广东省广州市第四中学教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份广东省广州市第四中学教育集团2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分，答案填在答题卡上）
1．（3分）下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝5x﹣1B．y＝x2C．y＝xD．y＝
2．（3分）若二次根式有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3B．a≥3C．a≤3D．a≠3
3．（3分）在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C的大小是（ ）
A．20°B．40°C．70°D．75°
4．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）在平面直角坐标系中有两点A（3，0）和B（0，4），则这两点之间的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．7
6．（3分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+1不经过第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
7．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E的面积是（ ）
A．26B．22C．16D．94
8．（3分）直角三角形的两条直角边分别是6和8，则这个三角形斜边上的中线长是（ ）
A．5B．6C．8D．10
9．（3分）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OA﹣AB﹣BC是一条折线）．这个容器的形状可能是下面图中的（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和24cm2的两个小正方形，则余下部分的面积是（ ）
A．6cm2B．21cm2C．12cm2D．27cm2
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分，注意答案写在答卷上）
11．（3分）化简的结果为 ．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AC＝，则AB＝ ．
13．（3分）直线y＝2x﹣1向下平移1个单位后所得的直线的解析式是 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，1），顶点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为 ．
15．（3分）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB的中点，BD、CE交于点O，F、G分别是BO、CO中点，连接OA，若AO＝5，BC＝8，则四边形DEFG的周长是 ．
16．（3分）如图，直线y＝kx﹣2k+3（k为常数，k＜0）与x，y轴分别交于点A，B，则+的值是 ．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，注意答案写在答卷上）
17．（4分）计算：．
18．（4分）已知直线y＝kx+b经过点A（﹣4，9）和B（2，3），求这条直线的解析式．
19．（6分）如图，将一个边长分别为AD＝4，AB＝8的矩形纸片ABCD沿着折痕MN折叠，使点B与点D重合，求AM的长．
20．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H．
（1）求AB的长．
（2）求DH的长．
21．（8分）先化简，再求值：﹣6+2x，其中x＝4．
22．（10分）已知等腰三角形周长为20
（1）写出底边长y关于腰长x的函数解析式（x为自变量）；
（2）写出自变量的取值范围；
（3）在直角坐标系中，画出函数图象．
23．（10分）如图，阴影部分表示以△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2.设AC＝b，BC＝a，AB＝c，若a2+b2＝c2，S1+S2＝7，c＝6．
（1）△ABC的面积记作S3，求S3的值．
（2）求△ABC的周长．
24．（12分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．点Q在BA的延长线上且PQ＝PD．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．
①求∠DPQ的度数；
②探究AQ与OP的数量关系并说明理由．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形且∠ABC＝60°．探究AQ与CP的数量关系并说明理由．
25．（12分）操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
（1）如图1，当点M在EF上时，求∠ABP的度数．
（2）将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片ABCD按照以上的方式操作，延长PM交CD于点Q，连接BQ，改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图2和图3所示，请你根据图3证明：BQ平分∠MBC．
（3）在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8，当FQ＝1时，求AP的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，答案填在答题卡上）
1．（3分）下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A．y＝5x﹣1B．y＝x2C．y＝xD．y＝
【解答】解：A．y＝5x﹣1是一次函数，故A不符合题意；
B．y＝x2是二次函数，故B不符合题意；
C．y＝x是正比例函数，故C符合题意；
D．y＝是反比例函数，故D不符合题意；
故选：C．
2．（3分）若二次根式有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a＞3B．a≥3C．a≤3D．a≠3
【解答】解：由题意，得
3﹣a≥0，解得a≤3，
故选：C．
3．（3分）在▱ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C的大小是（ ）
