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2023年河南省新乡市中考数学一模试卷附解析
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这是一份2023年河南省新乡市中考数学一模试卷附解析，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省新乡市中考数学一模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．与﹣2 B．﹣1与﹣（+1） C．﹣（﹣3）与﹣3 D．2与|﹣2|
2．（3分）《全国防沙治沙规划（2021﹣2030年）》正式印发实施，提出到2030年，规划完成沙化土地治理任务1.86亿亩，数据“1.86亿”用科学记数法表示为（ ）
A．1.86×107 B．1.86×108 C．0.186×108 D．18.6×106
3．（3分）如图是几个相同的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣2a2＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C． D．
5．（3分）将一次函数y＝2x+1的图象向下平移2个单位长度后，所得新图象的函数表达式为（ ）
A．y＝2x﹣1 B．y＝2x﹣3 C．y＝2x D．y＝2x+3
6．（3分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝，过点A作直线m∥BC，将△ABC绕点B顺时针旋转到如图所示位置，此时点C的对应点C'恰好落在直线m上，则的∠CBC′度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．（3分）夏至是二十四节气之一，俗语道“不过夏至不热”，如图是我省某地夏至后某一周的最高气温折线统计图，则这一周最高气温的众数是（ ）
A．35℃ B．30℃ C．33℃ D．37℃
8．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0没有实数根，则a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．1
9．（3分）如图，正方形ABCD的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为（1，0），以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点F的对应点F2023的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图1，在矩形ABCD（AB＞AD）中，动点P从点B出发，沿B→C做匀速运动，到达点C后停止运动，动点Q从点D出发，沿D→C以同样的速度做匀速运动，到达点C后也停止运动，已知点P，Q同时开始运动，连接AP，AQ，设DQ＝x，AP﹣AQ＝y，其中y关于x的函数图象如图2所示，则图中m的值为（ ）
A．3 B．﹣2 C．4﹣2 D．2﹣2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）分式方程的解为 ．
12．（3分）新定义：对于任何实数m，符号[m]表示不大于m的最大整数．已知[x]＝a，则a≤x＜a+1．例如：若[x]＝4，则4≤x＜5．如果[x﹣1]＝2021，那么x的取值范围是 ．
13．（3分）现有4张卡片的正面分别写有数字1，2，3，4，除此之外完全相同，现将这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则所抽卡片上的数字之和为偶数的概率是 ．
14．（3分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知Rt△ABC的三个顶点均在格点上，且∠BAC＝90°，点M为AC上一点，以点A为圆心，AM的长为半径作圆与边BC相切于点N，已知为该圆的一部分．则图中由线段CN，CM及所围成的阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点P在边BC上，且，连接AP，将△ABP沿AP折叠，若点B的对应点Q落在矩形ABCD的边上，则PC的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）为庆祝党的二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加了“学习二十大，永远跟党走”主题知识竞赛（百分制，成绩不低于80分的学生即掌握情况良好），并将测试成绩分为四个等级：
A．60＜x≤70，B．70＜x≤80，C．80＜x≤90，D．90＜x≤100，抽样和分析过程如下：
【收集数据】从两个年级中各随机抽取20名学生，测试成绩（单位：分）如下：
七年级：95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 78 80 80 95 65 100 88 85 85 80
八年级：83 79 98 69 95 87 75 66 88 77 76 94 79 79 82 82 96 81 71 79
整理以上数据，绘制了频数分布表：
频数分数
年级
60＜x≤70
70＜x≤80
80＜x≤90
90＜x≤100
七年级
2
8
5
5
八年级
2
8
6
4
【分析数据】根据以上数据，得到如表统计量：
平均数
中位数
众数
七年级
84.3
a
80
八年级
81.8
80
b
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝ ，b＝ ；
（2）根据上述数据，你认为哪个年级的测试成绩更好，并说明理由；
（3）请对该校七年级学生“学习二十大，永远跟党走”知识的掌握情况作出合理的评价．
18．（9分）如图，直线AB：y1＝kx+b（k≠0）交坐标轴于点C，D，且与反比例函数的图象相交于点A（m，3），B（m+4，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA，在x轴上找一点M，使△AOM是以OA为腰的等腰三角形，求出点M的坐标．
19．（9分）中原大佛，位于河南省平顶山市鲁山县．某校数学活动小组到景区测量这尊佛像的高度，如图，他们从点B处测得佛像顶部A的仰角为35°，然后向前走89m后到达点C，从点C处测得佛像顶部A的仰角为45°，已知点B，C，D在同一水平直线上，且佛像底座ED高100m，求佛像AE的高度．（结果精确到1m，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
