2024年陕西省西安一中高考数学二模试卷（文科）附解析

这是一份2024年陕西省西安一中高考数学二模试卷（文科）附解析，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知复数z＝1﹣i，则|z|＝（ ）
A．B．1C．2D．4
2．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|x+1＞0}，则A∪B＝（ ）
A．{x|﹣2≤x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x＞﹣1}D．{x|x≥﹣2}
3．（5分）在“双11”促销活动中，某网店在11月11日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为42万元，则9时到11时的销售额为（ ）
A．9万元B．18万元C．24万元D．30万元
4．（5分）设角θ的终边经过点P（﹣3，4），那么sinθ+2csθ＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c＝t，那么（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知等差数列{an}满足a4+a7＝0，a5+a8＝﹣4，则下列命题：①{an}是递减数列；②使Sn＞0成立的n的最大值是9；③当n＝5时，Sn取得最大值；④a6＝0，其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①②③
7．（5分）曲线f（x）＝x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y＝4x﹣1，则p0点的坐标为（ ）
A．（1，0）B．（2，8）
C．（2，8）和（﹣1，﹣4）D．（1，0）和（﹣1，﹣4）
8．（5分）设函数f（x）＝ax2﹣2ax，命题“∃x∈[2，6]，f（x）≤﹣2a+3”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．（3，+∞）C．（2，+∞）D．
9．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列四个命题中，正确命题的序号是（ ）
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
A．①②B．②③C．③④D．①④
10．（5分）已知直线y＝kx与双曲线C：相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
11．（5分）函数的部分图象如图所示，给下列说法：
①函数f（x）的最小正周期为π；
②直线为函数f（x）的一条对称轴；
③点为函数f（x）的一个对称中心；
④函数f（x）的图象向右平移个单位后得到的图象．
其中不正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
12．（5分）关于函数f（x）＝x+sinx，下列说法正确的个数是（ ）
①f（x）是奇函数
②f（x）是周期函数
③f（x）有零点
④f（x）在上单调递增
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每空5分，共20分）
13．（5分）小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为 ．
14．（5分）已知向量，，若，则锐角θ的值是 ．
15．（5分）设{an}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a5+a6+a7＝ ．
16．（5分）若函数在区间内单调递减，则ω的最大值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答，共70分。
17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求的值；
（2）若，b＝2，求△ABC的面积．
18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且，|PA|＝2．
（1）求三棱锥B﹣ACP的体积；
（2）求证：AB⊥PC．
19．（12分）某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：
（1）判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？（公式和对照表见题后）
（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．
附：，n＝a+b+c+d
20．（12分）已知椭圆C：）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为椭圆C上的一个动点．△PF1F2面积的最大值为2．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）设斜率存在的直线PF2与C的另一个交点为Q，是否存在点T（t，0），使得|TP|＝|TQ|．若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣1﹣ax（a∈R）．
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2ey+1＝0垂直，求a的值；
（2）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）＝f（x）﹣xlnx零点的个数．
(二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（1）求曲线C的直角坐标方程，并化为标准方程；
（2）已知点P的极坐标为（1，π），l与曲线C交于A，B两点，求的值．