A．20°B．40°C．70°D．75°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝140°，
∴2∠C＝140°，
∴∠C＝70°，
故选：C．
4．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、＝，故A不符合题意；
B、＝2，故B不符合题意；
C、＝3，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
5．（3分）在平面直角坐标系中有两点A（3，0）和B（0，4），则这两点之间的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．7
【解答】解：如图，
∵A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
故选：C．
6．（3分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+1不经过第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+1中，k＝﹣2＜0，b＝1＞0，
∴直线y＝﹣2x+1经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
7．（3分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E的面积是（ ）
A．26B．22C．16D．94
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2＝S3，
即S3＝6+10+4+6＝26．
故选：A．
8．（3分）直角三角形的两条直角边分别是6和8，则这个三角形斜边上的中线长是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别是6和8，
∴斜边长＝＝10，
∴这个三角形斜边上的中线长是×10＝5．
故选：A．
9．（3分）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OA﹣AB﹣BC是一条折线）．这个容器的形状可能是下面图中的（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为D．
故选：D．
10．（3分）如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和24cm2的两个小正方形，则余下部分的面积是（ ）
A．6cm2B．21cm2C．12cm2D．27cm2
【解答】解：如图所示：由题意可得：AB＝＝2（cm），BC＝BE＝（cm），
故两个阴影部分面积和为：2•（2•）＝12（cm2）．
故选：C．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分，注意答案写在答卷上）
11．（3分）化简的结果为 2 ．
【解答】解：＝2，
故答案为：2．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AC＝，则AB＝ 1 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，
∴tan60°＝＝，
∵AC＝，
∴BC＝1．
故答案为：1．
13．（3分）直线y＝2x﹣1向下平移1个单位后所得的直线的解析式是 y＝2x﹣2 ．
【解答】解：直线y＝2x﹣1向下平移1个单位后所得的直线的解析式是 y＝2x﹣1﹣1，即y＝2x﹣2．
故答案为：y＝2x﹣2．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，1），顶点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为 （3，2） ．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥x轴于E，
在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
又∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO，
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴AO＝BE＝1，BO＝CE＝2，
∴OE＝BO+BE＝2+1＝3，
∴点C的坐标为（3，2）．
故答案为：（3，2）．
15．（3分）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB的中点，BD、CE交于点O，F、G分别是BO、CO中点，连接OA，若AO＝5，BC＝8，则四边形DEFG的周长是 13 ．
【解答】解：∵D、E、F、G分别是AC、AB、BO、CO的中点，
∴，，
∵BC＝8，AO＝5，
∴ED＝FG＝4，，
∴四边形DEFG的周长为，
故答案为：13．
16．（3分）如图，直线y＝kx﹣2k+3（k为常数，k＜0）与x，y轴分别交于点A，B，则+的值是 1 ．
【解答】解：∵直线y＝kx﹣2k+3，
∴当x＝0时，y＝﹣2k+3；当y＝0时，x＝；
∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（0，﹣2k+3），
∴OA＝，OB＝﹣2k+3，
∴+
＝+
＝﹣
＝
＝1，
故答案为：1．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，注意答案写在答卷上）
17．（4分）计算：．
【解答】解：原式＝××+
＝3+
＝4．
18．（4分）已知直线y＝kx+b经过点A（﹣4，9）和B（2，3），求这条直线的解析式．
【解答】解：根据题意得，
解得，
所以直线解析式为y＝﹣x+5．
19．（6分）如图，将一个边长分别为AD＝4，AB＝8的矩形纸片ABCD沿着折痕MN折叠，使点B与点D重合，求AM的长．
【解答】解：根据折叠可知DM＝BM．
在长方形纸片ABCD中，AD＝4，AB＝8，
∴AM＝8﹣DM，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM2＝AM2+AD2，
∴DM2＝（8﹣DM）2+42，
解得DM＝5．
∴AM＝8﹣5＝3，
即AM的长为3．
20．（6分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H．
（1）求AB的长．