20．（9分）某公司决定为优秀员工购买A，B两种奖品，已知购买3个A种奖品比购买2个B种奖品多花140元，购买4个A种奖品与购买5个B种奖品所需钱数相同．
（1）求A，B两种奖品每个的价格；
（2）商家推出了促销活动，A种奖品打九折．若该公司打算购买A，B两种奖品共30个，且B种奖品的个数不多于A种奖品个数的一半，则该公司最少花费多少钱？
21．（9分）如图，点D为⊙O上一点，BE为⊙O的直径，延长BE到点A，连接BD，AD，并过点B作BC⊥AD，交⊙O于点F，交AD的延长线于点C，已知BD恰好为∠CBA的平分线．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AB＝6，求线段BF的长．
22．（10分）根据《平顶山市志》记载，中兴路湛河桥是“市区第一座横跨湛河的大桥”．已知该桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面AB的宽为50m，最高点C距离水面10m，如图所示以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）某次大雨后水面上涨至EF，测得最高点C距离EF的高度为3.6m，求桥拱下水面EF的宽度．
23．（10分）已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α（0°＜a＜360°），连接BD，AE，请完成如下问题：（1）如图1，若△ABC和△CDE均为等边三角形，①线段BD与线段AE的数量关系是 ；②直线BD与直线AE相交所夹锐角的度数是 ；
类比探究：（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；
拓展应用：（3）如图3，若∠BAC＝∠DEC＝90°，AB＝AC，CE＝DE，BC＝2CD＝2，当点B，D，E三点共线时，请直接写出BD的长．
2023年河南省新乡市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．与﹣2 B．﹣1与﹣（+1） C．﹣（﹣3）与﹣3 D．2与|﹣2|
【解答】解：A、与﹣2互为倒数，不符合题意；
B、﹣（+1）＝﹣1与﹣1相同，不符合题意；
C、﹣（﹣3）＝3与﹣3是相反数，符合题意；
D、|﹣2|＝2与2相同，不符合题意；
故选：C．
2．（3分）《全国防沙治沙规划（2021﹣2030年）》正式印发实施，提出到2030年，规划完成沙化土地治理任务1.86亿亩，数据“1.86亿”用科学记数法表示为（ ）
A．1.86×107 B．1.86×108 C．0.186×108 D．18.6×106
【解答】解：1.86亿＝186000000，用科学记数法表示为1.86×108．
故选：B．
3．（3分）如图是几个相同的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从正面看，最左面一列能看到3个小立方块，中间一列能看到2个小立方块，最右面一列能看到2个小立方块．
即主视图为：．
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣2a2＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C． D．
【解答】解：A、3a2﹣2a2＝a2≠1，故选项错误，不符合题意；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≠a2﹣b2，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意，
故选：D．
5．（3分）将一次函数y＝2x+1的图象向下平移2个单位长度后，所得新图象的函数表达式为（ ）
A．y＝2x﹣1 B．y＝2x﹣3 C．y＝2x D．y＝2x+3
【解答】解：将一次函数y＝2x+1的图象向下平移2个单位长度后，所得新图象的函数表达式为y＝2x+1﹣2＝2x﹣1．
故选：A．
6．（3分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝，过点A作直线m∥BC，将△ABC绕点B顺时针旋转到如图所示位置，此时点C的对应点C'恰好落在直线m上，则的∠CBC′度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【解答】由题意可求出在Rt△ABC中，BC＝＝2，
由旋转的性质可知BC'＝BC＝2，
∵m∥BC，
∴∠BAC'＝180°﹣∠ABC＝90°，∠CBC'＝∠AC'B，
∵AB＝1，
∴，
∴∠AC'B＝30°，
∴∠CBC'＝30°，
故选：A．
7．（3分）夏至是二十四节气之一，俗语道“不过夏至不热”，如图是我省某地夏至后某一周的最高气温折线统计图，则这一周最高气温的众数是（ ）
A．35℃ B．30℃ C．33℃ D．37℃
【解答】解：由图可知，这组数据中，33出现次数最多，
则这组数据的众数是33°C，
故选：C．
8．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0没有实数根，则a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．1
【解答】解：由题意得Δ＝（﹣1）2﹣4a＜0，a≠0，
解得．
∴a的值可以是1．
故选：D．
9．（3分）如图，正方形ABCD的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为（1，0），以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点F的对应点F2023的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵360°÷90°＝4，
∴每旋转4次为一个循环，
∴2023÷4＝505⋯⋯3．即第2023次旋转结束时，点F2023的坐标与第3次旋转结束时点F3的坐标相同．F3的位置如图所示，
过点F3作F3M⊥y轴于点M，连接OF，OF3．
由旋转得，△AOF≌△MF3O．
∵点B（1，0），
∴OB＝1．
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB＝1．
∴．
∵四边形ABEF是菱形，
∴．
∵△AOF≌△MF3O，
∴MF3＝OA＝1，．
∴点F3的坐标为．则点F2023的坐标为．
故选：B．
10．（3分）如图1，在矩形ABCD（AB＞AD）中，动点P从点B出发，沿B→C做匀速运动，到达点C后停止运动，动点Q从点D出发，沿D→C以同样的速度做匀速运动，到达点C后也停止运动，已知点P，Q同时开始运动，连接AP，AQ，设DQ＝x，AP﹣AQ＝y，其中y关于x的函数图象如图2所示，则图中m的值为（ ）
