2024年河南省漯河市临颍县中考数学一模试卷附解析

这是一份2024年河南省漯河市临颍县中考数学一模试卷附解析，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）四个有理数﹣2，﹣1，0，1，其中最小的是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
2．（3分）少年的一根头发的直径大约为0.00000412米，将数据“0.00000412”用科学记数法表示为（ ）
A．0.412×10﹣4B．4.12×10﹣4
C．4.12×10﹣5D．4.12×10﹣6
3．（3分）餐桌对于我们中国人有着非同一般的意义，它承载着家庭团圆的欢声笑语，如图为一张圆形木质餐桌，则其俯视图为（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．天气预报“明天降水概率50%，是指明天有一半的时间会下雨”
C．甲、乙两人在相同的条件下各跳远8次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.32，S乙2＝0.41，则甲的成绩更稳定
D．了解一批冰箱的使用寿命，采用普查的方式
5．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．7a﹣5a＝2B．9a÷3a＝3a
C．a5÷a3＝a2D．（3a2）3＝9a6
6．（3分）下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．B．﹣x2+2x﹣1＝0
C．2x2﹣x﹣1＝0D．
7．（3分）小高有三件运动上衣，分别为蓝色、白色和红色，有两条运动裤，分别是黑色和红色，一天他准备去运动场锻炼，随手拿出一件运动上衣和一条运动裤，则恰好都是红色的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝62°，∠BAC＝54°，当∠MAC为（ ）度时，AM与CB平行．
A．54B．64C．74D．114
9．（3分）如图，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x可以是 （写出一个x的值即可）．
12．（3分）不等式组的所有整数解的和是 ．
13．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠BPC的度数是 ．
14．（3分）如图，长方形纸片ABCD中，点E是CD的中点，连接AE．按以下步骤作图：①分别以点A和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，且直线MN刚好经过点B．若DE＝3，则BC的长度是 ．
15．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝BC＝4，AD＝DE＝2，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接CE，CD，点O为CE的中点，连接OD．将△ADE绕点A在平面内旋转，当∠CDE＝90°时，OD的长为 ．
三、解答题（本题共8小题，共计75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（8分）为倡导绿色健康节约的生活方式，梅苑社区开展“共建节约型社区”之减少塑料袋活动，鼓励居民自觉减少塑料袋的使用量，以促进环保．志愿者随机抽取了社区内100名居民，对其2024年2月24日（元宵节）当天购物，塑料袋使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
信息甲：使用塑料袋情况分布表信息
信息丙：C组包含的数据：14，14，13，13，13，13，13，13，12，12，12，12，12，11，11，11，11，10，10，10，10，10．
请结合以上信息完成下列问题：
（1）统计表中的m＝ ，n＝ ；
（2）统计图中A组对应扇形的圆心角为 度；
（3）C组数据的众数是 ，抽取的100名居民2024年2月24日元宵节当天购物塑料袋使用数量的中位数是 ；
（4）根据调查结果，请你估计该社区3000名购物居民中2024年2月24日元宵节当天购物塑料袋使用数量不少于15次的人数．
18．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象相交于点A（1，2），B（a，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）请直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．
（3）若直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使S△APC＝4？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由．
19．（9分）如图，小敏在观察大风车时，想测一下风叶的长度（风叶完全相同）．她首先通过C处的铭牌简介得知风车杆BC的高度为98米，然后沿水平方向走到D处，沿着斜坡DE走了35米到达E处观察风叶，风叶AB在如图所示的铅垂方向，测得点A的仰角为68°，风叶A′B在如图所示的水平方向，测得点A′的仰角为45°，若斜坡DE的坡度i＝1：0.75，小敏身高忽略不计．（结果精确到1米．参考数据：sin68°≈0.93，cs68°≈0.37，tan68°≈2.48）
（1）求小敏从D到E的过程中上升的竖直高度；
（2）求风叶的长度．
20．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．
（1）求证：BE＝EC．
（2）填空：①若∠B＝30°，AC＝2，则DE＝ ；
②当∠B＝ °时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
21．（10分）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共300套进行销售，它们的进价和售价如下表：
已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费120元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费270元．
（1）求出a，b的值；
（2）该体育用品商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的，若这批体育用品能够全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？
