【二轮复习】高考数学考点2-4 19题压轴题新定义导数试题（考点精练）.zip

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【精选例题】
【例1】悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数．
(1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)求的最小值．
【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)0
【详解】（1）平方关系：；和角公式：；导数：．
理由如下：平方关系，；，和角公式：
，故；
导数：，；
（2）构造函数，，由（1）可知，i．当时，由可知，故，故单调递增，此时，故对任意，恒成立，满足题意；
ii．当时，令，，则，可知单调递增，由与可知，存在唯一，使得，故当时，，则在内单调递减，故对任意，，即，矛盾；综上所述，实数a的取值范围为．
（3），，令，则，令，则，当时，由（2）可知，，则，令，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，因为，即为偶函数，故在内单调递减，
则，故当且仅当时，取得最小值0.
【例2】已知为实数，．对于给定的一组有序实数，若对任意，，都有，则称为的“正向数组”．
(1)若，判断是否为的“正向数组”，并说明理由；
(2)证明：若为的“正向数组”，则对任意，都有；
(3)已知对任意，都是的“正向数组”，求的取值范围．
【答案】(1)不是的“正向数组”；(2)证明见解析；(3)的取值范围是.
【详解】（1）若，，对，即，而当，时，
，，即，不满足题意.
所以不是的“正向数组”.
（2）反证法:假设存在,使得,为的“正向数组”，对任意,都有.对任意恒成立.令，则在上恒成立，，设，
，则当时，在上为负，在上为正，
所以在上单调递减，在上单调递增；若，当，，当，，即存在，使在上为正，在上为负，在上为正，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又当，，当，，则的值域为；若，，在上单调递增，又当，，当，，则的值域为. 当时，，在上单调递增，又当，，当，，
必存在，使在上为负，在上为正，所以在上单调递减，在上单调递增，又当，，当，，则的值域为. 由值域可看出，与在上恒成立矛盾.对任意，都有.
（3）都是的“正向数组”，对任意，，都有
，则恒成立或恒成立，
即恒成立或恒成立，设，则，即是的最大值或最小值. ，且. 当时，由（2）可得，的值域为，无最大值或最小值；当时，在上单调递增，又，则在上为负，在上为正，所以在上单调递减，在上单调递增，则是的最小值，满足，
此时对任意，，都有.
的取值范围是.
【例3】帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中．
【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3)
【详解】（1）因为，所以，，，则，，由题意知，，，所以，解得，.
（2）由（1）知，即证，令，则且，即证时，
记，，则，所以在上单调递增，在上单调递增，当时，即，即成立，当时，即，即成立，综上可得时，
所以成立，即成立.
（3）由题意知，欲使得不等式成立，则至少有，即或，首先考虑，该不等式等价于，即，又由（2）知成立，
所以使得成立的的取值范围是，再考虑，该不等式等价于，记，，则，所以当时，时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，，所以，，当时由，可知成立，当时由，可知不成立，所以使得成立的的取值范围是，综上可得不等式的解集为.