A．3 B．﹣2 C．4﹣2 D．2﹣2
【解答】解：根据函数图象可知AB﹣AD＝．
∵点P，Q的速度相同，
∴当x＝时，点P与点C重合，此时BC＝DQ＝，AP﹣AQ＝m．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝，AB＝CD，
∴AB＝CD＝AD+＝2．
当x＝时，在Rt△ABP中，AP＝＝＝，
在Rt△ADQ中，AQ＝＝＝2，
∴m＝AP﹣AQ＝﹣2．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）分式方程的解为 x＝5 ．
【解答】解：去分母得：2＝x﹣3，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解．
故答案为：x＝5
12．（3分）新定义：对于任何实数m，符号[m]表示不大于m的最大整数．已知[x]＝a，则a≤x＜a+1．例如：若[x]＝4，则4≤x＜5．如果[x﹣1]＝2021，那么x的取值范围是 2022≤x＜2023 ．
【解答】解：由题意可得：2021≤x﹣1＜2022，
解得：2022≤x＜2023．
故答案为：2022≤x＜2023．
13．（3分）现有4张卡片的正面分别写有数字1，2，3，4，除此之外完全相同，现将这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则所抽卡片上的数字之和为偶数的概率是 ．
【解答】解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，所抽卡片上的数字之和为：3，4，5，3，5，6，4，5，7，5，6，7，
其中所抽卡片上的数字之和为偶数的结果有：4，6，4，6，共4种，
∴所抽卡片上的数字之和为偶数的概率为．
故答案为：．
14．（3分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知Rt△ABC的三个顶点均在格点上，且∠BAC＝90°，点M为AC上一点，以点A为圆心，AM的长为半径作圆与边BC相切于点N，已知为该圆的一部分．则图中由线段CN，CM及所围成的阴影部分的面积为 ．
【解答】解：如图，连接AN，
根据网格线，可得，，，
∴BC2＝AC2+AB2，且AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，
∵边BC与所在的圆相切于点N，AN⊥BC，
∴．
在Rt△ACN中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点P在边BC上，且，连接AP，将△ABP沿AP折叠，若点B的对应点Q落在矩形ABCD的边上，则PC的长为 1或 ．
【解答】解：分两种情况：①当点Q落在AD边上时，如图1．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°．
∵将△ABP沿AP折叠，点B的对应点Q落在AD边上，
∴AQ＝AB，∠AQP＝∠B＝90°，
∴四边形ABPQ为正方形，
∴AB＝BP＝3，
∴，
∴PC＝4﹣3＝1；
②当点Q落在CD边上时，如图2．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
设PC＝x，
∵，
∴BC＝4x，BP＝3x．
由折叠可知PQ＝BP＝3x，∠AQP＝∠B＝90°，AQ＝AB＝3，
在Rt△PCQ中，CQ＝＝2x．
∵∠PQC＝∠DAQ＝90°﹣∠AQD，∠D＝∠C＝90°，
∴△ADQ∽△QCP，
∴，即，
解得x＝．
综上所述，PC的长为1或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝
＝
＝．
17．（9分）为庆祝党的二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加了“学习二十大，永远跟党走”主题知识竞赛（百分制，成绩不低于80分的学生即掌握情况良好），并将测试成绩分为四个等级：
A．60＜x≤70，B．70＜x≤80，C．80＜x≤90，D．90＜x≤100，抽样和分析过程如下：
【收集数据】从两个年级中各随机抽取20名学生，测试成绩（单位：分）如下：
七年级：95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 78 80 80 95 65 100 88 85 85 80
八年级：83 79 98 69 95 87 75 66 88 77 76 94 79 79 82 82 96 81 71 79
整理以上数据，绘制了频数分布表：
频数分数
年级
60＜x≤70
70＜x≤80
80＜x≤90
90＜x≤100
七年级
2
8
5
5
八年级
2
8
6
4
【分析数据】根据以上数据，得到如表统计量：
平均数
中位数
众数
七年级
84.3
a
80
八年级
81.8
80
b
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝ 82.5 ，b＝ 79 ；
（2）根据上述数据，你认为哪个年级的测试成绩更好，并说明理由；
（3）请对该校七年级学生“学习二十大，永远跟党走”知识的掌握情况作出合理的评价．
【解答】解：（1）七年级的测试成绩从小到大排列，处在第10，11位的数分别是80，85，
∴七年级的中位数．
八年级的测试成绩中出现次数最多的为79分，
∴b＝79．
故答案为：82.5，79；
（2）七年级的测试成绩更好．
理由：∵84.3＞81.8，82.5＞80，80＞79，
∴七年级测试成绩的平均数、中位数、众数都高于八年级，
∴七年级的测试成绩更好；
（3）由数据可知七年级测试成绩不低于80分的学生有15人，占七年级所抽取人数的，则说明该校七年级大部分学生对“学习二十大，永远跟党走”知识的掌握情况较好．（不唯一，合理均可）
18．（9分）如图，直线AB：y1＝kx+b（k≠0）交坐标轴于点C，D，且与反比例函数的图象相交于点A（m，3），B（m+4，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA，在x轴上找一点M，使△AOM是以OA为腰的等腰三角形，求出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵A（m，3），B（m+4，1），
∴n＝3m＝（m+4）×1，
解得m＝2，
∴n＝3×2＝6，
∴点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（6，1），
∴反比例函数的表达式为．
∵A（2，3），B（6，1），