23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+a|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞3的解集；
（2）若a＞0，对任意的x∈R，f（x）≥a2﹣2a+3恒成立，求实数a的取值范围．
2024年陕西省西安一中高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）已知复数z＝1﹣i，则|z|＝（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】A
【分析】结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：z＝1﹣i，
则．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
2．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|x+1＞0}，则A∪B＝（ ）
A．{x|﹣2≤x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x＞﹣1}D．{x|x≥﹣2}
【答案】D
【分析】可以求出集合B，然后进行并集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|x＞﹣1}；
∴A∪B＝{x|x≥﹣2}．
故选：D．
【点评】考查描述法的定义，以及并集的运算．
3．（5分）在“双11”促销活动中，某网店在11月11日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为42万元，则9时到11时的销售额为（ ）
A．9万元B．18万元C．24万元D．30万元
【答案】D
【分析】根据频率分布直方图，利用频率比与销售额的比相等，即可求出对应的值．
【解答】解：根据频率分布直方图知，12时到14时的频率为0.35，9时到11时的频率为1﹣0.4﹣0.25﹣0.10＝0.25，
所以时到11时的销售额为：（万元）．
故选：D．
【点评】本题考查频率分布直方图，考查学生的运算能力，属于中档题．
4．（5分）设角θ的终边经过点P（﹣3，4），那么sinθ+2csθ＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据任意角的三角函数的定义求得sinθ＝ 和csθ＝ 的值，从而求得sinθ+2csθ 的值．
【解答】解：由于角θ的终边经过点P（﹣3，4），那么x＝﹣3，y＝4，r＝|OP|＝5，
∴sinθ＝＝，csθ＝＝﹣，∴sinθ+2csθ＝﹣，
故选：C．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5．（5分）设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c＝t，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将指数式化为对数式，根据对数换底公式、对数运算法则逐项验证即可．
【解答】解：依题意设4a＝6b＝9c＝t，则a＝lg4t，b＝lg6t，c＝lg9t，
所以，
对于AC，，，
故A，C错误；
对于B，，故B错误；
对于D，，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了指数式与对数式的互换问题，考查了对数的运算性质，是基础题．
6．（5分）已知等差数列{an}满足a4+a7＝0，a5+a8＝﹣4，则下列命题：①{an}是递减数列；②使Sn＞0成立的n的最大值是9；③当n＝5时，Sn取得最大值；④a6＝0，其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①④D．①②③
【答案】D
【分析】设出公差为d，列出方程组，求出首项和公差，根据d＜0判断①正确，写出，解不等式求出Sn＞0成立的n的最大值是9，②正确；根据an＞0与an＜0，得到当n＝5时，Sn取得最大值，③正确；利用通项公式an＝﹣2n+11求出a6的值，得到④错误．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
故，解得：，
由于d＜0，故{an}是递减数列，①正确；
，令，
解得：0＜n＜10，且n∈N*，
故使Sn＞0成立的n的最大值是9，②正确；
an＝9+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n+11，
当1≤n≤5时，an＞0，当n≥6时，an＜0，
故当n＝5时，Sn取得最大值，③正确；
a6＝﹣2×6+11＝﹣1，④错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，属于中档题．
7．（5分）曲线f（x）＝x3+x﹣2在p0处的切线平行于直线y＝4x﹣1，则p0点的坐标为（ ）
A．（1，0）B．（2，8）
C．（2，8）和（﹣1，﹣4）D．（1，0）和（﹣1，﹣4）
【答案】D
【分析】先设切点坐标，然后对f（x）进行求导，根据导数的几何意义可求出切点的横坐标，代入到f（x）即可得到答案．
【解答】解：设切点为P0（a，b），f'（x）＝3x2+1，k＝f'（a）＝3a2+1＝4，a＝±1，
把a＝﹣1，代入到f（x）＝x3+x﹣2得b＝﹣4；
把a＝1，代入到f（x）＝x3+x﹣2得b＝0，
所以P0（1，0）和（﹣1，﹣4）．
故选：D．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．
8．（5分）设函数f（x）＝ax2﹣2ax，命题“∃x∈[2，6]，f（x）≤﹣2a+3”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．（3，+∞）C．（2，+∞）D．