【例4】在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆在处的曲率；
(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．
【答案】(1)1；(2)；(3)
【详解】（1）．
（2），，，故，，故．
（3），，故，其中，令，，则，则，其中（不妨），令，在递减，在递增，故；令，，令，则，当时，恒成立，故在上单调递增，
可得，即，故有，则在递增，
又，，故，故．
【例5】“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；
(2)当时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知是大于的实数（全部同号），证明
【答案】(1)，或；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【详解】（1）猜想：伯努利不等式等号成立的充要条件是，或．当时，，当时，，当时，，其他值均不能保证等号成立，猜想，伯努利不等式等号成立的充要条件是，或；
（2）当时，我们需证，设，注意到，
，令得，即，是的一个极值点．
令，则，所以单调递增．当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增．所以在处取得极小值，即恒成立，．伯努利不等式对得证．
（3）当时，原不等式即，显然成立．当时，构造数列：，则，
若，由上式易得，即；若，则，所以，故，即此时也成立．所以是一个单调递增的数列（），由于，所以，故原不等式成立．
【例6】梨曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（，s为常数）密切相关，请解决下列问题．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时；
①证明有唯一极值点；
②记的唯一极值点为，讨论的单调性，并证明你的结论．
【答案】(1)在上单调递减；(2)①证明见解析；②在上单调递增，证明见解析；
【详解】（1）由可得，令，则；又，，所以，即恒成立；
即函数在上单调递减，又，所以，可得恒成立，因此函数在上单调递减，即当时，函数在上单调递减；
（2）当时，①由（1）可知令，可得,易知当时，，即函数在上单调递增，当时，，即函数在上单调递减，即函数在处取得极大值，也是最大值；注意到，由单调性可得，可知在大于零，不妨取，则；由零点存在定理可知存在唯一变号零点，
所以存在唯一变号零点满足，由单调性可得，当时，，当时，；即可得函数在上单调递增，在单调递减；
所以有唯一极大值点；②记的唯一极值点为，即可得
由可得，即可得的反函数，
令,，则，构造函数，则，
显然在恒成立，所以在上单调递增，因此，即在上恒成立，而，即，所以在上恒成立，即可得在上恒成立，因此在单调递增；易知函数与其反函数有相同的单调性，所以函数在上单调递增；
【例7】定义函数．
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)若对任意恒成立，求k的取值范围；
(3)讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值．若有最小值m﹐证明：；若没有最小值，说明理由．
（注：…是自然对数的底数）
【答案】(1)；(2)；(3)答案见详解
【详解】（1）由，可得,
所以曲线在处的切线斜率.
（2）若对任意恒成立，所以对任意恒成立，
令，则，由解得，或；由解得，
故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，且当时，，
故的最小值为，故，即的取值范围是.
（3），当时，，
因此当为奇数时，，此时则，所以单调递减.此时，显然有唯一零点，无最小值.当时，，且当时，，由此可知此时不存在最小值.从而当为奇数时，有唯一零点，无最小值，当时，即当为偶数时，，此时，由，解得；由，解得，则在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为，即，所以当为偶数时，没有零点.
设，，所以在上单调递增，，即.令可得，当时
，
即.从而当为偶数时，没有零点，存在最小值.综上所述，当为奇数时，有唯一零点，无最小值；当为偶数时，没有零点，存在最小值.
【例8】如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积．
(1)若，且，求；
(2)已知，证明：，并解释其几何意义；
(3)证明：，．
【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)证明见解析
【详解】（1）当时，因为，所以设，又，代入上式可得，所以，当时，；当时，设，同理可得，
综上，.
（2）因为，所以，设，则恒成立，所以在上单调递增，所以，故，即；设，，则恒成立，所以在上单调递增，，所以，综上，.几何意义：当时，曲线与直线（轴），以及轴围成的“曲边面积”大于直线（轴），以及轴，直线围成的矩形面积，小于（轴），以及轴，直线围成的矩形面积.
（3）因为，所以，设，则，所以，
故.
【例9】对于函数，若存在，使得，则称为函数的一阶不动点； 若存在，使得，则称为函数的二阶不动点； 依此类推，可以定义函数的 阶不动点. 其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点.
(1)已知，求的不动点；
(2)已知函数在定义域内单调递增，求证： “为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；
(3)已知，讨论函数的稳定点个数.
