河南省新乡市牧野区河南师范大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份河南省新乡市牧野区河南师范大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(共10小题，共30分)
1．下列各数中，负数的是（ ）
A．|－2023|B．＋(－2024)C．2024D．－(－2024)
2．如图放置的正六棱柱，其左视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，⑤长度相等的两条弧是等弧，⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功．此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．其中某一蛋白质分子的直径仅0.000000028米，这个数用科学记数法表示为（ ）米．
A．2.8×10－10B．2.8×10－9C．2.8×10－8D．0.28×10－7
5．如图，点P是等边△ABC的边BC上的一点，连接AP．将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，连接PQ．若∠APC＝108°，则∠PQC＝（ ）
A．12°B．14°C．24°D．26°
第5题图
6．若，则A是（ ）
A．－3B．2C．3D．－2
7．如图，AB是⊙O的直径，∠D＝26°，则∠AOC等于（ ）
第7题图
A．128°B．52°C．108°D．116°
8．关于x的方程kx2－4x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k>－4B．k<4C．k>－4且k≠0D．k<4且k≠0
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则反比例函数与一次函数y＝bx＋c的图象在同一坐标系内的图象大致是（ ）
第9题图
A．B．
C．D．
10．如图①，一动点P从Rt△ABC中的A点出发，在三角形的内部运动(含边上)，沿直线运动至P1点，再从P1点沿直线运动至P2点，设点P运动的路程为x，，如图②，是点P运动时y随x变化关系图象，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(共5小题，共15分)
11．在一场校内篮球比赛中，小明共投中m个2分球，n个3分球，还通过罚球得到7分．在这场比赛中，他一共得了______分．
12．如图，点A在反比例函数第一象限内的图象上，点B在x轴的正半轴上，OA＝AB，△AOB的面积为3，则k的值为______．
第12题图
13．如图所示，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－2，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的3倍，设点B的对应点B'的横坐标是7，则点B的横坐标是______
第13题图
14．如图，在边长为1的网格中，点A，C，D都为格点，线段AE经过点C．以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D交AB所在格线于点F，则阴影部分的面积是______．
第14题图
15．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D是AB边上一动点，将△ACD沿直线CD翻折，使点A落在点E处，连接CE交AB于点F．当△DEF是直角三角形时，AD＝______．
三、解答题(共8小题)
16．(10分)用合适的方法解下列方程：
(1)x(x－3)＝x－3；
(2)2x2－3x－1＝0．
17．(9分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，5)，B(－3，1)和C(4，0)，请按下列要求画图并填空．
(1)平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为______；
(2)将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段AE，连接BE，BC，EC，求∠BCE的正切值；
(3)在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为______．
18．(9分)课间休息，数学李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的一个电路图(如图所示)，就嘱咐班级的值日生擦黑板时把电路图留下．上课时，李老师问班级的物理课代表：“此电路图下，小灯泡何时发光”，物理课代表回答：“在开关S1闭合的情况下，再闭合S2，S3，S4中的任意一个开关，小灯泡就会发光”，物理课代表的回答得到了全班同学的认可．接下来，李老师提出了如下的数学问题：
(1)在开关S3闭合的情况下，随机闭合，S1，S2，S4中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为______．
(2)当随机闭合，S1，S2，S3，S4中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率．
19．(9分)如图，在⊙O中，△ABC内接⊙O，连接OB，作∠BAD＝∠C交OB延长线于点D．
(1)求证：AD为⊙O的切线；
(2)若，OB＝2，求BD的长．
20．(9分)从2024年起，新乡市中招体育考试总分将提高至100分，为了适应新的中考要求，学校准备从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元，现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．
A网店：买一个足球送一条跳绳；
B网店：足球和跳绳都打九折．
已知要购买足球60个，跳绳x条(x>60)．
(1)分别求出在A，B两家网店购买所需的费用yA和yB；
(2)若yA＝yB，求出x的值；
(3)试从函数图象的角度说明何时在哪家网店购买更划算?
21．(9分)如图，在△OAB中，AB＝AO，顶点A(3，4)在反比例函数(x>0)的图象上．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请用尺规作图画出线段OA的垂直平分线(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图)；
(3)线段OB与(2)中所作的垂直平分线相交于点D，连接AD，求BD的长．
22．(10分)已知抛物线G：y＝a(x＋1)(x－3)与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点P(0，t)(－1≤t≤2)为y轴上一动点，过点P作y轴的垂线交抛物线G于点M、N(M与N不重合)．
