【专题复习】高考数学 专题11 常见函数模型中的应用.zip

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有一些常见的函数，如等，在导数解答题常常出现其身影，在导数解答题中或利用其性质进行求解，或以其为模型进行改编命题，无论以哪一种方式命题，掌握这些函数的性质，并有目的的使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思想，并使问题得以解决.
二、解题秘籍
(一)常见对数型函数模型
1.函数在上是增函数，在是减函数，在处取得最大值0，
2.的图象与直线在相切，以直线为切线的函数有：，，，，.
3.与对数型函数有关的常见不等式有：，，.
4.利用可得到，再借助叠加法可得到一些复杂的数列不等式.
【例1】（2024届四川省江油中学高三上学期9月月考）已知函数.
(1)当时，求函数在区间上的最大值；
(2)若为函数的极值点，求证：
【解析】（1）定义域为，则，
当时，，，
所以单调递增区间为，单调递减区间为；
若，即时，在上单调递减，故；
若，即时，在上单调递增，在上单调递减，
故；
若，即时，则在上单调递增，故.
所以，；
（2）（），
则，
因为是函数的极值点，所以，即，
要证，
只需证，即证：，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以，即：，
所以，所以，
①当时，因为，，所以.
②当时，因为，所以，
所以，要证，
只需证，
即证对任意的恒成立，
令（），则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，
即当时，成立.
综上：原不等式成立.
(二)常见指数型函数模型
1.函数在上是减函数，在上是增函数，在处取得最小值0，
2.与对数型函数有关的常见不等式有：，，.
【例2】（2024届黑龙江省哈尔滨市高三上学期9月月考）已知函数．
(1)若函数的图象与直线相切，求实数的值；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．
【解析】（1）设直线与函数的图象相切于点，
因为,
所以，由②③可得④，易知.
由①得，代入④可得，
即，即，解得.
故.
（2）令，可得，
由题意可得只有一个根.
易知不是方程的根，所以，
所以由，可得.
设，则与的图象只有一个交点.
，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
所以.
所以.
又，时，，时，，
画出函数的图象如图所示：

由图可知，若与的图象只有一个交点，
则.
所以实数的取值范围是.
(三) 常见三角函数模型
1.函数在上是减函数，函数在上是增函数 ，
2.与三角函数有关的常见不等式有：，，.
【例3】（2023届四川省成都市高三上学期摸底）已知函数．
(1)记函数的导函数是．证明：当时，；
(2)设函数，，其中．若0为函数存在非负的极小值，求a的取值范围．
【解析】 (1)．令，则．
∵，∴恒成立，即在R上为增函数．
∵，∴．∴．
(2)．
由（1）知在R上为增函数．
∴当时，有，即；
当时，有，即．
当时，由，解得，，且在R上单调递减．
①当时，．
∵当时，有；当时，有；当时，有，
∴函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．
∴满足0为函数的极小值点；
②当时，．
∴时，有恒成立，故在R上为减函数．
∴函数不存在极小值点，不符合题意；
③当时，．
∵当时，有；当时，有；当时，有，
∴函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数．
∴0为函数的极大值点，不符合题意．
综上所述，若0为函数的极小值点，则a的取值范围为．
(四) 或.
在上是增函数，在上是减函数，时取得最大值，利用性质解题易错点是该在上是减函数，但该函数在上没有零点，因为时.
【例4】（2024届海南省定安县高三上学期开学考试）已知函数.
(1)若是的极值点，求的值；
(2)若a=1，讨论函数的单调性；
(3)若恒成立，求a的取值范围；
【解析】（1）由，得，
因为是的极值点，
所以，即，所以，经检验符合题意.
（2）若a=1，.
当，即时，，所以在上单调递减；
当时，；在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
（3）的定义域为，若恒成立，则恒成立，
即恒成立，
令，只需，又，
令得，
时，，则单调递增；
时，，则单调递减；
所以，解得：；
(五) 或
讨论的性质要注意，该在和单调递减，在单调递增
【例5】设函数，其中是自然对数的底数，.