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）∵点A的坐标为（2，3），
∴OA＝＝，
分两种情况：①当OM＝OA＝时，点M的坐标为（，0）或（﹣，0）；
②如图，当AM＝OA时，作AP⊥x轴于点P，则MP＝OP＝2，
∴OM＝4．
∴点M的坐标为（4，0）．
综上所述，当△AOM是以OA为腰的等腰三角形时，点M的坐标为（，0）或（﹣，0）或（4，0）．
19．（9分）中原大佛，位于河南省平顶山市鲁山县．某校数学活动小组到景区测量这尊佛像的高度，如图，他们从点B处测得佛像顶部A的仰角为35°，然后向前走89m后到达点C，从点C处测得佛像顶部A的仰角为45°，已知点B，C，D在同一水平直线上，且佛像底座ED高100m，求佛像AE的高度．（结果精确到1m，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【解答】解：由题意得∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，DE＝100m，BC＝89m，
∴∠CAD＝45°，
∴CD＝AD．
设AD＝CD＝xm，则BD＝（x+89）m．
在Rt△BDA中，tanB＝tan35°＝＝≈0.70，
解得x≈207.7．
经检验，x＝207.7是原方程的解．
∴AE＝AD﹣DE＝207.7﹣100≈108（m）．
答：佛像AE的高度约为108m．
20．（9分）某公司决定为优秀员工购买A，B两种奖品，已知购买3个A种奖品比购买2个B种奖品多花140元，购买4个A种奖品与购买5个B种奖品所需钱数相同．
（1）求A，B两种奖品每个的价格；
（2）商家推出了促销活动，A种奖品打九折．若该公司打算购买A，B两种奖品共30个，且B种奖品的个数不多于A种奖品个数的一半，则该公司最少花费多少钱？
【解答】解：（1）设每个A种奖品的价格为x元，每个B种奖品价格为y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：每个A种奖品的价格为100元，每个B种奖品的价格为80元；
（2）设购买A种奖品a个，则购买B种奖品（30﹣a）个，
根据题意，得：，
解得：a≥20．
设购买奖品的总花费为w元，
根据题意，得：w＝100a×0.9+80（30﹣a）＝10a+2400，
∵10＞0，
∴w随着a的增大而增大．
∴当a＝20时，w取得最小值，wmin＝10×20+2400＝2600．
答：该公司最少花费2600元．
21．（9分）如图，点D为⊙O上一点，BE为⊙O的直径，延长BE到点A，连接BD，AD，并过点B作BC⊥AD，交⊙O于点F，交AD的延长线于点C，已知BD恰好为∠CBA的平分线．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AB＝6，求线段BF的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OD＝OB，
∴∠ABD＝∠BDO，
∴∠BDO＝∠CBD，
∴BC∥OD，
∵BC⊥AD，
∴∠BCA＝90°，
∴∠ODA＝∠BCA＝90°，
∴OD⊥AC，
∵OD是⊙O的半径，
∴AC为⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接EF，
∵∠BCA＝90°，BC＝2，AB＝6，
∴，
设OB＝OD＝r，则OA＝6﹣r，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠ADO＝90°，
∴，
∴，
解得，
∴，BE＝3，
∵BE为⊙O直径，
∴∠BFE＝90°，
∴FE∥CA，
∴∠FEB＝∠CAB，
∴，
即，
∴BF＝1．
22．（10分）根据《平顶山市志》记载，中兴路湛河桥是“市区第一座横跨湛河的大桥”．已知该桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面AB的宽为50m，最高点C距离水面10m，如图所示以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）某次大雨后水面上涨至EF，测得最高点C距离EF的高度为3.6m，求桥拱下水面EF的宽度．
【解答】解：（1）由题意得，点C的坐标为（0，10），
∴点A的坐标为（﹣25，0），
设抛物线的表达式为y＝ax2+10（a≠0），
把A（﹣25，0）代入，得625a+10＝0，
解得：，
∴该抛物线的表达式为；
（2）∵点C的坐标为（0，10），
∴OC＝10m．
由题意得CD＝3.6m，
∴OD＝OC﹣CD＝10﹣3.6＝6.4（m），
由题意得，
解得：x1＝15，x2＝﹣15，
∴点E的坐标为（﹣15，6.4），点F的坐标为（15，6.4），
∴EF＝15﹣（﹣15）＝30（m），
答：桥拱下水面EF的宽度为30m．
23．（10分）已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α（0°＜a＜360°），连接BD，AE，请完成如下问题：（1）如图1，若△ABC和△CDE均为等边三角形，①线段BD与线段AE的数量关系是 BD＝AE ；②直线BD与直线AE相交所夹锐角的度数是 60° ；
类比探究：（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；
拓展应用：（3）如图3，若∠BAC＝∠DEC＝90°，AB＝AC，CE＝DE，BC＝2CD＝2，当点B，D，E三点共线时，请直接写出BD的长．
【解答】解：（1）①如图1，延长BD交AE的延长线于点F．
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°．
∴∠BCD＝∠ACE．
∴△BCD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝AE；
②∵△BCD≌△ACE，
∴∠DBC＝∠EAC．
∴∠DBC+∠ACB＝∠EAC+∠F，
∴∠F＝∠ACB＝60°；
故答案为：BD＝AE；60°；
（2）①不成立，；
理由：如图2，
延长BD交AE的延长线于点F．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴，∠BCD＝∠ECA．
∴△BCD∽△ACE，
∴，
∴AE＝2BD；
②成立；
∵△BCD∽△ACE，
∴∠DBC＝∠EAC，
∴∠DBC+∠ACB＝∠EAC+∠F．
∴∠F＝∠ACB＝60°；
（3）①如图3，当点D落在线段BE上时．
∵∠BAC＝∠DEC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝45°，BC＝2CD＝2，
∴BC＝AC＝2，CD＝EC＝，
