2024高考数学新试卷结构下的压轴题研究：4.高阶导数，凸凹性与偏导数

这是一份2024高考数学新试卷结构下的压轴题研究：4.高阶导数，凸凹性与偏导数，共8页。试卷主要包含了函数的凸凹性，高阶导数，偏导数，已知函数等内容，欢迎下载使用。

函数凸凹性虽不是高中数学的正式课程，但它出现在教材的课后习题中，而且在高考试题中常见其身影.另一方面，由于具有凸凹性的函数具有很多良好的性质，这些性质可以命制很多有趣的恒成立问题，双零点问题，于是，函数凸凹性颇受命题人的喜爱.本节，我们就通过一些高考试题来展示函数凸凹性在函数试题命制中的常见手法.
一．基本命题原理
1．定义
若函数在区间上有定义，若，则称为区间上的凸函数.反之，称为区间上的凹函数
2．常用性质
2.1.
在上为凸函数.
反之，.
注：上述不等式也称为詹森不等式.特别地，若只取，则有：
凸函数自变量的平均数的函数值不大于函数值的平均数
几何解释：凸函数的图象上弧线位于线段的下方；
凹函数自变量的平均数的函数值不小于函数值的平均数
几何解释：凹函数的图象上弧线位于线段的上方；
(图1：凸函数)(图2：凹函数)
2.2.运算性：
（1）两凸函数之和为凸函数；
（2）两递增非负凸函数之积为凸函数.
2.3.分离性：
在上为凸函数，对区间内任意，有.
注：分离性常见的两个不等式:
（1）与有关：；.
（2）与有关：
可以看到，分离性是导数中切线放缩的理论依据.
2.4拐点的定义和求法
连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点．
(拐点存在的必要条件)若函数在处的二阶导数存在,且点为曲线的拐点,则
我们知道由的符号可以判定曲线的凹凸．如果连续，那么当的符号由正变负或由负变正时，必定有一点使＝0．这样，点就是曲线的一个拐点．因此，如果在区间内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线的拐点:
（1）确定函数的定义域；
（2）求；令＝0，解出这个方程在区间内的实根；
（3）对解出的每一个实根，考察在的左右两侧邻近的符号．如果在的左右两侧邻近的符号相反，那么点就是一个拐点，如果在的左右两侧邻近的符号相同，那么点就不是拐点．
3.偏导数是高等数学中多元函数微分学里的重要概念之一.例如二元函数，其偏导数的基本求法便是：对求导时，就假定是常数，仅对函数中所有变元求导得到，对求导时，方法亦然.比如：若函数，则求导可得：.
二．典例分析
例1.（2020合肥模考）已知函数(为自然对数的底数).
（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；
（2）设方程()有两个实数根，，求证：.
解：（1）曲线在处的切线方程为.曲线在处的切线方程为.
（2）
分别求出曲线在处的切线方程为.以及在处的切线方程.再分别求出上述两条切线与的交点横坐标.
,以及.
如上图可知.证毕.
点评：如图，我们用两条切线与的交点横坐标来估计出的两零点差值的范围.同时要注意，倘若我们选择在处的切线方程为来放缩零点的话会得不到想要的结果，因为这条切线并没有将包在其下方.
剪刀模型技术总结
1.观察题干是否考察零点之差的不等式：型；
2.验证函数的凸凹性；
3.在步骤2的基础上考察函数在关键特殊点处的切线，最终构造出剪刀模型，完成证明.
下面看詹森不等式的应用
例2.在中，求的最大值.
解析：因为函数在区间上是上凸函数，则
即,当且仅当时，即时，取等号.
上述例题是三角形中一个重要的不等式：在中，
.
其本质便是正弦函数的凸凹性结合詹森不等式得到的，这个结论在高考命题中出现多次，下面我们予以分析.
例3.（2018全国一卷）已知函数，求的最小值.
解：最小正周期为，且为奇函数，考虑.于是可得：
，
这样的话，利用例1的结论或者詹森不等式就有：
，再由奇偶性可知的最小值为.
例4．定义：设二元函数在点的附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数，记作．若在区域D内每一个点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于的二元函数，它就被称为二元函数对自变量的偏导函数，记作．已知，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
解析：依题意，
，同理可求得，所以，设，则，由，得，
，此方程有解，所以，.
故选：B
例5．（多选）若存在，则称为二元函数在点处对x的偏导数，记为；若存在，则称为二元函数在点处对y的偏导数，记为.若二元函，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．的最小值为
D．的最小值为
解析：因为（，），
所以，则，
故A选项正确；
又，所以，
故B选项正确；
因为，
所以当时，取得最小值，且最小值为，故C选项错误；
，令（），，
当时，，当时，，故，
从而当时，取得最小值，且最小值为，故D选项正确.故选：ABD.
例6.（华南师大附中24届周测）
多元导数在微积分学中有重要的间用,设是由等多个自变量唯一确定的因变量,则当变化为时,变化为.记为对的导数,其符号为.和一般导数一样.若在上,已知.则随着的增大而增大:反之,已知,则随着的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外,还具有下列性质:
①可加性:；
②乘法法则:；
③除法法则:；
④复合法则:.
记为自然对数的底数,
（1）写出和的表达式:
（2）已知方程有两实根
（i）求出的取值范围:
（ii）证明,并写出随的变化趋势.
解析：（1）设,则
,同理.
（2）(i)由（1）,,则,且时
即单调递减,时即单调递增,故,而时,趋近于0的速度远远快于趋近于的速度,故,因此只需且即由零点存在性定理,,存在两个零点,故.
（ii）由(1),,故只需证明,令
设,则
,
,则,
又
单调递增,且,故单调递增,则
必然,否则即单调递减,不符合.
,故原命题成立,由题,随增大而减小