【答案】A
【分析】根据特称名为假命题可得ax2﹣2ax+2a﹣3＞0，对∀x∈[2，6]恒成立，令h（x）＝ax2﹣2ax+2a﹣3，利用二次函数的性质列不等式求解即可得结论．
【解答】解：因为命题“∃x∈[2，6]，f（x）≤﹣2a+3”是假命题，所以∀x∈[2，6]，f（x）＞﹣2a+3恒成立，
则ax2﹣2ax+2a﹣3＞0，对∀x∈[2，6]恒成立，
令h（x）＝ax2﹣2ax+2a﹣3，则二次函数的对称轴为直线x＝1，
要使得∀x∈[2，6]，h（x）＞0恒成立，则，解得，
所以实数a的取值范围是．
故选：A．
【点评】本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
9．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列四个命题中，正确命题的序号是（ ）
①若m∥α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】B
【分析】①若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或为异面直线都有可能，即可判断出；
②由α∥β，β∥γ，利用平行平面的传递性可得α∥γ，又m⊥α，利用线面平行与线面垂直的性质可得m⊥γ；
③由n∥α，过直线n作平面β∩α＝k，利用线面平行的性质定理可得n∥k．
又m⊥α，利用线面垂直的性质定理可得m⊥k，根据等角定理可得m⊥n，；
④由 α⊥γ，β⊥γ，可得α∥β或α与β相交（例如墙角）．．
【解答】解：①若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或为异面直线都有可能，因此不正确；
②∵α∥β，β∥γ，∴α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ，正确；
③∵n∥α，过直线n作平面β∩α＝k，则n∥k．
∵m⊥α，∴m⊥k，则m⊥n，故正确；
④∵α⊥γ，β⊥γ，∴α∥β或α与β相交，故不正确．
综上可知：只有②③正确．
故选：B．
【点评】熟练掌握线面、面面平行于垂直的性质定理是解题的关键．
10．（5分）已知直线y＝kx与双曲线C：相交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b（O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设|BF|＝m，则|AF|＝3|BF|＝3m，设A在第一象限，由双曲线的定义可得3m﹣m＝2a，再由平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和可得c2＝3a2，进一步得到渐近线方程．
【解答】解：设|BF|＝m，则|AF|＝3|BF|＝3m，
取双曲线的右焦点F′，连接AF′，BF′，
所以四边形AF′BF为平行四边形，
所以|AF′|＝|BF|＝m，
设A在第一象限，得3m﹣m＝2a，即m＝a，
由平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和，
可得（2b）2+（2c）2＝2（a2+9a2），所以c2＝3a2，
则b2＝c2﹣a2＝2a2，即＝，
所以双曲线的渐近线的方程为y＝±x＝±x，
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的定义，双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
11．（5分）函数的部分图象如图所示，给下列说法：
①函数f（x）的最小正周期为π；
②直线为函数f（x）的一条对称轴；
③点为函数f（x）的一个对称中心；
④函数f（x）的图象向右平移个单位后得到的图象．
其中不正确说法的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，再根据正弦函数的图象与性质逐一判断每个选项即可．
【解答】解：由图象可知，，最小正周期，所以，
将点代入函数得，，
所以，即，
因为，所以取k＝1，，所以．
因此①正确；
②，所以②正确；
③令，则，当k＝﹣1时，．
所以点为函数f（x）的一个对称中心，即③正确；
④函数f（x）的图象向右平移个单位得到，即④错误．
所以不正确的为④，
故选：A．
【点评】本题考查根据图象求函数解析式、正弦函数的图象与性质，考查学生数形结合能力和运算能力，属于基础题．
12．（5分）关于函数f（x）＝x+sinx，下列说法正确的个数是（ ）
①f（x）是奇函数
②f（x）是周期函数
③f（x）有零点
④f（x）在上单调递增
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据奇偶性定义可判断选项①正确；依据周期性定义，选项②错误；f（0）＝0，选项③正确；求f′（x），判断选项④正确．
【解答】解：对于①，函数f（x）＝x+sinx定义域为R，且f（﹣x）＝﹣x﹣sinx＝﹣f（x），
则f（x）为奇函数，故①正确；
对于②，若f（x）是周期函数，设其最小正周期为T（T≠0），则f（x+T）＝f（x），
即x+T+sin（x+T）＝x+sinx，变形得，T+sin（x+T）＝sinx，对任意x∈R恒成立，
令x＝0，可得，T+sinT＝0，设g（x）＝x+sinx，而g′（x）＝1+csx≥0，
g（0）＝0，所以g（x）＝x+sinx＝0只有唯一的解x＝0，故由T+sinT＝0⇒T＝0，
由此可知它不是周期函数，故②错误；
对于③，因为f（0）＝0+sin0＝0，f（x）在上有零点，故③正确；
对于④，由于f′（x）＝1+csx≥0，故f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，故④正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，单调性及周期性的应用，属于中档题．