∴AC＝2，CE＝1．
∵∠E＝90°
∴BE＝＝，
∴BD＝BE﹣DE＝﹣1；
②如图4，当点E落在线段BD上时，
同理可得，BD＝BE+DE＝+1．
综上所述，BD的长为﹣1或+1．
2023年河南省新乡市中考数学一模试卷附解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．与﹣2 B．﹣1与﹣（+1） C．﹣（﹣3）与﹣3 D．2与|﹣2|
2．（3分）《全国防沙治沙规划（2021﹣2030年）》正式印发实施，提出到2030年，规划完成沙化土地治理任务1.86亿亩，数据“1.86亿”用科学记数法表示为（ ）
A．1.86×107 B．1.86×108 C．0.186×108 D．18.6×106
3．（3分）如图是几个相同的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣2a2＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C． D．
5．（3分）将一次函数y＝2x+1的图象向下平移2个单位长度后，所得新图象的函数表达式为（ ）
A．y＝2x﹣1 B．y＝2x﹣3 C．y＝2x D．y＝2x+3
6．（3分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝，过点A作直线m∥BC，将△ABC绕点B顺时针旋转到如图所示位置，此时点C的对应点C'恰好落在直线m上，则的∠CBC′度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．（3分）夏至是二十四节气之一，俗语道“不过夏至不热”，如图是我省某地夏至后某一周的最高气温折线统计图，则这一周最高气温的众数是（ ）
A．35℃ B．30℃ C．33℃ D．37℃
8．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0没有实数根，则a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．1
9．（3分）如图，正方形ABCD的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为（1，0），以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点F的对应点F2023的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）如图1，在矩形ABCD（AB＞AD）中，动点P从点B出发，沿B→C做匀速运动，到达点C后停止运动，动点Q从点D出发，沿D→C以同样的速度做匀速运动，到达点C后也停止运动，已知点P，Q同时开始运动，连接AP，AQ，设DQ＝x，AP﹣AQ＝y，其中y关于x的函数图象如图2所示，则图中m的值为（ ）
A．3 B．﹣2 C．4﹣2 D．2﹣2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）分式方程的解为 ．
12．（3分）新定义：对于任何实数m，符号[m]表示不大于m的最大整数．已知[x]＝a，则a≤x＜a+1．例如：若[x]＝4，则4≤x＜5．如果[x﹣1]＝2021，那么x的取值范围是 ．
13．（3分）现有4张卡片的正面分别写有数字1，2，3，4，除此之外完全相同，现将这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则所抽卡片上的数字之和为偶数的概率是 ．
14．（3分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知Rt△ABC的三个顶点均在格点上，且∠BAC＝90°，点M为AC上一点，以点A为圆心，AM的长为半径作圆与边BC相切于点N，已知为该圆的一部分．则图中由线段CN，CM及所围成的阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点P在边BC上，且，连接AP，将△ABP沿AP折叠，若点B的对应点Q落在矩形ABCD的边上，则PC的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）为庆祝党的二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加了“学习二十大，永远跟党走”主题知识竞赛（百分制，成绩不低于80分的学生即掌握情况良好），并将测试成绩分为四个等级：
A．60＜x≤70，B．70＜x≤80，C．80＜x≤90，D．90＜x≤100，抽样和分析过程如下：
【收集数据】从两个年级中各随机抽取20名学生，测试成绩（单位：分）如下：
七年级：95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 78 80 80 95 65 100 88 85 85 80
八年级：83 79 98 69 95 87 75 66 88 77 76 94 79 79 82 82 96 81 71 79
整理以上数据，绘制了频数分布表：
频数分数
年级
60＜x≤70
70＜x≤80
80＜x≤90
90＜x≤100
七年级
2
8
5
5
八年级
2
8
6
4
【分析数据】根据以上数据，得到如表统计量：
平均数
中位数
众数
七年级
84.3
a
80
八年级
81.8
80
b
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝ ，b＝ ；
（2）根据上述数据，你认为哪个年级的测试成绩更好，并说明理由；
（3）请对该校七年级学生“学习二十大，永远跟党走”知识的掌握情况作出合理的评价．
18．（9分）如图，直线AB：y1＝kx+b（k≠0）交坐标轴于点C，D，且与反比例函数的图象相交于点A（m，3），B（m+4，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA，在x轴上找一点M，使△AOM是以OA为腰的等腰三角形，求出点M的坐标．
19．（9分）中原大佛，位于河南省平顶山市鲁山县．某校数学活动小组到景区测量这尊佛像的高度，如图，他们从点B处测得佛像顶部A的仰角为35°，然后向前走89m后到达点C，从点C处测得佛像顶部A的仰角为45°，已知点B，C，D在同一水平直线上，且佛像底座ED高100m，求佛像AE的高度．（结果精确到1m，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
20．（9分）某公司决定为优秀员工购买A，B两种奖品，已知购买3个A种奖品比购买2个B种奖品多花140元，购买4个A种奖品与购买5个B种奖品所需钱数相同．
