湖北省部分普通高中联盟2023_2024学年高一数学上学期期中联考试题含解析

这是一份湖北省部分普通高中联盟2023_2024学年高一数学上学期期中联考试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据交集定义直接计算即可.
【详解】集合，则.
故选：A
2. 不等式的解集为（）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】
由等价于，进而可求出不等式的解集.
【详解】由题意，等价于，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
【点睛】本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题.
3. 命题p：“，”，则为（）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】利用含有一个量词的否定的方法求解即可.
【详解】命题p：“，”，则为：，．
故选：C.
4. 下列命题为真命题的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用特殊值判断A，利用不等式的性质判断B、C、D；
【详解】解：对于A：当时，故A错误；
对于B：因为，所以，所以，所以，即，故B错误；
对于C：由，则，，所以，故C错误；
对于D：由，所以，所以，故D正确；
故选：D
5. 已知集合，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】图中阴影部分表示的集合是，由此能求出结果.
【详解】图中阴影部分表示，
∵，，
则，
∴．
故选：A.
6. 设，则“”是“”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由可得，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由可得，
由“”不能推出“”，
但由“”可以推出“”．
故“”是“”的必要而不充分条件．
故选：B.
7. 已知，则函数的解析式为（）
A. B. （）
C. （）D. （）
【答案】C
【解析】
【分析】令（），采用换元法求函数的解析式.
【详解】设（），则，
，
所以（），
故选：C.
8. 已知：偶函数定义域为且上有.，若，则不等式的解集是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知条件得函数在上单调递增，在上单调递减，且，由此可得选项.
【详解】由偶函数对任意的上有，所以函数在上单调递增，
又由于偶函数的图象关于y轴对称，所以函数在上单调递减，
因为，所以，
所以不等式的解集是，
故选：B.
【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性综合运用，求解不等式的问题，属于中档题.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（）
A. B. 若，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用有理数的意义判断A；利用并集、交集的性质推理判断B；利用交集的意义判断CD.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，由，，得，而，则，
同理得，于是，B正确；
对于C，由，，得，C错误；
对于D，由，，得，D正确．
故选：BD
10. 下列各组函数与的图象相同的是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】BC
【解析】
【分析】根据相等函数的概念，分析函数的定义域、值域和解析式，依次判断选项即可求解.
【详解】对于A，函数的定义域为，值域为，
而的定义域为，值域为，故A不合题意；
对于B，函数的定义域为，值域为，
而，则与的定义域、值域均相同，解析式相同，故B符合题意；
对于C，函数的定义域为，的定义域为，且值都为1，故C符合题意；
对于D，两个函数的解析式不同，故D不合题意；
故选：BC．
11. ，恒成立，a的值可以为（）
A. B. C. D. 5
【答案】CD
【解析】
【分析】，恒成立转换为恒成立，然后应用一元二次函数的性质解题即可.
【详解】，恒成立，
即恒成立，
所以，即，解得，
故选：CD．
12. 下列说法正确的有（）
A. 既是偶函数又在上单调递减
B. 若命题“，”为假命题，则实数m的取值范围是
C. 若a，b，c均为实数，则“”的充要条件是“”
D. 对一切实数x，不等式恒成立，则m的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可判断A；由全称量词命题为真可得，即可判断B；举例即可判断C；易知不等式成立，当时，根据一元二次不等式恒成立即可判断D.
【详解】A选项，，则为定义域上的偶函数，且在上单调递减，故A正确；
B选项，因为命题“，”为假命题，
所以命题“，”为真命题，
所以，解得，所以实数m的取值范围是，故B正确；
C选项，当时，由，故C错误；
D选项，当时，不等式化为，恒成立；
当时，由不等式恒成立，
得，解得：，
因此实数m的取值范围为．故D正确．
故选：ABD．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知集合，集合，若，则实数__________．
【答案】0
【解析】
【分析】依题意可得，即可得到，解得即可；
【详解】解：由题意知，又集合，因此，即．故．
故答案为：.
14. 已知，，且，则的最小值是__________
【答案】8
【解析】
【分析】由基本不等式求得最小值．
【详解】，，且，
则，
当且仅当且即，时取等号，
此时取得最小值8．
故答案为：8.
15. 若不等式的解集为，则的值为_______
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集可得方程的两根，再利用根与系数关系可求得，即可求解.
【详解】因为不等式的解集为：，得：，
即方程的两个根为和，
由根与系数的关系得，，
解得：，，所以：.
故答案为：.
16. 已知“”是假命题,则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】求出命题的否定，由原命题为假命题，得命题的否定为真命题，参变分离得到，构造函数求在所给区间上的最小值.
【详解】解：由题意可知，是真命题
对恒成立，
令
令则；令则；
即在上单调递减，上单调递增；
故答案为：
【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，关键是将问题进行转化，属于中档题.
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知集合，．
（1）求；
（2）求．
【答案】17.
18.
【解析】
【分析】（1）由一元一次不等式的解法求出集合B，结合并集的概念和运算即可求解；
（2）结合补集与交集的概念与运算即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，，，
∴；
【小问2详解】
或，
∴．
18. 求下列不等式的解集．
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）方程化为一元二次不等式的标准形式，因式分解得出相应方程的解，然后写出不等式的解集；
（2）移项通分转化为整式不等式求解．
【小问1详解】
等价于，
即，
解得或，
故不等式的解集为．
【小问2详解】
等价于，即，
即，且，
解得或，
故不等式的解集为或．
19. 已知函数．
（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为；小值为
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用单调性的定义，任取，且，比较和0即可得单调性；
（2）由函数的单调性即可得函数最值.
试题解析：
（1）解：在区间上是增函数.
证明如下：
任取，且，
.
∵，
∴，即.
∴函数在区间上增函数.
（2）由（1）知函数在区间上是增函数，
故函数在区间上的最大值为，
最小值为.
点睛：本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,属于中档题目.证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：和0比较；
（4）下结论.
20. 已知非空集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用集合运算求解即可；
（2）将充分不必要条件转化为集合之间的包含关系即可.
【小问1详解】
当时，，或，
解不等式得：，
即，
所以.
【小问2详解】
，即，，
若“”是“”的充分不必要条件，即，
所以（等号不同时成立），
解得：；
即实数a的取值范围为．
21. 已知函数，且的解集为.
（1）求的值；
（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）实数的取值范围为.
【解析】
【分析】（1）依题意为方程的两根，根据根与系数关系列方程组，解方程即可；
（2）依题意，求出函数的最小值可求出参数的取值范围.
【小问1详解】
因为的解集为，且，
所以，且为方程的两根，所以，，
所以，；
【小问2详解】
由(1)可得，不等式可化为，所以
因为对于任意的，不等式恒成立，
所以对于任意的，不等式恒成立，
即，其中，
因，其中，
所以当时，取最小值，最小值为，
所以，故实数取值范围为.
22. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知米，米．
（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）当AN的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．
【答案】（1）
（2）AN长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米
【解析】
【分析】（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形三角形，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可；
（2）解法1：利用当且仅当时取等号的方法求出S的最大值即可；
解法2：讨论函数的增减性得出函数的最大值即可．
【小问1详解】
设的长为x米，
由题意可知：∵，∴，∴，
∴，
由，得，
∵，
∴，即,
解得：或，
即长的取值范围是；
【小问2详解】
解法一：∵，
∴
，
当且仅当，即时，取“=”号，
即的长为4米，矩形的面积最小，最小为24平方米．
解法二：∵∴，
令得，
当时，，当时，
当时，S取极小值，且为最小值，
即长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米．