湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

这是一份湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了若复数z满足，则z的虚部是，若，，，，则＝，定义，下列命题正确的为等内容，欢迎下载使用。
1．若复数z满足，则z的虚部是（ ）
A．B．C．D．
2．在△ABC中，点D是边AB的中点，则有（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（ ）
A．CC1与B1E是异面直线B．CC1与AE是共面直线
C．AE与B1C1是异面直线D．AE与BB1是共面直线
4．若，，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
5．定义：若z2＝a+bi（a，b∈R），则称复数z是复数a+bi的平方根．根据定义，复数9﹣40i的平方根为（ ）
A．3﹣4i，﹣3+4iB．4+3i，4﹣3i
C．5﹣4i，﹣5+4iD．4﹣5i，﹣4+5i
6．一个球的外切正方体的全面积等于6cm2，则此球的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．下列命题正确的为（ ）
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q，R，则P，Q，R三点共线；
②若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；
③已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；
④已知a，b，c为三条直线，若a⊥c，b⊥c，则a∥b．
A．①③B．②③C．②④D．①②
8．如图，某人用1.5m长的绳索，施力25N，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了6m，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为1.2m，则此人对该物体所做的功为（ ）
A．B．C．125JD．150J
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
（多选）9．在△ABC中，已知，，B＝45°，则角A的值可能为（ ）
A．30°B．120°C．60°D．150°
（多选）10．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列说法，正确的有（ ）
A．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β
B．若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β
C．若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥β
D．a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b
（多选）11．关于直线m，n与平面α，β，以下四个命题中真命题是（ ）
A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B．若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
C．若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n
D．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n
（多选）12．已知两个不相等的非零向量、，两组向量x1、x2、x3、x4、x5和y1、y2、y3、y4、y5均由2个和3个排列而成．记S＝x1•y1+x2•y2+x3•y3+x4•y4+x5•y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题中真命题为（ ）
A．S可能有5个不同的值
B．若，则Smin与无关
C．若，则Smin＞0
D．若，，则与的夹角为
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是 ．
14．已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为20π的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为 ．
15．已知向量＝（2，2），＝（csα，sinα），则向量的模的最大值是 ．
16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1＝AB，D，E，F分别是棱AA1，BB1，BC的中点，则异面直线DF与C1E所成角的余弦值是 ．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．如图，已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．(10分）
（1）证明：D1A∥平面C1BD；
（2）求三棱锥B﹣A1B1C1的体积．
18．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）＝f（x）sinx，求g（x）在区间上的最大值和最小值．
19．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．(12分）
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，求中线AD长的范围（点D是边BC中点）．
20．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动．A处有一栋大楼，某学生选B，C两处作为测量点，测得BC的距离为50m，∠ABC＝45°，∠BCA＝105°，在C处测得大楼楼顶D的仰角α为75°．(12分）
（1）求A，C两点间的距离；
（2）求大楼的高度．
21．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知边c＝2，且a•sinA﹣a•sinB＝c•sinC﹣b•sinB．(12分）
（1）若sinC+sin（B﹣A）＝sin2A，求△ABC的面积；
（2）记AB边的中点为M，求|CM|的最大值，并说明理由．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AB＝2，AC∩BD＝O，PO⊥底面ABCD，PO＝2，点E在棱PD上，且CE⊥PD (12分）
（1）证明：面PBD⊥面ACE；
（2）求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1-5：BDCCC 6-8：CDB
二．多选题（共4小题）
9：BC． 10：BD．11：BC．12：BC．
三．填空题（共4小题）
13．∃x∈R，x2+x+1≤0．
14．10π．
15．3．
16．．
四．解答题（共6小题）
17．【解答】（1）证明：如图，由正方体的结构特征可知，AB∥D1C1，AB＝D1C1，
则四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，
又AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，
∴D1A∥平面C1BD；
（2）解：三棱锥B﹣A1B1C1的体积V＝
＝．
18．
【解答】解：（1）由图象可知：T＝4（）＝2π，
∴ω＝1，
将点代入y＝f（x）得f（）＝2sin（+φ）＝2，
∴φ＝，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴φ＝，
∴；；
（2），
由得，
当时，即x＝0，g（x）min＝0，
当时，即．
19．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理可得：，即（2sinC﹣sinB）csA＝sinAcsB，
可得2sinCcsA＝sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC，
因为C为锐角，所以sinC＞0，
所以，
因为A为锐角，
所以．
（2）由（1）得，由正弦定理可得＝，
可得b＝sinB，c＝sinC＝sin（﹣B）＝2csB+sinB，
因为点D是边BC中点，
所以，
两边平方可得：4||2＝||2+||2+2
＝b2+c2+bc
＝（sinB）2+（2csB+sinB）2+sinB×（2csB+sinB）
＝sin2B+4cs2B+sinBcsB
＝+sin（2B﹣），
因为锐角△ABC中，，可得B∈（，），可得2B﹣∈（，），
所以sin（2B﹣）∈（，1]，
所以4||2＝+sin（2B﹣）∈（，12]，
可得||∈（，]，
所以中线AD长的范围为（，]．
20．【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝180°﹣105°﹣45°＝30°，
根据正弦定理可知：，则，
所以；
（2），
在△DCA中，因为DA⊥AC，则，
所以
∴．
21．【解答】解：（1）a•sinA﹣a•sinB＝c•sinC﹣b•sinB，
由正弦定理得：a2﹣ab＝c2﹣b2，即a2+b2﹣c2＝ab，
由余弦定理得：，0＜C＜π，则，
在△ABC中，A+B+C＝π，∴sinC＝sin（A+B），
∵sinC+sin（B﹣A）＝sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）＝sin2A，
∴sinA•csB+csA•sinB+sinB•csA﹣csB•sinA＝2sinA•csA，
∴2csA•sinB＝2sinA•csA，
∵csA≠0，∴sinB＝sinA，∴A＝B，
又，∴△ABC为正三角形，a＝b＝c＝2，∴；
（2）由余弦定理可知：c2＝a2+b2﹣2ab•csC，∵c＝2，，∴a2+b2＝ab+4，
∵AB边的中点为M，∴，
∴，
∴，又∵a2+b2＝ab+4≥2ab，∴ab≤4，
∴，∴，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，
故|CM|的最大值为．
22．
【解答】解法一：
证明：（1）∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥AC，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，且BD∩PO＝O，
∴AC⊥面PBD………（4分）
故面ACE⊥面PBD………（6分）
解：（2）连接OE，则OE＝面ACE∩面PBD，
故CE在面PBD内的射影为OE，
∵CE⊥PD，∴OE⊥PD，………（8分）
又由（1）可得，AC⊥OE，AC⊥OP，
故∠POE是二面角P﹣AC﹣E的平面角，………（10分）
菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，
∴，，
又PO＝2，∴，
∴，
∴即二面角P﹣AC﹣E的余弦值为………（12分）
解法二：
证明：（1）菱形ABCD中，AC⊥BD，又PO⊥面ABCD，
故可以以点O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，………（1分）
由AB＝2，∠ABC＝60°可知相关点坐标如下：
………（3分）
则平面PBD的一个法向量为………（4分）
因为所以故AC⊥面PBD………（5分）
从而面ACE⊥面PBD………（6分）
（2）设，则
∵CE⊥PD，∴，故，
可得：，………（8分）
平面PAC的一个法向量为，
设平面ACE的一个法向量，
则，取z＝2，得，………（10分）
∴，………（11分）
即二面角P﹣AC﹣E的余弦值为．………（12分）
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