22．（10分）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．如图①是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为2m，当水平距离为4.5m时，实心球行进至最高点m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据该市2023年中考体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4m，此项考试得分为满分17分．按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
23．（10分）综合与实践
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在▱ABCD中（∠ADC＞∠DAB），点P是边AD上一点．将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．
数学思考：
（1）“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF∥AD，与PC交于点F，连接DF，则四边形AEFD的形状一定是 （选填“菱形”“矩形”或“正方形”）；
拓展探究：
（2）“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，连接PF．试判断PF与PC的位置关系，并说明理由；
问题解决：
（3）“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：若点P是射线DA上一点，当点E恰好落在▱ABCD的边或边的延长线上时，AP＝3，AD＝7，CD＝10，直接写出BE的长．
2024年河南省漯河市临颍县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分。下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）四个有理数﹣2，﹣1，0，1，其中最小的是（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
【答案】A
【分析】根据有理数大小比较法则比较即可．
【解答】解：因为正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小，
且|﹣2|＞|﹣1|，
所以﹣2＜﹣1，
因此，四个有理数﹣2，﹣1，0，1，其中最小的是﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查有理数大小的比较，熟练运用有理数大小比较法则是解题的关键．
2．（3分）少年的一根头发的直径大约为0.00000412米，将数据“0.00000412”用科学记数法表示为（ ）
A．0.412×10﹣4B．4.12×10﹣4
C．4.12×10﹣5D．4.12×10﹣6
【答案】D
【分析】根据科学记数法表示较小的数的书写规定进行解答即可．
【解答】解：0.00000412＝4.12×10﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查了科学记数法表示较小的数，熟练掌握科学记数法中a与n的取值规定是解答本题的关键．
3．（3分）餐桌对于我们中国人有着非同一般的意义，它承载着家庭团圆的欢声笑语，如图为一张圆形木质餐桌，则其俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【解答】解：上边看，可得选项D的图形．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是必然事件
B．天气预报“明天降水概率50%，是指明天有一半的时间会下雨”
C．甲、乙两人在相同的条件下各跳远8次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.32，S乙2＝0.41，则甲的成绩更稳定
D．了解一批冰箱的使用寿命，采用普查的方式
【答案】C
【分析】直接利用概率的意义以及方差、全面调查与抽样调查的意义、随机事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A．“打开电视机，正在播放《新闻联播》”是随机事件，故此选项不合题意；
B．天气预报“明天降水概率50%，是指明天50%的可能会下雨”，故此选项不合题意；
C．甲、乙两人在相同的条件下各跳远8次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.32，S乙2＝0.41，则甲的成绩更稳定，故此选项符合题意；
D．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽查的方式，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了概率的意义以及方差、全面调查与抽样调查的意义、随机事件的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
5．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．7a﹣5a＝2B．9a÷3a＝3a
C．a5÷a3＝a2D．（3a2）3＝9a6
【答案】C
【分析】根据合并同类项的方法可以判断A；根据单项式的除法可以判断B；根据同底数幂的除法可以判断C；根据积的乘方可以判断D．
【解答】解：7a﹣5a＝2a，故选项A错误，不符合题意；
9a÷3a＝3，故选项B错误，不符合题意；
a5÷a3＝a2，故选项C正确，符合题意；
（3a2）3＝27a6，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6．（3分）下列方程有两个相等的实数根的是（ ）
A．B．﹣x2+2x﹣1＝0
C．2x2﹣x﹣1＝0D．
【答案】B
【分析】分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．
【解答】解：A．Δ＝12﹣4×＝﹣1＜0，方程没有实数解，所以A选项不符合题意；
B．Δ＝22﹣4×（﹣1）×（﹣1）＝0，方程有两个相等的实数解，所以B选项符合题意；
C．Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＞0，方程有两个不相等的实数解，所以C选项不符合题意；