【答案】(1)1；(2)证明见解析；(3)答案见解析
【详解】（1）设，则恒成立，故函数在R上单调递增，
又，故函数在R上有唯一零点，即有唯一不动点1；
（2）证明：充分性：设为函数的不动点，则，则，即为函数的稳定点，充分性成立；必要性：设为函数的稳定点，即，假设，而在定义域内单调递增，若，则，与矛盾；若，则，与矛盾；故必有，即，
即，故为函数的不动点，综上， “为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；
（3）当时，函数在上单调递增，由（2）知的稳定点与的不动点等价，故只需研究的不动点即可；令，则，则在上单调递减，
①当时，恒成立，即在上单调递增，当x无限接近于0时，趋向于负无穷小，且，故存在唯一的，使得，即有唯一解，所以此时有唯一不动点；
②当时，即时，，当x趋向无穷大时，趋近于0，此时，
存在唯一，使得，此时在上单调递增，在上单调递减，
故，当x趋近于0时，趋向于负无穷大，当x趋向正无穷大时，趋向于负无穷大，设，则在上单调递增，且，又在时单调递增，故（i）当时，即，此时，方程有一个解，即有唯一不动点；
（ii）当shi ，即，此时，方程无解，即无不动点；
（iii）当时，即，此时，方程有两个解，即有两个不动点；综上，当时或时，有唯一稳定点；当时，无稳定点；
当，有两个稳定点；
【跟踪训练】
1．已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．
(1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；
(2)设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；
(3)设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的所有控制函数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)是，理由见解析；(2)证明见解析；(3)存在，
【详解】（1）对任意，则，且，故是函数的一个控制函数；
（2）因为，则，则，，，，，设，，在上，在上，则在单调递减，在上单调递增，最大值，
，，，，，，，则，
，，即，同理，，，，即，综上：，，在区间上的值域为，则在区间上有实数解.
（3）①先证引理:对任意，关于的方程在区间上恒有实数解.这等价于
，由（2）知结论成立.②(证控制函数的唯一性)假设存在“控制函数”，由上述引理知，对任意，当时，都存在使得.(*)，下证：.
若存在使得，考虑到是值域为的严格增函数，故存在使得.由(*)知存在使得，于是有，由的单调性知，矛盾.故对任意都有，同理可证，对任意都有，从而.
③(证控制函数的存在性)最后验证，是的一个“控制函数”.对任意，当时，都存在使得，而由的单调性知，即.综上，函数存在唯一的控制函数.
2．利用拉格朗日（法国数学家，1736-1813）插值公式，可以把二次函数表示成的形式.
(1)若，，，，，把的二次项系数表示成关于f的函数，并求的值域（此处视e为给定的常数，答案用e表示）；
(2)若，，，，求证：.
【答案】(1)；(2)证明见解析．
【详解】（1）由题意又，所以．即的值域是；
（2）因为，，，，所以，
因为，，，，所以，
所以，
所以，
因为，，，，所以，
所以，
所以，综上，原不等式成立．
3．多元导数在微积分学中有重要的应用.设是由，，…等多个自变量唯一确定的因变量，则当变化为时，变化为，记为对的导数，其符号为.和一般导数一样，若在上，已知，则随着的增大而增大；反之，已知，则随着的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性：；②乘法法则：；③除法法则：；④复合法则：.记.（为自然对数的底数），
(1)写出和的表达式；
(2)已知方程有两实根，.
①求出的取值范围；
②证明，并写出随的变化趋势.
【答案】(1)，；(2)①；②证明见解析，随增大而减小
【详解】（1）解：设，则，同理.
（2）解：①由（1），可得，则，且时，，，
即单调递减，时，即单调递增，故，又由时，趋近于0的速度远远快于趋近于的速度，故，，因此只需且，
即由零点存在性定理，，，存在两个零点，故；
②由，
由①可得，，故只需证明，令，设，则，且，则，又单调递增，且，故，单调递增，则，必然，否则即单调递减，不符合题意，，故原命题成立。所以随增大而减小.
4．设函数，.
(1)①当时，证明：；
②当时，求的值域；
(2)若数列满足，，，证明：（）.
【答案】(1)①证明过程见解析，②；(2)证明过程见解析
【详解】（1）①在恒成立，故在上单调递增，故，证毕；
②，恒有，故为偶函数，
当时，，由①可知，在上恒成立，又，故在上恒成立，故在上单调递减，故，，结合函数在上为偶函数可得，函数值域为；
（2）因为，，所以，其中，故只需证明，因为，，所以，
由（1）可知，上式两边取倒数得，故，
于是，，所以（）.