(1)当a<0时，若，求抛物线G的纵坐标在4a≤x≤4a＋5时的取值范围；
(3)对于a(a>0)的每一个确定的值，MN有最小值m，若m≤2，求a的取值范围．
23．(10分)综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
(1)初步感知
如图1，当点M在EF上时，连接AM，则△ABM的形状为______；线段CQ与MQ的数量关系为______，∠PBQ＝______度．
(2)迁移探究
改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图2，请判断线段CQ与MQ的数量关系及∠PBQ的度数，并说明理由；
(3)拓展应用
已知正方形纸片ABCD的边长为8，在以上探究中，当FQ＝2时，直接写出AP的长．
2023—2024学年第一学期九年级期末终结性评价测试《数学》答案
一、选择题(共10小题，每题3分)
二、填空题(共5小题，每题3分)
11．(2m＋3n＋7)；12．3；13．－5；14．；15．1或；
三、解答题(共8小题)
16．(10分)解：解：(1)x(x－3)＝x－3；
整理得：x2－4x＋3＝0，
(x－3)(x－1)＝0，
∴x－3＝0或x－1＝0，
∴x1＝3，x2＝1；
(2)2x2－3x－1＝0，
∴b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－1)＝17>0，
∴方程有两个不相等的实数根，∴，
∴，．
17．(9分)解：(1)如图所示，D(2，－4)，
故答案为：(2，－4)；
(2)如图所示，BE2＝40，EC2＝10，BC2＝50，∴BE2＋EC2＝BC2，
∴△BEC的形状为直角三角形，∴∠BCE的正切值；
(3)作B点关于y轴对称点，连接交y轴于F点，此时△ABF的周长最小，F(0，4)，
故答案为：(0，4)．
18．(9分)解：(1)由电路图可知，在开关S3闭合的情况下，再闭合开关S1能够让小灯泡发光，∴在开关S3闭合的情况下，随机闭合S1，S2，S4中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为．故答案为：．
(2)列表如下：
共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡发光的结果有：(S1，S2)，(S1，S3)，(S1，S4)，(S2，S1)，(S3，S1)，(S4，S1)，共6种，
∴能使小灯泡发光的概率为．
19．(9分)(1)证明：连接OA．
∴∠AOB＝2∠C，∵OA＝OB，
∴．
∴∠OAD＝∠OAB＋∠BAD＝90°，
∴OA⊥AD，又OA为半径，∴AD为⊙O切线；
(2)解：延长BO交⊙O于E，连接AE．
∵∠C与∠E为同弧所对圆周角，∴∠C＝∠E＝∠BAD，
又∠D＝∠D，∴△BAD∽△AED，∴，
设BD＝x，∴，
∵，∴，
∵AB为⊙O的直径，∴∠EAB＝90°，
∴，∴，
在Rt△OAD中，OA2＋AD2＝OD2，OA＝OB＝2，
∴，
∴或x＝0(舍去)，∴．
20．(9分)解：(1)由题意得：yA＝150×60＋30(x－60)＝30x＋7200；
yB＝150×60×0.9＋30x×0.9＝27x＋8100．
∴；；
(2)令，30x＋7200＝27x＋8100，解得x＝300；
(3)画出，关于x的函数图象，
由图象可知，当x<300时，到A店买更合算；
当x>300时，到B店买更合算；
当x＝300时，到A，B买一样合算．
21．(9分)解：(1)∵点A(3，4)在反比例函数(x>0)的图象上，
∴k＝3×4＝12，∴反比例函数的解析式为(x>0)；
(2)如图所示：以点O，点A为圆心，大于的线段为半径画弧，两弧相交于点E，点F，连接EF，则EF是OA的垂直平分线；
(3)如图，设EF与OA交于点M，过点A作AN⊥OB于点N．
∴，
∵AB＝AO，∴OB＝2AN＝6，
∵EF是OA的垂直平分线，
∴，∠DMO＝90°，DA＝DO，∴∠ANO＝∠DMO＝90°，
∵∠AON＝∠DOM，∴△AON∽△DOM，
∴，∴
∴．
22．(10分)解：(1)由点C是抛物线与y轴的交点，
把x＝0时，得y＝－3a，
∴点C的纵坐标为－3a；
把y＝0代入y＝a(x＋1)(x－3)，解得：x1＝－1，x2＝3，
∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，
∵，点C的坐标为(0，－3a)，
∴，解得，
∵a<0，∴，
∴抛物线的解析式为，且对称轴为直线x＝1，
当4a≤x≤4a＋5，即－3≤x≤2时，
得当x＝1时，函数取最大值，当x＝－3时，函数取最小值，
得抛物线G的纵坐标在－3≤x≤2时的取值范围－9≤y≤3；
(2)由抛物线可知顶点坐标为(1，－4a)，设点M的坐标为，点N的坐标为，
若a>0，由图可得当t＝－1时，MN取得最小值m，
把y＝－1代入y＝a(x＋1)(x－3)，整理得ax2－2ax＋1－3a＝0，
得，，
∵M(xM，－1)，N(xN，－1)，∴MN＝|xM－xN|，
∴，整理得，
∵m≤2，∴，解得，
∵过点P作y轴的垂线交抛物线G于点M、N(M与N不重合)，
∴－4a<－1，解得，
得a的取值范围为；
23．(10分)解：(1)初步感知
如图1，当点M在EF上时，连接AM，则△ABM的形状为等边三角形；线段CQ与MQ的数量关系为CO
＝MQ；∠PBQ＝45度；
(2)迁移探究
如图2，线段CQ与MQ的数量关系为CQ＝MQ；∠PBQ＝45度，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
由翻折可知：AB＝MB，∴BM＝BC，
∵BQ＝BQ，∴Rt△BQM≌Rt△BQC(HL)，∴CQ＝MQ；
由翻折可知：∠ABP＝∠MBP，∠QBC＝∠QBM，
∴；
(3)当点Q在点F的下方时，如图2，
∵FQ＝2，DF＝FC＝4，AB＝8，∴QC＝CD－DF－FQ＝8－4－2＝2，
∴DQ＝DF＋FQ＝4＋2＝6，
由(2)可知，QM＝QC，
设AP＝PM＝x，PD＝8－x，
∴PD2＋DQ2＝PQ2，∴(8－x)2＋62＝(x＋2)2，
解得，∴；
当点Q在点F的上方时，如图3，
∵FQ＝2，DF＝FC＝4，AB＝CD＝8，∴QC＝6，DQ＝2，
由(2)可知，QM＝QC，设AP＝PM＝x，
∴PD＝8－x，∴PD2＋DQ2＝PQ2，
∴(8－x)2＋22＝(x＋6)2，
解得，∴，
综上所述：或．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
B
C
C
A
C
A
C
D
D
S1
S2
S3
S4
S1
(S1，S2)
(S1，S3)
(S1，S4)
S2
(S2，S1)
(S2，S3)
(S2，S4)
S3
(S3，S1)
(S3，S2)
(S3，S4)
S4
(S4，S1)
(S4，S2)
(S4，S3)