（1）求A，B两种奖品每个的价格；
（2）商家推出了促销活动，A种奖品打九折．若该公司打算购买A，B两种奖品共30个，且B种奖品的个数不多于A种奖品个数的一半，则该公司最少花费多少钱？
21．（9分）如图，点D为⊙O上一点，BE为⊙O的直径，延长BE到点A，连接BD，AD，并过点B作BC⊥AD，交⊙O于点F，交AD的延长线于点C，已知BD恰好为∠CBA的平分线．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AB＝6，求线段BF的长．
22．（10分）根据《平顶山市志》记载，中兴路湛河桥是“市区第一座横跨湛河的大桥”．已知该桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面AB的宽为50m，最高点C距离水面10m，如图所示以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）某次大雨后水面上涨至EF，测得最高点C距离EF的高度为3.6m，求桥拱下水面EF的宽度．
23．（10分）已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α（0°＜a＜360°），连接BD，AE，请完成如下问题：（1）如图1，若△ABC和△CDE均为等边三角形，①线段BD与线段AE的数量关系是 ；②直线BD与直线AE相交所夹锐角的度数是 ；
类比探究：（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；
拓展应用：（3）如图3，若∠BAC＝∠DEC＝90°，AB＝AC，CE＝DE，BC＝2CD＝2，当点B，D，E三点共线时，请直接写出BD的长．
2023年河南省新乡市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．与﹣2 B．﹣1与﹣（+1） C．﹣（﹣3）与﹣3 D．2与|﹣2|
【解答】解：A、与﹣2互为倒数，不符合题意；
B、﹣（+1）＝﹣1与﹣1相同，不符合题意；
C、﹣（﹣3）＝3与﹣3是相反数，符合题意；
D、|﹣2|＝2与2相同，不符合题意；
故选：C．
2．（3分）《全国防沙治沙规划（2021﹣2030年）》正式印发实施，提出到2030年，规划完成沙化土地治理任务1.86亿亩，数据“1.86亿”用科学记数法表示为（ ）
A．1.86×107 B．1.86×108 C．0.186×108 D．18.6×106
【解答】解：1.86亿＝186000000，用科学记数法表示为1.86×108．
故选：B．
3．（3分）如图是几个相同的小立方块所搭的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从正面看，最左面一列能看到3个小立方块，中间一列能看到2个小立方块，最右面一列能看到2个小立方块．
即主视图为：．
故选：B．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2﹣2a2＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C． D．
【解答】解：A、3a2﹣2a2＝a2≠1，故选项错误，不符合题意；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2≠a2﹣b2，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，选项正确，符合题意，
故选：D．
5．（3分）将一次函数y＝2x+1的图象向下平移2个单位长度后，所得新图象的函数表达式为（ ）
A．y＝2x﹣1 B．y＝2x﹣3 C．y＝2x D．y＝2x+3
【解答】解：将一次函数y＝2x+1的图象向下平移2个单位长度后，所得新图象的函数表达式为y＝2x+1﹣2＝2x﹣1．
故选：A．
6．（3分）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝，过点A作直线m∥BC，将△ABC绕点B顺时针旋转到如图所示位置，此时点C的对应点C'恰好落在直线m上，则的∠CBC′度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【解答】由题意可求出在Rt△ABC中，BC＝＝2，
由旋转的性质可知BC'＝BC＝2，
∵m∥BC，
∴∠BAC'＝180°﹣∠ABC＝90°，∠CBC'＝∠AC'B，
∵AB＝1，
∴，
∴∠AC'B＝30°，
∴∠CBC'＝30°，
故选：A．
7．（3分）夏至是二十四节气之一，俗语道“不过夏至不热”，如图是我省某地夏至后某一周的最高气温折线统计图，则这一周最高气温的众数是（ ）
A．35℃ B．30℃ C．33℃ D．37℃
【解答】解：由图可知，这组数据中，33出现次数最多，
则这组数据的众数是33°C，
故选：C．
8．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0没有实数根，则a的值可以是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．1
【解答】解：由题意得Δ＝（﹣1）2﹣4a＜0，a≠0，
解得．
∴a的值可以是1．
故选：D．
9．（3分）如图，正方形ABCD的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为（1，0），以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点F的对应点F2023的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵360°÷90°＝4，
∴每旋转4次为一个循环，
∴2023÷4＝505⋯⋯3．即第2023次旋转结束时，点F2023的坐标与第3次旋转结束时点F3的坐标相同．F3的位置如图所示，
过点F3作F3M⊥y轴于点M，连接OF，OF3．
由旋转得，△AOF≌△MF3O．
∵点B（1，0），
∴OB＝1．
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA＝OB＝1．
∴．
∵四边形ABEF是菱形，
∴．
∵△AOF≌△MF3O，
∴MF3＝OA＝1，．
∴点F3的坐标为．则点F2023的坐标为．
故选：B．
10．（3分）如图1，在矩形ABCD（AB＞AD）中，动点P从点B出发，沿B→C做匀速运动，到达点C后停止运动，动点Q从点D出发，沿D→C以同样的速度做匀速运动，到达点C后也停止运动，已知点P，Q同时开始运动，连接AP，AQ，设DQ＝x，AP﹣AQ＝y，其中y关于x的函数图象如图2所示，则图中m的值为（ ）
A．3 B．﹣2 C．4﹣2 D．2﹣2