(1)若在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)当时，若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【解析】 (1)解：因为在上恒成立，即，又，故，所以只需恒成立，故只需，
令，，当时，，当时，，所以，故，即.
(2)当时, ，
当时，，
当时，令，分离参数得，
由（1）得，在和单调递减，在单调递增，可得图像为：
所以，即,即.
三、典例展示
【例1】（2024届河南省部分名校高三上学期核心模拟）已知函数.
(1)当时，求的单调区间;
(2)若,当时,证明:.
【解析】（1）的定义域为,
当时,,
所以,
当时,;当时,,
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
（2）由,得,
所以,
则,
要证,只需证,
即证,需证.
令,设,则,
设,则,
所以在上单调递增,则,
所以,所以在上单调递增,
由,得,则,
所以,
所以需证,即证.
令，则,即证,设,
则,
所以在上单调递减,则,
所以,即成立,
故.
【例2】（2023届河南省信阳高级中学高三下学期3月测试）已知函数.
(1)是的导函数，求的最小值；
(2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数）；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）依题意，，
所以，
，所以在区间上单调递减；
在区间上单调递增，
所以当时取得最小值为.
（2）要证明：对任意正整数，都有，
即证明，
即证明，
由（1）得，即
令，所以，
所以
，
所以对任意正整数，都有.
（3）若不等式恒成立，此时，
则恒成立，
令，
令，
所以在区间上单调递增，
所以，当时等号成立，
所以，
当时等号成立，所以.
【例3】（2024届广西百色市贵百联考高三上学期9月月考）已知函数．
(1)当时，讨论在区间上的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围．
【解析】（1），
当时，；当时，
故在上单调递增，在上单调递减；
（2）设，；
设，则，
令，则，
当，，当，，故函数在单调递增，在单调递减，
所以；
令，可得，故在单调递增时，；
当时，，故在上单调递增.
当时，，且当趋向正无穷时，趋向正无穷，
若，则，函数在上单调递增，因此，，符合条件；
若，则存在，使得，即，
当时，，则在上单调递减，此时，不符合条件．
综上，实数的取值范围是
【例4】已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在两个极小值点，求实数的取值范围.
【解析】 (1)当时，函数，
可得，
令，可得，所以函数单调递增，
因为，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)由函数，
可得，
令，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
当时，可得，所以，
①当时，，此时当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值；
②当时，，
又由在上单调递增，所以在上有唯一的零点，且，
因为当时，令，可得，
又因为，所以，即，所以，
所以，，
因为在上单调递减，所以在上有唯一的零点，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数有两个极小值点，故实数的取值范围为.
【例5】已知函数．
(1)当时，若在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)设为的两个不同零点，证明：．
【解析】 (1)当时，，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，即在上恒成立，则，
令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减.
故，
所以实数的取值范围是．
(2)证明：要证明，
即证，
只需证和．
由（1）知，当，时，，即，
所以．
要证，即证．
因为为的两个不同零点，不妨设，
所以，，
则，
两边同时乘以，可得，
即．
令，则．
即证，即证，
即证．
令函数，，则，
所以在上单调递增，所以．
所以．故．
四、跟踪检测
1．（2023届陕西省咸阳市武功县高三上学期11月期中）已知函数，.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围；
(3)若实数满足且，证明：.
【解析】（1）当时，，
，由，得，由，得，
故的单调增区间为，单调减区间为；
（2），
令，
则，
令，则，
由，得，由，得，
故在递增，在递减，，
，所以，
在上单调递增，，
，
的取值范围；
（3），
又，在上递增，
所以，
下面证明：，
即证，
令，则，
即，
令，则，
令，则，
∴函数在上单调递减，
，
在递减，
，
所以.