5．给出下列两个定义：
Ⅰ.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
Ⅱ.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中，为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断下列两个函数是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”.Ⅰ.；Ⅱ..
(2)给出两个命题，，判断命题是的什么条件，证明你的结论.
：是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，：.
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围.
②若，且定义，若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)是“单向导函数”，其“自导函数”为；既不是“单向导函数”，也不是“双向导函数”；(2)不充分不必要条件；(3)①；②.
【详解】（1）对于函数，则，这两个函数的定义域都是，所以为“同定义函数”，此时，，由函数的定义，对于，无法同时成立，
所以为“单向导函数”,其“自导函数”为.对于函数，则，这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.
（2）若，则，设，则，所以为“单向导函数”.又设，则，所以为“双向导函数”，但不是常值函数，故不是的必要条件.
若成立，则，所以，所以，所以不成立，所以为的不充分不必要条件.
（3）①由题意，，且，所以，所以；②由题意，，所以，，令，，则，
因为单调递增，且，所以存在，使得，且当时，，单调递减；当时，，单调递增；当，即时，所以，此时，在上单调递增，，当时，，此时，，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增;又，所以；
当且时，，，所以函数在上存在两个极值点，若，即时，极大值点为；若，即时，极大值点；为函数极大值或，又当时，，，令，则，设，
则，所以，即单调递增，所以，
所以单调递增，所以，综上，，所以c的取值范围为
6．若函数在定义域内存在两个不同的数，，同时满足，且在点，处的切线斜率相同，则称为“切合函数”.
(1)证明：为“切合函数”；
(2)若为“切合函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个数为，.
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：.
【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②证明见解析
【详解】（1）假设存在，满足题意，易知，由题可得：，代入上式可解得，
，或，，
故为“切合函数”.
（2）由题可知，因为为“切合函数”，故存在不同的，（不妨设），
使得，即，
（ⅰ）先证：，即证：，令，则由可知，要证上式，只需证：，易知，故在上单调递减，所以，故有成立，由上面的②式可得；
（ⅱ）由上面的②式可得：，代入到①式中可得：
，且由（ⅰ）可得.
（另解：由上面的②式可得，代入到①式的变形：，整理后也可得到）故要证，只需证：，设，则即证：，
，设，，，， 在上单调递增，
，下面证明在上恒成立，令，则，所以当时，，当时，，所以在处取得最小值，，所以在上恒成立，所以当时，，即，
在上单调递增，，所以原不等式成立.
7．设是定义域为的函数，当时，.
(1)已知在区间上严格增，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格增函数；
(2)已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；
(3)已知，且对任意，当时，有，证明：.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析
【详解】（1）不妨设，在区间上严格增，对任意，有，
又，函数在区间上是严格增函数；
（2）由（1）可知：在区间上严格增时，在区间上是严格增，当在区间上严格减时，在区间上是严格减，又当时，函数取得极值，当时，函数也取得极值，可得，当时，，在左右附近两侧异号，满足条件，所以.
（3）当时，由条件知，当时，对任意，有，即，又的值域是，，当时，对任意，有，，
又的值域是，，综上可知，任意，.
8．给出下列两个定义：
I.对于函数，定义域为，且其在上是可导的，若其导函数定义域也为，则称该函数是“同定义函数”.
II.对于一个“同定义函数”，若有以下性质：
①；②，其中为两个新的函数，是的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数称之为“双向导函数”，将称之为“自导函数”.
(1)判断函数和是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题.判断命题是的什么条件，证明你的结论；
(3)已知函数.
①若的“自导函数”是，试求的取值范围；
②若，且定义，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2)既不充分也不必要条件；证明见解析；(3)
【详解】（1）解：对于函数，则，这两个函数的定义域都是，
所以函数为“同定义域函数”，此时，，由函数的定义，对于，无法同时成立，所以为“单向导函数”，其“自导函数”为，对于函数，则，
因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.
