湖南省岳阳县第一中学、汨罗市第一中学2023-2024学年高一下学期五月联考数学试题

这是一份湖南省岳阳县第一中学、汨罗市第一中学2023-2024学年高一下学期五月联考数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，若，则，已知复数则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册，必修第二册第六章至第八章8.4。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量不共线，向量，则（ ）
A．B．C．D．12
4．如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则中边上的高为（ ）
A．2B．4C．D．
5．已知函数的最小正周期为，则图象的一个对称中心的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．若，则（ ）
A．B．C．D．
7．永丰文塔位于湖南省双峰县城永丰镇，修建于清朝同治年间，巍巍七层文塔，塔形呈六角形，塔底用高达五尺八寸的青条石奠基，永丰文塔与双峰书院遥相呼应，象征双峰文运昌隆．如图，某测绘小组为了测量永丰文塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）（取，）
A．B．C．D．
8．已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在高为3的正三棱台中，，且上底面的面积为，则（ ）
A．直线与异面B．直线与异面
C．正三棱台的体积为D．正三棱台的体积为
10．已知复数则（ ）
A．的虚部为B．C．为实数D．为纯虚数
11．如图，在梯形中，分别在线段上，且线段与线段的长度相等，则（ ）
A．的最小值为B．的最大值为18
C．的最大值为D．的面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．
12．在复数范围内，方程的解集为______．
13．已知向量，若，则______；若，则______．
14．若函数恰有4个零点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知的内角的对边分别为，且．
（1）证明：为钝角三角形．
（2）若的面积为，求．
16．（15分）
已知函数．
（1）证明：的定义域与值域相同．
（2）若，求的取值范围．
17．（15分）
如图，在高为2的正三棱柱中，是棱的中点．
（1）求该正三棱柱的体积；
（2）求三棱锥的体积；
（3）设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值．
18．（17分）
如图，在梯形中，在线段上．
（1）若，用向量表示；
（2）若与交于点，求的值．
19．（17分）
在中，．
（1）证明：为的重心．
（2）若，求的最大值，并求此时的长．
高一年级五月考试
数学参考答案
1．A 因为，所以其在复平面内对应的点位于第一象限．
2．D 因为，所以．
3．B 因为不共线，，所以，解得．
4．B 还原的原图，如图所示，直观图中的点分别对应原图中的点，直观图中的轴、轴分别对应原图中的轴、轴．因为，所以，则，即中边上的高为4．
5．D 由，得，所以．令，则，当时，，所以图象的一个对称中心的坐标为．
6．A 因为，所以，又，所以．
7．D 在中，由正弦定理得，则．
因为在点测得塔顶的仰角为，所以．
8．C 如图，设内切球与相切于点，因为，所以．由内切球的表面积为，可得球的半径，圆锥的高为，圆锥的底面半径为3，所以该圆锥的体积．
9．BC 直线与相交，A错误．直线与异面，B正确．因为正三棱台下底面的面积为，所以正三棱台的体积
，C正确，D错误．
10．ABD 的虚部为，A正确．，B正确．不是实数，C错误．为纯虚数，D正确．
11．BCD 如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，则，所以
，A错误，B正确．
，当时，取得最大值，且最大值为，C正确．的面积
，当时，取得最大值，且最大值为，D正确．
12． 由，得或，即或．
13． 若，则，所以．若，则，得，所以（舍去）或，故．
14．
，
令，得．若，则，依题意可得，解得．
15．（1）证明：因为，所以，
所以，所以为钝角，故为钝角三角形．
（2）解：因为的面积，所以．
由（1）知，所以，
由余弦定理，得，
结合，解得．
16．（1）证明：由得，所以的定义域为．
，
因为在上单调递增，
所以，所以的值域为，
所以的定义域与值域相同．
（2）解：由（1）知在上单调递增，
所以当时，．
设，
当，即时，取得最小值，且最小值为．
因为，
所以，即的取值范围为．
17．解：（1）因为，
所以．
（2）因为，
，
所以．
（3）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示．
当三点共线时，取得最小值，
且最小值为．
18．解：（1），
．
（2）因为，
所以，
所以．
因为，所以，
所以，即，解得或．
连接交于．因为，所以，所以，
则．因为在线段上，所以，故．
19．（1）证明：设的中点为，则，
因为，所以．
设的中点为的中点为，同理可得，
所以三点共线，三点共线，三点共线，
从而为三条中线的交点，即为的重心．
（2）解：由（1）知，因为，所以．
因为，所以，
设，则，
由余弦定理，得，
，则．
设，
所以，
当，即时，取得最大值，且最大值为，
此时，解得，
此时．