D．Δ＝（﹣）2﹣4××0＝＞0，方程有两个不相等的实数解，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（3分）小高有三件运动上衣，分别为蓝色、白色和红色，有两条运动裤，分别是黑色和红色，一天他准备去运动场锻炼，随手拿出一件运动上衣和一条运动裤，则恰好都是红色的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好都是红色的结果数，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果，恰好恰好都是红色的有1种情况，
随手拿出一件运动上衣和一条运动裤，则恰好都是红色的概率为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率、概率公式等知识点．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解答本题的关键．
8．（3分）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝62°，∠BAC＝54°，当∠MAC为（ ）度时，AM与CB平行．
A．54B．64C．74D．114
【答案】B
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解答】解：∵AB，CD都与地面l平行，
∴AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠BAC+∠ACB+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝62°，∠BAC＝54°，
∴∠ACB＝64°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝64°时，AM∥CB．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
9．（3分）如图，直线l1：y＝x+4与直线l2：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于x，y的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象的交点坐标与所对应的二元一次方程组的解之间的关系即可解决问题．
【解答】解：原方程组可化为：
，
所以此方程组的解可转化为函数y＝x+4与函数y＝mx+n图象的交点坐标．
又因为y＝x+4与y＝mx+n交于点A（﹣1，b），
所以b＝﹣1+4＝3，
即点A坐标为（﹣1，3），
所以方程组的解为．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数与二元一次方程（组），熟知二元一次方程组的解与所对应的一次函数图象之间的关系是解题的关键．
10．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE＝CF＝t，则CE＝8﹣t，再根据正方形的性质得OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF，所以S△OBE＝S△OCF，这样S四边形OECF＝S△OBC＝16，于是S＝S四边形OECF﹣S△CEF＝16﹣（8﹣t）•t，然后配方得到S＝（t﹣4）2+8（0≤t≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：根据题意BE＝CF＝t，CE＝8﹣t，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
∵在△OBE和△OCF中
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴S△OBE＝S△OCF，
∴S四边形OECF＝S△OBC＝×82＝16，
∴S＝S四边形OECF﹣S△CEF＝16﹣（8﹣t）•t＝t2﹣4t+16＝（t﹣4）2+8（0≤t≤8），
∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若二次根式有意义，则x可以是 2 （写出一个x的值即可）．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：二次根式有意义的条件是：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
12．（3分）不等式组的所有整数解的和是 ﹣4 ．
【答案】﹣4．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x≥﹣4，
解不等式②，得x＜4，
所以不等式组的解集是﹣4≤x＜4，
所以不等式组的整数解是﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，和为﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了不等式组的整数解，解一元一次不等式组和解一元一次不等式等知识点，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
13．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠BPC的度数是 50° ．
【答案】50°．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到∠ABC＝90°，进而求出∠CAB，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠CAB＝90°，
∵∠ACB＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
由圆周角定理得：∠BPC＝∠CAB＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
14．（3分）如图，长方形纸片ABCD中，点E是CD的中点，连接AE．按以下步骤作图：①分别以点A和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，且直线MN刚好经过点B．若DE＝3，则BC的长度是 3 ．
【答案】3．
【分析】先利用矩形的性质得到AB＝CD＝6，∠C＝90°，再利用基本作图得MN垂直平分AE，则根据线段垂直平分线的性质得到BE＝BA＝6，然后利用勾股定理可计算出BC的长．