（2）解：若成立，，则，设，则，所以为“单向导函数”，又设，则，所以为“双向导函数”，但不是常值函数，所以不是的必要条件；若成立，则，所以，所以，所以不成立，所以是的既不充分也不必要条件.
（3）解：①由题意，，且，所以，所以；
②由题意，所以且，令，可得，且，
因为为单调递增函数，且，所以存在使得，且当时，，单调递减；当时，，单调递增，
（i）当时，即，所以，此时，在上单调递增，可得；
（ii）当时，，此时，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，又由，所以；
（iii）当且时，，所以函数在上存在两个极值点，
若，即时，极大值点为；若，即时，极大值点为，
则为函数的极大值或，由当时，，令，则，设，则，所以，即单调递增，所以，
所以单调递增，所以，综上可得，，所以实数的取值范围为.
9．我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对于幂指函数，.
(1)已知，求曲线在处的切线方程；
(2)若且，.研究的单调性；
(3)已知均大于0，且，讨论和大小关系.
【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)答案见解析
【详解】（1），则，所以，又因为，所以切线方程为.
（2），，，
令，令，，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，
所以在上单调递增.
（3）由（2）知，令，得，由（2）知在上单调递增.
所以在上单调递增，当时，，即.
当时，
10．定义：设和均为定义在上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为“相伴函数”.
(1)给出两组函数，①和②和，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”（只需直接给出结论，不需论证）；
(2)若是定义在上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，证明：和为“相伴函数”；
(3)，写出“和为相伴函数”的充要条件，证明你的结论.
【答案】(1)第（1）组是，第（2）组不是；(2)证明见解析；(3)，证明见解析
【详解】（1）第（1）组是，第（2）组不是.①和，，
，所以这两组函数是 “相伴函数”.
②和，，不一定为非正数，
所以这两组函数不是 “相伴函数”.
（2），所以
，所以
，因此成立，即和为“相伴函数”.
（3）“和为相伴函数”的充要条件是，充分性：已知
则，
，此时，所以，即成立，和为相伴函数
必要性：已知和为相伴函数，所以，
，
，，即，由于取遍内的所有实数，因此当且仅当时成立，所以，所以“和为相伴函数”的充要条件是.
11．牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根在的附近，如图所示，然后在点处作的切线，切线与轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，……，．从图形上我们可以看到较接近，较接近，等等．显然，它们会越来越逼近．于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解．

已知函数，．
(1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）当时，，则，曲线在处的切线为，且，曲线在处的切线为，且，故，用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为．
（2）由，得，设，则，∴当时，，单调递增，由于时，，不合题意；当时，则有，，单调递减，，，单调递增，即，即易知单调递增，且，故.
12．对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“t跃点”
(1)若m为实数，函数，是“跃点”函数，求m的取值范围；
(2)若a为非零实数，函数，是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2跃点”，求a的值：
(3)若b为实数，函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求b的取值范围.
【答案】(1)；(2)或；(3)
【详解】（1）函数的导函数为，若函数，是“跃点”函数，
则方程有解，即有解，又因为，故，即.
（2）因为，所以，若该函数是“2跃点”函数，则方程①有解，即有解，
由因式分解可得，当时上述方程成立，因此是方程的一个实数根；
当时，②，，当即时，方程②为，即方程②有两个相等的实数根，此时方程①的根为，则函数有两个不同的“2跃点”；当即时，方程②无解，此时方程①的根为，则函数有一个“2跃点”；当即时，方程②有两个不相等的实数根，若函数有两个不同的“2跃点”，则其中一个是实数根为，则，解得：.综上：的值为或.
（3）函数，，若该函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个 “1跃点”，
则方程，即恰有一个实数根，即，，令，解得：；令，解得：且，故函数在和是严格的减函数，在上是严格的增函数.且，当趋近于负无穷，趋近于，当趋近于正无穷，趋近于正无穷，的图象如下图：
故当时，恰有一个实数根，
即时，恰有一个实数根，
所以b的取值范围为.