，
所以，解得，
故.
20．已知函数，（为自然对数的底数）．
(1)求曲线在处的切线方程
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的最大值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数求曲线在切点处的切线方程；
（2）求出函数在时的值域，可求实数的最大值；
【详解】（1）函数，，，
，，
所以曲线在处的切点坐标为，切线斜率为0，
切线方程为.
（2）
，
因为，所以，
则，，所以函数在上单调递减.
，，
所以函数的值域为.
若不等式对任意恒成立，
则实数的最小值为，所以实数的最大值为.
21.已知椭圆的方程，右焦点为，且离心率为
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围.
【详解】（1）设椭圆焦距为，
由题意可得，3分
故椭圆方程为4分
（2）当斜率不存在时，易知；5分
②当斜率存在时，设，,，,，
由，得，显然，
所以，，7分
因为，，
所以，9分
因为，
所以，
又，10分
设，则，，解得且，
所以，
综上可得的取值范围为．12分

22．【选修4-4，坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线是经过点且倾斜角为的直线．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系．
(1)求的直角坐标方程和的极坐标方程；
(2)若曲线的极坐标方程为，设与和的交点分别为，求的值．
【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），
消去参数可得其普通方程为．
由题知直线的直角坐标方程为，即，
将代入，得，
则直线的极坐标方程为．---------------5分
（2）由（1）可知的普通方程为，即，
故其极坐标方程为．
曲线的极坐标方程为，
由解得
由解得，
所以．--------------10分
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若函数的最小值为，且正数满足，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）分类讨论去绝对值求解不等式；
（2）先求出的最小值，确定，再利用基本不等式证明.
【详解】（1）当时，，
解得，所以；
当时，，
解得，所以；
当时，，
解得，所以．
综上，不等式的解集为．
（2）由（1）函数，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，所以．
因为，所以
，
当且仅当时，等号成立，所以．