【解答】解：根据函数图象可知AB﹣AD＝．
∵点P，Q的速度相同，
∴当x＝时，点P与点C重合，此时BC＝DQ＝，AP﹣AQ＝m．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝，AB＝CD，
∴AB＝CD＝AD+＝2．
当x＝时，在Rt△ABP中，AP＝＝＝，
在Rt△ADQ中，AQ＝＝＝2，
∴m＝AP﹣AQ＝﹣2．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）分式方程的解为 x＝5 ．
【解答】解：去分母得：2＝x﹣3，
解得：x＝5，
经检验x＝5是分式方程的解．
故答案为：x＝5
12．（3分）新定义：对于任何实数m，符号[m]表示不大于m的最大整数．已知[x]＝a，则a≤x＜a+1．例如：若[x]＝4，则4≤x＜5．如果[x﹣1]＝2021，那么x的取值范围是 2022≤x＜2023 ．
【解答】解：由题意可得：2021≤x﹣1＜2022，
解得：2022≤x＜2023．
故答案为：2022≤x＜2023．
13．（3分）现有4张卡片的正面分别写有数字1，2，3，4，除此之外完全相同，现将这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则所抽卡片上的数字之和为偶数的概率是 ．
【解答】解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，所抽卡片上的数字之和为：3，4，5，3，5，6，4，5，7，5，6，7，
其中所抽卡片上的数字之和为偶数的结果有：4，6，4，6，共4种，
∴所抽卡片上的数字之和为偶数的概率为．
故答案为：．
14．（3分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知Rt△ABC的三个顶点均在格点上，且∠BAC＝90°，点M为AC上一点，以点A为圆心，AM的长为半径作圆与边BC相切于点N，已知为该圆的一部分．则图中由线段CN，CM及所围成的阴影部分的面积为 ．
【解答】解：如图，连接AN，
根据网格线，可得，，，
∴BC2＝AC2+AB2，且AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，
∵边BC与所在的圆相切于点N，AN⊥BC，
∴．
在Rt△ACN中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点P在边BC上，且，连接AP，将△ABP沿AP折叠，若点B的对应点Q落在矩形ABCD的边上，则PC的长为 1或 ．
【解答】解：分两种情况：①当点Q落在AD边上时，如图1．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°．
∵将△ABP沿AP折叠，点B的对应点Q落在AD边上，
∴AQ＝AB，∠AQP＝∠B＝90°，
∴四边形ABPQ为正方形，
∴AB＝BP＝3，
∴，
∴PC＝4﹣3＝1；
②当点Q落在CD边上时，如图2．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
设PC＝x，
∵，
∴BC＝4x，BP＝3x．
由折叠可知PQ＝BP＝3x，∠AQP＝∠B＝90°，AQ＝AB＝3，
在Rt△PCQ中，CQ＝＝2x．
∵∠PQC＝∠DAQ＝90°﹣∠AQD，∠D＝∠C＝90°，
∴△ADQ∽△QCP，
∴，即，
解得x＝．
综上所述，PC的长为1或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝
＝
＝．
17．（9分）为庆祝党的二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加了“学习二十大，永远跟党走”主题知识竞赛（百分制，成绩不低于80分的学生即掌握情况良好），并将测试成绩分为四个等级：
A．60＜x≤70，B．70＜x≤80，C．80＜x≤90，D．90＜x≤100，抽样和分析过程如下：
【收集数据】从两个年级中各随机抽取20名学生，测试成绩（单位：分）如下：
七年级：95 75 80 90 70 80 95 75 100 90 78 80 80 95 65 100 88 85 85 80
八年级：83 79 98 69 95 87 75 66 88 77 76 94 79 79 82 82 96 81 71 79
整理以上数据，绘制了频数分布表：
频数分数
年级
60＜x≤70
70＜x≤80
80＜x≤90
90＜x≤100
七年级
2
8
5
5
八年级
2
8
6
4
【分析数据】根据以上数据，得到如表统计量：
平均数
中位数
众数
七年级
84.3
a
80
八年级
81.8
80
b
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝ 82.5 ，b＝ 79 ；
（2）根据上述数据，你认为哪个年级的测试成绩更好，并说明理由；
（3）请对该校七年级学生“学习二十大，永远跟党走”知识的掌握情况作出合理的评价．
【解答】解：（1）七年级的测试成绩从小到大排列，处在第10，11位的数分别是80，85，
∴七年级的中位数．
八年级的测试成绩中出现次数最多的为79分，
∴b＝79．
故答案为：82.5，79；
（2）七年级的测试成绩更好．
理由：∵84.3＞81.8，82.5＞80，80＞79，
∴七年级测试成绩的平均数、中位数、众数都高于八年级，
∴七年级的测试成绩更好；
（3）由数据可知七年级测试成绩不低于80分的学生有15人，占七年级所抽取人数的，则说明该校七年级大部分学生对“学习二十大，永远跟党走”知识的掌握情况较好．（不唯一，合理均可）
18．（9分）如图，直线AB：y1＝kx+b（k≠0）交坐标轴于点C，D，且与反比例函数的图象相交于点A（m，3），B（m+4，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA，在x轴上找一点M，使△AOM是以OA为腰的等腰三角形，求出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵A（m，3），B（m+4，1），
∴n＝3m＝（m+4）×1，
解得m＝2，
∴n＝3×2＝6，
∴点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（6，1），
∴反比例函数的表达式为．
∵A（2，3），B（6，1），
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）∵点A的坐标为（2，3），
∴OA＝＝，
分两种情况：①当OM＝OA＝时，点M的坐标为（，0）或（﹣，0）；