【解答】解：∵点E是CD的中点，
∴CE＝DE＝3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝6，∠C＝90°，
由作法得MN垂直平分AE，
∴BE＝BA＝6，
在Rt△BCE中，BC＝＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的性质．
15．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝BC＝4，AD＝DE＝2，∠ABC＝∠ADE＝90°，连接CE，CD，点O为CE的中点，连接OD．将△ADE绕点A在平面内旋转，当∠CDE＝90°时，OD的长为 或 ．
【答案】或．
【分析】首先利用勾股定理可得，然后分两种情况讨论：当点D运动到线段AC上和点D运动到线段CA的延长线上时，利用勾股定理求得CE的长，然后结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可获得答案．
【解答】解：∵，∠ABC＝90°，
∴，
分两种情况讨论：
①如图，
当点D运动到线段AC上时，
∵∠ADE＝90°，
∴∠CDE＝180°﹣∠ADE＝90°，
∵AD＝2，
∴CD＝AC﹣AD＝8﹣2＝6，
∴，
∵点O为CE的中点，
∴；
②如图，
当点D运动到线段CA的延长线上时，
此时∠CDE＝∠ADE＝90°，CD＝AC+AD＝8+2＝10，
∴，
∵点O为CE的中点，
∴，
综上所述，OD的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，利用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
三、解答题（本题共8小题，共计75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）3；
（2）﹣．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）
＝3+1+﹣1﹣2×
＝3+1+﹣1﹣
＝3；
（2）
＝•
＝•
＝﹣．
【点评】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（8分）为倡导绿色健康节约的生活方式，梅苑社区开展“共建节约型社区”之减少塑料袋活动，鼓励居民自觉减少塑料袋的使用量，以促进环保．志愿者随机抽取了社区内100名居民，对其2024年2月24日（元宵节）当天购物，塑料袋使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
信息甲：使用塑料袋情况分布表信息
信息丙：C组包含的数据：14，14，13，13，13，13，13，13，12，12，12，12，12，11，11，11，11，10，10，10，10，10．
请结合以上信息完成下列问题：
（1）统计表中的m＝ 20 ，n＝ 20 ；
（2）统计图中A组对应扇形的圆心角为 36 度；
（3）C组数据的众数是 13 ，抽取的100名居民2024年2月24日元宵节当天购物塑料袋使用数量的中位数是 13.5 ；
（4）根据调查结果，请你估计该社区3000名购物居民中2024年2月24日元宵节当天购物塑料袋使用数量不少于15次的人数．
【答案】（1）20，20；
（2）36；
（3）13，13.5；
（4）1440名．
【分析】（1）总人数乘以B组对应百分比可得m的值，根据各组人数之和等于总人数可得n的值；
（2）用360°乘A组人数所占比例即可；
（3）根据众数和中位数的定义求解即可；
（4）总人数乘样本中D、E组人数和所占比例即可．
【解答】解：（1）m＝100×20%＝20，n＝100﹣（10+20+22+28）＝20，
故答案为：20，20；
（2）统计图中A组对应扇形的圆心角为360°×＝36°，
故答案为：36；
（3）C组数据的众数是13，
抽取的100名居民2023年2月5日（元宵节）当天购物塑料袋使用次数的中位数是＝13.5，
故答案为：13，13.5；
（4）3000×＝1440（名），
答：估计该社区3000名购物居民中2024年2月24日元宵节当天购物塑料袋使用数量不少于15次的人数大约为1440名．
【点评】本题考查统计表、用样本估计总体以及扇形统计图，应结合统计表和扇形统计图，利用部分与总体之间的关系进行求解．
18．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m≠0）的图象相交于点A（1，2），B（a，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）请直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．
（3）若直线y＝kx+b（k≠0）与x轴交于点C，x轴上是否存在一点P，使S△APC＝4？若存在，请求出点P坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝x+1；
（2）x＜﹣2或0＜x＜1；
（3）P（3，0）或（﹣5，0）．
【分析】（1）把点A（1，2）代入y＝得到反比例函数的解析式为y＝；把点A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b得到一次函数的解析式为：y＝x+1；
（2）根据图象解答即可；
（3）当y＝0时，得到C（﹣1，0），设P（x，0），根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）把点A（1，2）代入y＝得，2＝，
∴m＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
把B（a，﹣1）代入y＝得，a＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣1），
把点A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝x+1；
（2）kx+b﹣＜0变形得，
kx+b＜，
由图象可知，x＜﹣2或0＜x＜1时，kx+b﹣＜0；
（3）当y＝0时，0＝x+1，
解得：x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
设P（x，0），
∴S△APC＝，
∴x＝3或x＝﹣5，
∴P（3，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．
