河南省新乡市牧野区河南师范大学附属中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

这是一份河南省新乡市牧野区河南师范大学附属中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题）
1. 是的（ ）
A. 倒数B. 绝对值C. 相反数D. 负倒数
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：是相反数，
故选：C．
2. 据统计，2023年1至8月，河南省全省社会消费品零售总额达16507亿元，其中16507亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】16507亿用科学记数法表示为，
故选D．
3. 如图所示的几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【解析】
【分析】本题主要考查的是几何体的三视图，掌握图形的观察能力是解题的关键．要记住常见的几何体的三视图，从左面观察即可得到结果．
【详解】解：仔细观察几何体特征，
从左面观察可得图形是
．
故选：D．
4. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱。甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
设苦果有x个，甜果有y个，由共买了一千个苦果和甜果，可得，由九百九十九文钱，可得，然后列方程组，作答即可．
【详解】解：设苦果有x个，甜果有y个，
依题意得，，
故选：A．
5. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A. 1，4，5B. 2，3，5C. 3，4，5D. 2，2，4
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形．
【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c，
由勾股定理，得，
A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：；
B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：；
C、∵3+4≠5，则不符合题意；
D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：；
∵，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题．
6. 如图，在矩形中，，以为圆心，适当的长为半径画弧，交于两点；再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，则的长为（ ）
A. 3B. C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，矩形的性质，勾股定理等知识；利用面积关系求的长是解题关键．过F作于G，由角平分线的性质求得，再由求得面积，从而得出的长，即可解答；
【详解】解：由作图步骤可得：是的角平分线，
如图，过F作于G，
由矩形性质可得：，，
∴，
由角平分线的性质可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
故选：C．
7. 对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能较好反映这组数据平均水平的是（ ）
A. 这组数据的平均数B. 这组数据的众数
C. 这组数据的中位数D. 这组数据的方差
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查利用中位数作决策，根据平均数，众数，中位数和方差表示的意义和影响因素进行判断即可．
【详解】解：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，
众数为2，数值过小，不能很好的反映这组数据平均水平；
方差表示波动情况，它和平均数受极端值的影响大，不能很好的表示平均水平；
中位数为，能够较好反映这组数据平均水平；
故选C．
8. 从下列四个条件：①②③④中选择两个作为补充条件，使成为正方形，下列四种情况，你认为错误的是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质、特殊四边形的判定、正方形的判定依次判断即可．
【详解】A．∵四边形ABCD平行四边形，
∴当①时，是矩形，
当②AB=BC时，矩形ABCD是正方形，此选项正确，不符合题意；
B．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当①时，是矩形，
当③AC=BD时，这是矩形的性质，无法判定矩形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
C．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ 当②AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，此选项正确，不符合题意；
D．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当③AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形，
当④时，矩形ABCD是正方形，此选项正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法并能灵活运用是解答的关键．
9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解不等式，根据一元二次方程的判别式和定义得出，，解不等式求出的取值范围，即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，
解得：，
又∵方程是一元二次方程，
∴，
即，
故取值范围为：且，
∴的最小整数值为．
故选：A．
10. 如图1，点在边上，点是上的一动点，点是的中点，连接，设，，图2是点运动时随变化的关系图像，其中点是函数图像的最低点，则的值为（ ）
A. 24B. 26C. 28D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】如图所示，取中点，取中点，连接，，由图2可知，当时，，此时与重合，为的中点，即为的中点，分别为的中点，同理可证是的中位线，过点作于，连接并延长交于，由图2可知，点与点重合时，取得最大值,最大值即的长．
【详解】解：如图，
取中点，取中点，连接，，
由图2可知，当时，，
∴当时，，即当与重合时，，
∵此时与重合，为的中点，即为的中点，
∴，
同理当与重合时，即时，，
∵分别为的中点，
∴为的中位线，
∴，
同理可证是的中位线，
∴，
∴点在上，
∴当时，的值最小，即此时的值最小，
过点作于，连接并延长交于，由图2可知，
∴，，
∴，
∴，