②如图，当AM＝OA时，作AP⊥x轴于点P，则MP＝OP＝2，
∴OM＝4．
∴点M的坐标为（4，0）．
综上所述，当△AOM是以OA为腰的等腰三角形时，点M的坐标为（，0）或（﹣，0）或（4，0）．
19．（9分）中原大佛，位于河南省平顶山市鲁山县．某校数学活动小组到景区测量这尊佛像的高度，如图，他们从点B处测得佛像顶部A的仰角为35°，然后向前走89m后到达点C，从点C处测得佛像顶部A的仰角为45°，已知点B，C，D在同一水平直线上，且佛像底座ED高100m，求佛像AE的高度．（结果精确到1m，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
【解答】解：由题意得∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，DE＝100m，BC＝89m，
∴∠CAD＝45°，
∴CD＝AD．
设AD＝CD＝xm，则BD＝（x+89）m．
在Rt△BDA中，tanB＝tan35°＝＝≈0.70，
解得x≈207.7．
经检验，x＝207.7是原方程的解．
∴AE＝AD﹣DE＝207.7﹣100≈108（m）．
答：佛像AE的高度约为108m．
20．（9分）某公司决定为优秀员工购买A，B两种奖品，已知购买3个A种奖品比购买2个B种奖品多花140元，购买4个A种奖品与购买5个B种奖品所需钱数相同．
（1）求A，B两种奖品每个的价格；
（2）商家推出了促销活动，A种奖品打九折．若该公司打算购买A，B两种奖品共30个，且B种奖品的个数不多于A种奖品个数的一半，则该公司最少花费多少钱？
【解答】解：（1）设每个A种奖品的价格为x元，每个B种奖品价格为y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：每个A种奖品的价格为100元，每个B种奖品的价格为80元；
（2）设购买A种奖品a个，则购买B种奖品（30﹣a）个，
根据题意，得：，
解得：a≥20．
设购买奖品的总花费为w元，
根据题意，得：w＝100a×0.9+80（30﹣a）＝10a+2400，
∵10＞0，
∴w随着a的增大而增大．
∴当a＝20时，w取得最小值，wmin＝10×20+2400＝2600．
答：该公司最少花费2600元．
21．（9分）如图，点D为⊙O上一点，BE为⊙O的直径，延长BE到点A，连接BD，AD，并过点B作BC⊥AD，交⊙O于点F，交AD的延长线于点C，已知BD恰好为∠CBA的平分线．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AB＝6，求线段BF的长．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OD＝OB，
∴∠ABD＝∠BDO，
∴∠BDO＝∠CBD，
∴BC∥OD，
∵BC⊥AD，
∴∠BCA＝90°，
∴∠ODA＝∠BCA＝90°，
∴OD⊥AC，
∵OD是⊙O的半径，
∴AC为⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接EF，
∵∠BCA＝90°，BC＝2，AB＝6，
∴，
设OB＝OD＝r，则OA＝6﹣r，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠ADO＝90°，
∴，
∴，
解得，
∴，BE＝3，
∵BE为⊙O直径，
∴∠BFE＝90°，
∴FE∥CA，
∴∠FEB＝∠CAB，
∴，
即，
∴BF＝1．
22．（10分）根据《平顶山市志》记载，中兴路湛河桥是“市区第一座横跨湛河的大桥”．已知该桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面AB的宽为50m，最高点C距离水面10m，如图所示以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）某次大雨后水面上涨至EF，测得最高点C距离EF的高度为3.6m，求桥拱下水面EF的宽度．
【解答】解：（1）由题意得，点C的坐标为（0，10），
∴点A的坐标为（﹣25，0），
设抛物线的表达式为y＝ax2+10（a≠0），
把A（﹣25，0）代入，得625a+10＝0，
解得：，
∴该抛物线的表达式为；
（2）∵点C的坐标为（0，10），
∴OC＝10m．
由题意得CD＝3.6m，
∴OD＝OC﹣CD＝10﹣3.6＝6.4（m），
由题意得，
解得：x1＝15，x2＝﹣15，
∴点E的坐标为（﹣15，6.4），点F的坐标为（15，6.4），
∴EF＝15﹣（﹣15）＝30（m），
答：桥拱下水面EF的宽度为30m．
23．（10分）已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α（0°＜a＜360°），连接BD，AE，请完成如下问题：（1）如图1，若△ABC和△CDE均为等边三角形，①线段BD与线段AE的数量关系是 BD＝AE ；②直线BD与直线AE相交所夹锐角的度数是 60° ；
类比探究：（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；
拓展应用：（3）如图3，若∠BAC＝∠DEC＝90°，AB＝AC，CE＝DE，BC＝2CD＝2，当点B，D，E三点共线时，请直接写出BD的长．
【解答】解：（1）①如图1，延长BD交AE的延长线于点F．
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°．
∴∠BCD＝∠ACE．
∴△BCD≌△ACE（SAS）．
∴BD＝AE；
②∵△BCD≌△ACE，
∴∠DBC＝∠EAC．
∴∠DBC+∠ACB＝∠EAC+∠F，
∴∠F＝∠ACB＝60°；
故答案为：BD＝AE；60°；
（2）①不成立，；
理由：如图2，
延长BD交AE的延长线于点F．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴，∠BCD＝∠ECA．
∴△BCD∽△ACE，
∴，
∴AE＝2BD；
②成立；
∵△BCD∽△ACE，
∴∠DBC＝∠EAC，
∴∠DBC+∠ACB＝∠EAC+∠F．
∴∠F＝∠ACB＝60°；
（3）①如图3，当点D落在线段BE上时．
∵∠BAC＝∠DEC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝45°，BC＝2CD＝2，
∴BC＝AC＝2，CD＝EC＝，
∴AC＝2，CE＝1．
∵∠E＝90°
∴BE＝＝，
∴BD＝BE﹣DE＝﹣1；
②如图4，当点E落在线段BD上时，
同理可得，BD＝BE+DE＝+1．
综上所述，BD的长为﹣1或+1．
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