19．（9分）如图，小敏在观察大风车时，想测一下风叶的长度（风叶完全相同）．她首先通过C处的铭牌简介得知风车杆BC的高度为98米，然后沿水平方向走到D处，沿着斜坡DE走了35米到达E处观察风叶，风叶AB在如图所示的铅垂方向，测得点A的仰角为68°，风叶A′B在如图所示的水平方向，测得点A′的仰角为45°，若斜坡DE的坡度i＝1：0.75，小敏身高忽略不计．（结果精确到1米．参考数据：sin68°≈0.93，cs68°≈0.37，tan68°≈2.48）
（1）求小敏从D到E的过程中上升的竖直高度；
（2）求风叶的长度．
【答案】（1）小敏从D到E的过程中上升的坚直高度为28米；
（2）风叶的长度约为30cm．
【分析】（1）过点E作EF⊥CD，垂足为点F，根据已知设EF＝4x米，则DF＝3x米，然后在Rt△DEF中，利用勾股定理进行计算，即可解答；
（2）过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点A′作 A′H⊥EG，交EG的延长线于点H，根据题意可得：A'H＝BG，AB＝A′B＝GH，CG＝EF＝28米，从而可得A'H＝BG＝70米，然后在Rt△A′EH中，利用锐角三角函数的定义求出EH的长，再设AB＝A'B＝GH＝x米，则EG＝（70﹣x）米，AG＝（70+x）米，最后在Rt△AEG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点E作EF⊥CD，垂足为点F，
∵斜坡DE的坡度 i＝1：0.75，
∴＝＝，
∴设EF＝4x米，则DF＝3x米，
在Rt△DEF中，DE＝＝＝5x（米），
∵DE＝35米，
∴5x＝35，
解得：x＝7，
∴EF＝28米，DF＝15米，
∴小敏从D到E的过程中上升的坚直高度为28米；
（2）过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点A′作 A′H⊥EG，交EG的延长线于点H，
由题意得：A'H＝BG，AB＝A′B＝GH，CG＝EF＝28米，
∵BC＝98米，
∴A'H＝BG＝BC﹣CG＝98﹣28＝70（米），
在Rt△A′EH中，∠A'EH＝45°，
∴EH＝＝70（米），
设AB＝A'B＝GH＝x米，
∴EG＝EH﹣GH＝（70﹣x）米，AG＝AB+BG＝（70+x）米，
在Rt△AEG中，∠AEG＝68°，
∴tan68°＝＝≈2.48，
解得：x≈30，
经检验：x＝30是原方程的根，
∴AB＝30cm，
∴风叶的长度约为30cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．
（1）求证：BE＝EC．
（2）填空：①若∠B＝30°，AC＝2，则DE＝ 3 ；
②当∠B＝ 45 °时，以O，D，E，C为顶点的四边形是正方形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证出EC为⊙O的切线；由切线长定理得出EC＝ED，再求得EB＝ED，即可得出结论；
（2）①由含30°角的直角三角形的性质得出AB，由勾股定理求出BC，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出DE；
②由等腰三角形的性质，得到∠ODA＝∠A＝45°，于是∠DOC＝90°然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接DO；如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC为直径，
∴EC为⊙O的切线；
又∵ED也为⊙O的切线，
∴EC＝ED，
又∵∠EDO＝90°，
∴∠BDE+∠ADO＝90°，
∴∠BDE+∠A＝90°
又∵∠B+∠A＝90°，
∴∠BDE＝∠B，
∴BE＝ED，
∴BE＝EC；
（2）解：①∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，
∴AB＝2AC＝4，
∴BC＝＝6，
∵AC为直径，
∴∠BDC＝∠ADC＝90°，
由（1）得：BE＝EC，
∴DE＝BC＝3，
故答案为：3；
②当∠B＝45°时，四边形ODEC是正方形，理由如下：
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∴∠DOC＝90°，
∵∠ODE＝90°，
∴四边形DECO是矩形，
∵OD＝OC，
∴矩形DECO是正方形．
故答案为：45．
【点评】本题考查了圆的切线性质、解直角三角形的知识、切线长定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
21．（10分）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共300套进行销售，它们的进价和售价如下表：
已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费120元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费270元．
（1）求出a，b的值；
（2）该体育用品商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的，若这批体育用品能够全部售完，则如何购货才能获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）a、b的值分别是45元、30元；
（2）购进乒乓球拍75套，羽毛球拍225套，获利最大，最大利润为5250元．
【分析】（1）根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费120元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费270元，列出方程组，解方程组即可；
（2）根据总利润＝乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不少于羽毛球拍套数的求出自变量的取值范围，再根据函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：，
解得：，
答：a、b的值分别是45元、30元．
（2）设购进乒乓球拍x套，羽毛球拍（300﹣x）套．总利润为y元，
由题意得：，
解得：x≥75，
∵y＝（55﹣45）x+（50﹣30）（300﹣x）
＝﹣10x+6000，
∵﹣10＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝75时，y最大，且最大值为：﹣10×75+6000＝5250（元），