2．（2023届四川省绵阳市涪城区南山中学高三仿真）已知函数，且．
(1)求实数a的取值范围；
(2)已知，证明：．
【解析】（1）函数定义域为R，，
由解得，故在区间上单调递增，
由解得，故在区间上单调递减，
故的最小值是，解得，所以实数a的取值范围为．
（2）在（1）中，令时，，令，得，即，
令，则，
所以，，
令，则．且不恒为零．
所以，函数在上单调递增，故，则．
所以，，
所以，
.
3．（2024届海南省琼中县高三上学期9月高考全真模拟）已知函数，且在处取得极值．
(1)求a；
(2)求证：．
【解析】（1）由题意可得的定义域为，且．
因为在处取得极值，
所以，解得，
当时，则，，，
令，得；令，得；
故函数在上单调递增，在上单调递减，
可知在处取得极值，符合题意，
所以．
（2）由（1）可得的最大值为，
所以，即，
可得，当且仅当时等号成立．
令，
则，故．
所以，，，…，，，
以上式子相加，
得，
则，
即，
所以，
即，命题得证．
4．（2024届河南省周口市项城市高三5校青桐鸣大联考9月）已知函数，.
(1)求实数的值；
(2)证明：时，.
【解析】（1）因为，则，
则，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的单调减区间为，单调增区间为.
故有最小值，故.
（2）由（1）可知，，
当时，要证，即证，即证，
令，则上式等价于，
构造函数则
故当时，为增函数；
当时，为减函数；
由得，故，
故.
当时，
，
故
又是的增区间，而
故故
即，
当时，，即
在上，为减函数，故
即，
故原命题得证.
5．（2024届湖北省黄冈市高三上学期9月调研）已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），，.
令，方程的判别式为，
①：当即时，，单调递增，无极值点；
②：当即时，函数有两个零点，，
（i）当时.，，当时，单调递减，
当时，单调递增，有一个极小值点；
（ii）当时，，
当与时，单调递增，
当时，单调递减，有两个极值点.
综上：当时无极值点；当时有两个极值点；
当时有一个极小值点.
（2）不等式恒成立，即.
令，，
.
令，，
当时，，单调递增，又，
时，不合题意，.
当时，单调递减，当时单调递增，.
而，.
令，，当时单调递增，
当时单调递减，
，即.
..
6．（2024届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【解析】（1）因为，定义域为，所以．
当时，由于，所以恒成立，此时在上单调递减；
当时，，令，得，
则当时，，有在上单调递增；
当时，，有在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）我们先证明引理：，恒有且．
引理的证明：
设，．
故只需证明，恒有，．
由于，知当时，；当时，；
则在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，恒有．
由于，知当，均有，
所以恒有，故在上单调递增，
则．
所以，恒有．
综上，引理得证．回到原题：
由（1）得，
故只需证明：对，恒有，即．
由引理得．命题得证．
7．（2024届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求实数a的取值范围.
【解析】（1）依题意，得.
当时，，所以在单调递增.
当时，令，可得；
令，可得，
所以在单调递增，在单调递减.
综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.
（2）因为当时，，所以，
即，
即，
即.
令，则有对恒成立.
因为，所以在单调递增，
故只需，
即对恒成立.
令，则，令，得.
当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以.
因此，所以.