（2）求DH的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC，OB＝BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5；
（2）∵DH⊥AB，
∴菱形的面积＝AB•DH＝AC•BD，
∴5DH＝×8×6，
∴DH＝．
21．（8分）先化简，再求值：﹣6+2x，其中x＝4．
【解答】解：原式＝5﹣+2＝，
当x＝4时，
原式＝×＝11．
22．（10分）已知等腰三角形周长为20
（1）写出底边长y关于腰长x的函数解析式（x为自变量）；
（2）写出自变量的取值范围；
（3）在直角坐标系中，画出函数图象．
【解答】解：（1）写出底边长y关于腰长x的函数解析式是 y＝﹣2x+20；
（2）两腰的和小于周长，两边之和大于第三边得
解得5＜x＜10，
自变量的取值范围是5＜x＜10；
（3）如图：
．
23．（10分）如图，阴影部分表示以△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2.设AC＝b，BC＝a，AB＝c，若a2+b2＝c2，S1+S2＝7，c＝6．
（1）△ABC的面积记作S3，求S3的值．
（2）求△ABC的周长．
【解答】解：（1）由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2．
∵S1+S2＝7，
∴++﹣＝7，
∴AC×BC＝14，
∴S3＝＝＝7，
（2）∵（ AC+BC ）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝62+2×14＝64，
∴AC+BC＝8（负值舍去），
∴ABC的周长＝AB+AC+BC＝8+6＝14，
24．（12分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．点Q在BA的延长线上且PQ＝PD．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．
①求∠DPQ的度数；
②探究AQ与OP的数量关系并说明理由．
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形且∠ABC＝60°．探究AQ与CP的数量关系并说明理由．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°，
∴∠DAQ＝90°，
∵AP＝AP，
∴△DAP≌△BAP（SAS），
∴PD＝PB，∠ADP＝∠ABP，
∵PQ＝PD，
∴PQ＝PB，
∴∠PQA＝∠PBA＝∠ADP，
∵∠AMQ＝∠DMP，
∴∠DPQ＝∠DAQ＝90°；
②AQ＝OP，理由如下：
如图2，在OD上取一点N，使DN＝PA，连接PN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OD＝OA，∠AOD＝90°，
∴ON＝OP，
∴△PON是等腰直角三角形，
∴PN＝OP，
∵∠DPQ＝90°，
∴∠APQ+∠OPD＝90°，
∵∠OPD+∠ODP＝90°，
∴∠APQ＝∠ODP，
∵PD＝PQ，
∴△DNP≌△PAQ（SAS），
∴PN＝AQ，
∴AQ＝OP；
（2）AQ＝CP，理由如下：
如图3，过点D作DE⊥BQ于E，连接DQ，
∴∠AED＝∠DEQ＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，AD∥BC，
∴∠ABD＝30°，AC⊥BD，AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠AOB＝∠BOC＝90°，△ABC是等边三角形，
∴∠BOC＝∠AED，∠AOB＝∠DEQ，∠ACB＝60°，
由（1）同理得：PB＝PD＝PQ，∠DPQ＝∠DAQ＝60°，
∴△PDQ是等边三角形，
∴DQ＝PD＝PB，
∴△ADE≌△BCO（AAS），
∴DE＝OB，OC＝AE，
∴Rt△DEQ≌Rt△BOP（HL），
∴EQ＝OP，
∴EQ+AE＝OP+OC，
即AQ＝CP．
25．（12分）操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
（1）如图1，当点M在EF上时，求∠ABP的度数．
（2）将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片ABCD按照以上的方式操作，延长PM交CD于点Q，连接BQ，改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图2和图3所示，请你根据图3证明：BQ平分∠MBC．
（3）在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8，当FQ＝1时，求AP的长．
【解答】（1）解：由题意得：AE＝BE，BA＝BM，∠A＝∠PMB＝90°，AD∥EF∥BC．
∴BE＝BA＝BM，
∵ME⊥AB，
∴∠EMB＝30°．
∴∠EMP＝60°，
∵AD∥EF，
∴∠DPM＝∠EMP＝60°．
∴∠APM＝120°，
∴∠APB＝∠MPB＝60°，
∴∠ABP＝90°﹣∠APB＝30°；
（2）证明：由题意得：△ABP≌△MBP，
∴∠A＝∠PMB＝90°，BA＝BM，
∴∠BMQ＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝BC，∠C＝90°．
∴BM＝BC．
在Rt△BMQ和Rt△BCQ中，
，
∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ（HL），
∴∠MBQ＝∠CBQ．
∴BQ平分∠MBC；
（3）解：①当点Q在点F下方时，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝8，
设AP＝x，则PD＝8﹣x，
由题意得：DF＝FC＝CD＝4，MP＝AP＝x，
∵FQ＝1，
∴DQ＝DF+FQ＝5，
∴CQ＝CD﹣DQ＝3．
由（2）知：Rt△BMQ≌Rt△BCQ，
∴MQ＝CQ＝3，
∴PQ＝MP+MQ＝x+3．
∵PD2+DQ2＝PQ2，
∴（8﹣x）2+52＝（x+3）2，
解得：x＝．
∴AP＝；
②当点Q在点F上方时，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝8，
设AP＝x，则PD＝8﹣x，
由题意得：DF＝FC＝CD＝4，MP＝AP＝x，
∵FQ＝1，
∴DQ＝DF﹣FQ＝3，
∴CQ＝CD﹣DQ＝5．
由（2）知：Rt△BMQ≌Rt△BCQ，
∴MQ＝CQ＝5，
∴PQ＝MP+MQ＝x+5．
∵PD2+DQ2＝PQ2，
∴（8﹣x）2+32＝（x+5）2，
解得：x＝．
∴AP＝．
综上，AP的长为或．