此时300﹣x＝225，
答：购进乒乓球拍75套，羽毛球拍225套，获利最大，最大利润为5250元．
【点评】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组．
22．（10分）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．如图①是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为2m，当水平距离为4.5m时，实心球行进至最高点m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据该市2023年中考体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4m，此项考试得分为满分17分．按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【答案】（1）；（2）该生在此项考试中得不到满分．
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为：
，
把（0，2）代入解析式得，
，
解得：
∴y关于x的函数表达式为：；
（2）该生在此项考试中得不到满分，理由：
当y＝0，则，，
解得：x1＝12，x2＝﹣1（舍去），
∵12＜12.4，
∴该生在此项考试中得不到满分．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．
23．（10分）综合与实践
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在▱ABCD中（∠ADC＞∠DAB），点P是边AD上一点．将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．
数学思考：
（1）“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF∥AD，与PC交于点F，连接DF，则四边形AEFD的形状一定是 菱形 （选填“菱形”“矩形”或“正方形”）；
拓展探究：
（2）“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，连接PF．试判断PF与PC的位置关系，并说明理由；
问题解决：
（3）“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：若点P是射线DA上一点，当点E恰好落在▱ABCD的边或边的延长线上时，AP＝3，AD＝7，CD＝10，直接写出BE的长．
【答案】（1）菱形；
（2）PF⊥PC，惠理由见解析过程；
（3）BE的长为7.5或3．
【分析】（1）由折叠的性质可知，AD＝AE，DF＝EF，∠DAF＝∠EAF，再根据平行线的性质推出∠EFA＝∠EAF，则EA＝EF，进而推出AD＝DF＝EF＝AE，即可证明四边形AEFD是菱形；
（2）连接AE．由折叠的性质可知，PD＝PE，∠PEC＝∠PDC，∠DPC＝∠EPC，由∠ADC+∠DAB＝180°，∠PEC+∠PEF＝180°，得到∠DAB＝∠PEF；由点P是AD的中点，得到PA＝PD＝PE，则∠PAE＝∠PEA，进一步证明∠AEF＝∠EAF，得到AF＝EF，证明△PAF≌△PEF，得到∠APF＝∠EPF，再根据平角的定义得到∠FPC＝90°，则PF⊥PC；
（3）①当点P在DA的延长线上时，点E在CB的延长线上时，由折叠的性质可知，DP＝CE，DC＝EP，四边形DCEP为平行四边形，由DP＝AD+AP＝10可知CE＝DP＝10，由BC＝AD＝7即可求得BE＝CE﹣CB＝3；
②当点P在DA间时，点E在AB间时，延长CP交BA的延长线于点T．设AE＝x．由折叠的性质可知，∠PCD＝∠PCE，CD＝CE＝10，再证明∠T＝∠PCE，得到EC＝ET＝10，AT＝10﹣x，证明△PDC∽△PAT，得到，即可求出AE＝2.5，由此可得BE＝AB﹣AE．即可求解
【解答】解：（1）由折叠的性质可知，AD＝AE，DF＝EF，∠DAF＝∠EAF，
∵EF∥AD，
∴∠DAF＝∠EFA，
∴∠EFA＝∠EAF，
∴EA＝EF，
∴AD＝DF＝EF＝AE，
∴四边形AEFD是菱形，
故答案为：菱形；
（2）PF⊥PC．理由如下：
连接AE，如图2，
由折叠的性质可知，PD＝PE，∠PEC＝∠PDC，∠DPC＝∠EPC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
∵∠PEC+∠PEF＝180°，
∴∠DAB＝∠PEF，
∵点P是AD的中点，
∴PA＝PD＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∴∠DAB﹣∠PAE＝∠PEF﹣∠PEA，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF，
∵PF＝PF，
∴△PAF≌△PEF（SSS），
∴∠APF＝∠EPF，
∵∠DPC+∠CPE+∠EPF+∠APF＝180°，
∴2∠CPE+2∠FPE＝180°，
∴∠FPC＝90°，
∴PF⊥PC；
（3）分两种情况：
①当点P在DA的延长线上时，点E在CB的延长线上时，如图3，
由折叠的性质可知，DP＝CE，DC＝EP，四边形DCEP为平行四边形，
∵DP＝AD+AP＝7+3＝10，
∴CE＝DP＝10，
∵BC＝AD＝7，
∴BE＝CE﹣CB＝10﹣7＝3，
②当点P在DA间时，点E在AB间时，如图4，
延长CP交BA的延长线于点T．设AE＝x，
由折叠的性质可知，∠PCD＝∠PCE，CD＝CE＝10，
∵CD∥BT，
∴∠T＝∠DCP，
∴∠T＝∠PCE，
∴EC＝ET＝10，AT＝10﹣x，
∵AT∥CD，
∴△PDC∽△PAT，
∴，
∴，
∴x＝2.5，
∴AE＝2.5，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣2.5＝7.5．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
组别
使用塑料袋数量
频数
A
0≤x＜5
10
B
5≤x＜10
m
C
10≤x＜15
22
D
15≤x＜20
28
E
20≤x
n
合计
100
进价
售价
乒乓球拍（元/套）
a
55
羽毛球拍（元/套）
b
50
组别
使用塑料袋数量
频数
A
0≤x＜5
10
B
5≤x＜10
m
C
10≤x＜15
22
D
15≤x＜20
28
E
20≤x
n
合计
100
进价
售价
乒乓球拍（元/套）
a
55
羽毛球拍（元/套）
b
50