8．（2024届江苏省镇江市高三上学期考试）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由得，
令，
故当时，单调递减，当时，单调递减，
当时，单调递增，
故的单调递减区间为，单调递增区间为，
（2）由可得对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
设，
当单调递增，当单调递减，所以，故，当且仅当时等号成立，
，
当且仅当时取等号，令，注意到，
，所以存在使，所以等号取得到，故
9.已知函数，．
(1)若，求函数的极值；
(2)设，当时，（是函数的导数），求a的取值范围．
【解析】 (1)，
令，得或，
当或时，，当时，，
所以函数在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极大值为，函数的极小值为．
(2)，
，即，
即，
设，，
设，，
当时，，当时，，
所以函数在（0，1）上单调递减，在上单调递增，
，即，
则函数在上单调递增，则由，
得在上恒成立，即在上恒成立．
设，，
当时，，当时，，
所以函数在（0，e）上单调递增，在上单调递减，
所以，
故．
10．设函数，．
(1)若对任意，都有，求a的取值范围；
(2)设，．当时，判断，，是否能构成等差数列，并说明理由．
【解析】 (1)的定义域是，．
①若，则当时，，在单调递增，等价于，即，由得．
设，．，故在单调递减，在单调递增，而，所以的解集为．
②若，则在单调递减，在单调递增，等价于，即，即，矛盾，故a的取值范围是．
(2)．
．
同理可得，
．
所以．
下面证明．
，且由（1）知，所以只需证明时，．令，即证．
设，，，
所以．
设，，故在（0，1）单调递减，．
所以，故，，不能构成等差数列．
11．已知函数
(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；
(2)设是两个不相等的实数，且．求证：
【解析】 (1)当时，，
因为，所以，即，不符合题意；
当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以．
由恒成立可知，所以．
又因为，所以的取值范围为．
(2)因为，所以，即．
令，由题意可知，存在不相等的两个实数，，使得．
由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减．
不妨设，则．
设，
则，
所以在上单调递增，
所以，即在区间上恒成立．
因为，所以．
因为，所以．
又因为，，且在区间上单调递增，
所以，即．
12．已知函数.
(1)若在单调，求的取值范围.
(2)若的图像恒在轴上方，求的取值范围.
【解析】 (1)由题意得，.
在上单调，即在上大于等于0或者小于等于0恒成立.
令，则，当时，.
当时，，∴在上单调递减，
∴由题意得，或，
解得或，
∴的取值范围是.
(2)的图象恒在轴上方，也即当时，恒成立.
也即在上恒成立.
令，，
令，则，由得，当时，当时，，即时，有极大值，也是最大值，所以，
所以（当时取等号），再由可得：，
列表如下：
由上表知为极大值，所以.
∴的取值范围是.
13．已知函数.
(1)若函数，讨论的单调性.
(2)若函数，证明：.
【解析】 (1)因为，所以，
的定义域为，
.
当时，在上单调递增.
当时，若，则单调递减；
若，则单调递增.
综上所述：当时，f(x)在上单调递增; 当时,f(x)在(0,1-a)上单调递减，在(1-a,+)上单调递增 ；
(2)证明：.
设，则.
当时，单调递减；当时，单调递增.
所以，
因此，当且仅当时，等号成立.
设，则.
当时，单调递减：当时，单调递增.
因此，
从而，则，
因为，所以中的等号不成立，
故.
14．已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
【解析】（1）当时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以；
（2），则，当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；又，由（1）得，即，所以，当时，，则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；此时，由（1）得当时，，，所以，此时存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为.
15．（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期8月诊断）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
【解析】（1）的定义域为，令,得当单调递减当单调递增，若,则,即所以的取值范围为
（2）由题知,一个零点小于1,一个零点大于1不妨设要证,即证因为,即证因为,即证即证即证下面证明时，设，则设所以,而所以,所以所以在单调递增即,所以令所以在单调递减即,所以；综上, ,所以.
16．已知函数，.
(1)试讨论f（x）的单调性；
(2)若对任意， 均有，求a的取值范围；
(3)求证: .
【解析】 (1) ,
若 则，在 上单调递减；
若，则由,得,
当时,在上单调递增,
当时,,在 上单调递减.
(2)当时,符合题意；
当时,由（1）知在 上单调递减，
而 ，不合题意；
当时,结合（1）得，，
即，得，
综上，的取值范围是；
(3)证明：由（2）知，当时，即
所以，
所以，
所以 ，
即得证.
1
0
0