二、填空题（每空5分，共20分）
13．（5分）小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】基本事件总数n＝＝6，抽到的2道题小李都会包含的基本事件m＝＝3，由此能求出抽到的2道题小李都会的概率．
【解答】解：小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，
基本事件总数n＝＝6，
抽到的2道题小李都会包含的基本事件m＝＝3，
则抽到的2道题小李都会的概率为P＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）已知向量，，若，则锐角θ的值是 ．
【答案】．
【分析】由已知结合项平行的坐标表示及同角基本关系可求tanθ，进而可求θ．
【解答】解：因为，
若，则3sin2θ＝cs2θ，
因为θ为锐角，所以，则角．
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
15．（5分）设{an}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a5+a6+a7＝ 16 ．
【答案】16．
【分析】利用等比数列通项的性质求出公比，然后利用等比数列通项的性质求解即可．
【解答】解：因为{an}是等比数列，设其公比为q，
所以，
所以，
所以a5+a6+a7＝16（a1+a2+a3）＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了等比数列的通项应用问题，是基础题．
16．（5分）若函数在区间内单调递减，则ω的最大值为 ．
【答案】．
【分析】由题先得：，再借助整体法：令，再结合余弦函数图像分析出单调递减时的等价条件，解不等式即可．
【解答】解：由题得：，
令，
则y＝cst在单调递减，
故，（k∈Z），
由0＜ω≤3，故，
所以ω的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点：余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答，共70分。
17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求的值；
（2）若，b＝2，求△ABC的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式以及诱导公式即可求出，
（2）由（1）可得c＝2a，再由余弦定理可得a，c的值，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵＝＝，
∴csAsinB﹣2sinBcsC＝2csBsinC﹣sinAcsB，
∴sinAcsB+csAsinB＝2sinBcsC+2csBsinC，
∴sin（A+B）＝2sin（B+C），
∴sinC＝2sinA，
∴＝2；
（2）由（1）可得c＝2a，
由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accsB，
∴4＝a2+4a2﹣a2，
解得a＝1，则c＝2，
∵csB＝，
∴sinB＝，
∴S＝acsinB＝×1×2×＝．
【点评】本题考查正余弦定理解三角形三角形的面积公式，涉及和角的三角函数，属中档题．
18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且，|PA|＝2．
（1）求三棱锥B﹣ACP的体积；
（2）求证：AB⊥PC．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）因为PA⊥平面ABCD，根据等积法VB﹣ACP＝VP﹣ABC可得结果；
（2）根据线面垂直的性质定理可得AB⊥PA，结合（1）及线面垂直的判定定理可得AB⊥平面PAC，从而得证．
【解答】解：（1）在底面ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，
且，
所以|AB|＝|AC|＝2，，
则|AB|2+|AC|2＝|BC|2，
所以AB⊥AC，
故．
（2）由（1）知AB⊥AC，又PA⊥平面ABCD，AP⊂平面ABCD，
则AB⊥PA，
且AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，
∴AB⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，
所以AB⊥PC．
【点评】本题考查等体积转化法求三棱锥的体积以及线线垂直判定，属于中档题．
19．（12分）某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表：
（1）判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？（公式和对照表见题后）
（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．
附：，n＝a+b+c+d
【答案】（1）有关；
（2）．
【分析】（1）由题中列联表计算卡方，根据数值计算做出判断即可；
（2）由分层抽样确定抽取的6人中男生和女生的人数，再根据古典概型计算概率即可．
【解答】解：（1）由表中数据，可得，
所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜欢“应用统计”课程与性别有关；
（2）设所抽样本中有m个男生，则＝，得m＝4，
所以样本中有4个男生，2个女生，分别记作B1，B2，B3，B4，G1，G2，
从中任选2人的基本事件有（B1，B2），（B1，B3），（B1，B4），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B3），（B2，B4），（B2，G1），（B2，G2），（B3，B4），（B3，G1），（B3，G2），（B4，G1），（B4，G2），（G1，G2），共15个，