∴点与点重合时，取得最大值，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，动点的函数图象，点到直线的距离垂线段最短，勾股定理等等，正确读懂函数图象作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（共5小题）
11. 写出一个比3大且比4小的无理数：_____．
【答案】答案不是唯一，
【解析】
【分析】利用估算思想，确定无理数的被开方数范围是大于9小于16，从中确定一个整数，用算术平方根的形式表示出来即可．
【详解】设无理数的被开方数为x，
∵无理数比3大且比4小，
∴9＜x＜16，
∴其中的一个无理数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算思想，正确理解估算思想的意义是解题的关键．
12. 小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．
【答案】
【解析】
【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】画树状图如图：
共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个，
∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为，
故答案为．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
13. 如图，、是反比例函数图象上的两点，、两点的横坐标分别是、，直线与轴交于点，若的面积为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，根据图中面积关系列出方程式是解题的关键．作轴，垂足为，作轴，垂足为，轴，垂足为，代入求出点和点的坐标，根据，列方程求解即可．
【详解】解：作轴，垂足为，作轴，垂足为，轴，垂足为，如图：
∵、是反比例函数图象上的两点，、两点的横坐标分别是、，
故将代入得：，即坐标为，
故将代入得：，即坐标为，
∵，
即，
解得：．
故答案为：．
14. 如图，为的直径，，分别与相切于点，，经过上一点，，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，，过点作，垂足为点，根据题意可得，根据全等三角形的判定和性质可得，根据切线的判定定理即可证明是的切线，根据切线的性质以及矩形的判定和性质可得，，得出，根据切线长定理可得，，
得出，根据勾股定理即可求得的长．
【详解】解：如图：连接，，过点作，垂足为点，
∵是的切线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线，
∵是的切线，
∵，
∵，，，
即，
∴四边形是矩形，
∴，，
则，
∵是的切线，是的切线，是的切线，
∴，，
∴，
∵，
在中，，
即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定和性质，根据切线长定理得出，是解题的关键．
15. 如图，在矩形中，，，E是边上一动点，F是对角线上一动点，且，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等．依据题意，延长到，使，连接，，由四边形是矩形，先证，进而，故，所以当点、、共线时，最小，最小值为，最后利用勾股定理进行计算可以得解．
【详解】解：延长到，使，连接，，
四边形是矩形，
∴，，，．
．
，，
．
，
，
当点、、共线时，最小，最小值为的长．
最小值为．
，
．
在中，，，
．
最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共8小题）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟知负整数指数幂的的运算法则，分式混合运算的法则是解题的关键．
（1）先计算平方根，绝对值和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可；
（2）根据分式的混合计算法则：先通分再因式分解，把除法改为乘法，进一步约分计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17. 某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为______；
（2）请补全条形统计图；
（3）该校共有1200名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数；
（4）小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为”，请你判断这种说法是否正确，并说明理由．
【答案】（1）；（2）图见解析；（3）160名；（4）这个说法不正确．理由见解析．
【解析】
【分析】（1）先求出“经常参加”的男生占比，再乘以即可得；
（2）先求出“经常参加”的男生人数，再求出喜欢篮球项目的人数，然后补全条形统计图即可；
（3）利用1200乘以经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数占比即可得；
（4）参照题（3），得出计算式子的含义即可．
【详解】（1）“经常参加”的男生占比为，
则，
故答案为：；
（2）“经常参加”的男生人数（人），
喜欢篮球项目的人数为（人），
则补全统计图如图所示：
（3）全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为（名），
答：全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数为160名；
（4）这个说法不正确，理由如下：
小明得到的108人是全校经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的项目是乒乓球的人数，而全校偶尔参加课外体育锻炼的男生中也会有最喜欢乒乓球的，因此应多于108人．
【点睛】本题考查了画条形统计图、扇形统计图的信息等知识点，掌握理解统计调查的相关知识是解题关键．
18. 如图，是半圆O的直径，点C是半圆上一点，点D是弧的中点，于E，于F，连接，，．
（1）求证：；
（2）填空：
①当______时，四边形为菱形；
②当______时，四边形为正方形．
【答案】（1）证明见解析
（2）① ；②
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握三角形的判定定理是解题的关键．
（1）利用角平分线的性质可证得, 然后根据圆内接四边形的对角互补得到，证明，然后得到结论；
（2）①当四边形 是菱形时, , 可证得,利用圆周角定理可求出的度数，从而可得到的度数，利用解直角三角形求出比值即可； ②当，即与重合时，四边形 是正方形，利用解直角三角形求出比值即可.
【小问1详解】
证明: ∵弦平分, ,
∴，，
又∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解: ①当四边形是菱形时,
∴,，
又∵，
∴,
∵是半圆的直径，
∴,
∴,
，
故答案为：；
②当, 即与重合时, 四边形是正方形,
∴，
∴，
故答案为：.
19. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．
（1）图1中点都是格点，请仅用无刻度的直尺作出的中点，要求保留作图痕迹，不写作法．
（2）图2中的三个顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺作出的角平分线，要求保留作图痕迹，不写作法．（要求：的角平分数用实线表示，其它线用虚线表示．）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据矩形对角线相等且互相平分，即可作出中点；
（2）根据等腰三角形三线合一以及矩形性质，即可作出的角平分线．
【小问1详解】
解：根据矩形对角线相等且互相平分，构造出以为对角线的矩形，即可得出为的中点．
如图所示，点P即为所求．
【小问2详解】
根据勾股定理可得出：，
作，连接构造出以为对角线的矩形，即可得出为的中点，
∵，为的中点，
∴为的角平分线，
∴为的角平分线．
如图所示，线段即为所求．
【点睛】本题考查利用网格作角平分线、中点，熟练掌握矩形的性质与等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
20. 小聪和小明一起放风筝，小聪在距小明米处测得风筝的仰角为，如图，小明的手处距地面为米．此时小聪的眼睛与地面距离米，风筝线与水平方向夹角为．若上述所有点都在同一平面内，求此时风筝到地面的距离．（结果精确到米，参考数据：，，）
【答案】风筝到地面的距离约为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，矩形判定和性质，一元一次方程的应用，解题的关键是根据正切的定义表示出和，列出方程求出的值．过点作于点，分别过点，作于点，于点，根据矩形的判定和性质可得（米），（米），求得（米），设米，根据正切的定义表示出和，根据列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：过点作于点，分别过点，作于点，于点，如图：
则（米），（米），
（米），
设米，则米，
在中，（米），
在中，米，
（米），
，
解得：，
（米），
（米），
故风筝到地面的距离约为米．
21. 义乌某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【答案】（1）每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元
（2）①；②商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大
（3）商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大
【解析】
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；由销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元，再列方程组即可；
（2）①设购进A型电脑x台，由总利润等于销售两种电脑的利润之和列函数关系式即可；②先求解自变量x的范围，再利用一次函数的性质可得答案；
（3）先列一次函数关系式，再利用一次函数的性质可得答案．
【小问1详解】
解：设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得
解得
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．
【小问2详解】
①据题意得，，即，
②据题意得，，解得，
∵，而，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当时，y取最大值，则，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
【小问3详解】
据题意得，，
即，
，
当时，，y随x的增大而增大，
∴当时，y取得最大值．
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系列方程或不等式与函数关系式是解本题的关键．
22. 如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点．
（1）求证：；
（2）连接．
①当时，求的值．
②如果是以为腰的等腰三角形，直接写出的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②的度数是或
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质得，，则，所以，，则，所以，从而可得结论；
（2）①作于点，则，而，所以，则，可证明，得，作于点，可证明，则，因为，得出，可得出答案；
②分两种情况讨论，一是，则，可推导出，则，作于点，可证明，所以，则，所以，则，可求得；二是，则，可证明点在上，则，求得，则．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，，
，，
，
，，
，
，
，
．
；
【小问2详解】
①如图1，作于点，则，
，
，
，
，
，
，
作于点，则，
，
，
，
，
，
，
的值是2．
②如图2，是等腰三角形，且，则，
，
，，
，
，
作于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图3，是等腰三角形，且，则，
，
，
，
，
点在正方形的对角线上，
，，
，
，
，
综上所述，的度数是或．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形内角和定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理，锐角三角函数的应用，掌握相关定理与性质是解题的关键．
23. 【项目化学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用.
实验过程：如图（a）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据．
任务一：数据收集
记录的数据如下：
根据表格中的数值分别在图（b）、图（c）中作出v与x的函数图象、y与x的函数图象：
（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象：
任务二：观察分析
（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围）
任务三：问题解决
（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离：
（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方处有一辆电动小车，以2的速度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为______．
【答案】
（1）作图见详解
（2）；
（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离
（4）
【解析】
【分析】（1）利用描点法解答即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）令，求得小球停下来的时间，再将代入与的函数关系式解答即可；
（4）假定经过秒小球追上小电动车得到关于的一元二次方程，令，得到关于的不等式，解不等式即可得出结论．
【详解】解：（1）画出与的函数图象如下：
（2）由（b）中图象可知：与的函数关系为一次函数关系，
设，代入，得：
，
解得：，
与的函数关系为；
设代入，得：
，
所得：，
与的函数关系式为；
（3）当时，
解得：．
将代入得：
．
当黑球在水平木板停下来时，此时黑球的滑行距离．
（4）假定经过秒小球追上小电动车，
，
．
由题意：，
．
若黑球不能撞上小车，则的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．运动时间
0
2
4
6
8
10
运动速度
10
9
8
7
6
5
滑行距离
0
19
36
51
64
75