其中恰有1个男生和1个女生的事件有（B1，G1），（B1，G2），（B2，G1），（B2，G2），（B3，G1），（B3，G2），（B4，G1），（B4，G2），共8个，
所以恰有1个男生和1个女生的概率为．
【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
20．（12分）已知椭圆C：）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为椭圆C上的一个动点．△PF1F2面积的最大值为2．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）设斜率存在的直线PF2与C的另一个交点为Q，是否存在点T（t，0），使得|TP|＝|TQ|．若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）．
（2）存在，．
【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可；
（2）设直线PF2方程为：，联立直线与椭圆的方程，先讨论k＝0时是否满足，当k≠0时，根据直线TM斜率列式化简求解即可．
【解答】解：（1）由题意，离心率，由当P是C的上顶点时，△PF1F2面积的最大，
则，即bc＝2，又a2＝b2+c2，得：，
故椭圆C的标准方程为．
（2）存在点T（t，0），使得|TP|＝|TQ|．
由题知，设直线PF2方程为：，
⇒
设P（x1，y1），Q（x2，y2），设PQ的中点为M（x0，y0），则x1，x2是该方程的两个根，，，
当k＝0时，由|TP|＝|TQ|易得t＝0；
当k≠0时，由|TP|＝|TQ|知TM⊥PM，则直线TM斜率，
所以，得．
所以，由于，则，
综上所述，
故存在点T（t，0），使得|TP|＝|TQ|，且t的取值范围．
【点评】本题主要考查了椭圆的基本量关系，同时也考查了利用直线与圆锥曲线的关系列式，利用韦达定理表达所求式，从而化简求解的问题，常用点坐标表达斜率、中点等，再代入韦达定理化简求解，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣1﹣ax（a∈R）．
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2ey+1＝0垂直，求a的值；
（2）当x∈（0，2]时，讨论函数F（x）＝f（x）﹣xlnx零点的个数．
【答案】（1）a＝﹣e；
（2）当a＝e﹣1或时，函数F（x）有一个零点；
当时，函数F（x）有两个零点；
当a＜e﹣1时，函数F（x）没有零点．
【分析】（1）根据题意，对f（x）求导数，可得f′（1）＝e﹣a，结合两条直线垂直的关系列式算出实数a的值；
（2）构建，结合题意可知F（x）的零点个数就是y＝a与y＝g（x）的交点个数，利用导数判断y＝g（x）的单调性和最值，进而可得所求结果．
【解答】解：（1）由题意，得f′（x）＝ex﹣a，可知f′（1）＝e﹣a，
而直线x+2ey+1＝0的斜率为，
因为y＝f（x）在x＝1处的切线与直线x+2ey+1＝0垂直，所以，解得a＝﹣e；
（2）根据F（x）＝f（x）﹣xlnx＝0，得ex﹣1﹣ax﹣xlnx＝0，整理得，
令，可知F（x）的零点个数就是直线y＝a与y＝g（x）图象的交点个数，
对g（x）求导数，可得，
因为x＞0，则ex﹣1＞0，令g′（x）＞0，解得1＜x≤2；令g′（x）＜0，解得0＜x＜1；
所以g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2]内单调递增，
且x趋近于0时，g（x）趋近于+∞，g（1）＝e﹣1，，
可得：当a＝e﹣1或时，函数F（x）有一个零点；
当时，函数F（x）有两个零点；当a＜e﹣1时，函数F（x）没有零点．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根、利用导数研究函数的单调性与最值、导数与切线的关系等知识，属于中档题．
(二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
（1）求曲线C的直角坐标方程，并化为标准方程；
（2）已知点P的极坐标为（1，π），l与曲线C交于A，B两点，求的值．
【答案】（1）x2+（y﹣1）2＝1．
（2）．
【分析】（1）ρ＝2sinθ变形为ρ2＝2ρsinθ，结合，求出直角坐标方程，为圆，再化为标准方程；
（2）求出点P的直角坐标，将直线的参数方程代入圆的方程，用t的几何意义求解．
【解答】解：（1）ρ＝2sinθ两边同乘以ρ可得：ρ2＝2ρsinθ，
由可得：∴x2+y2＝2y，即x2+（y﹣1）2＝1．
（2）∵x＝csπ＝﹣1，x＝sinπ＝0，
∴点P（1，π）的直角坐标为（﹣1，0），
把代入圆的方程可得，
设A，B两点的对应参数分别为t1，t2，则，∴t1＞0，t2＞0，
故．
【点评】本题考查参数方程以及极坐标方程与普通方程的互化，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+a|．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞3的解集；
（2）若a＞0，对任意的x∈R，f（x）≥a2﹣2a+3恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）{x|x＜﹣或x＞}．
（2）[1，2]．
【分析】（1）分x≤﹣1，﹣1＜x＜1与x≥1三种情况进行分类讨论，利用一元一次不等式的解法求解即可；
（2）利用绝对值三角不等式得到f（x）≥a+1，从而得到a+1≥a2﹣2a+3，利用二次不等式的解法求解即可．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|＝，
当x≤﹣1时，由f（x）＞3得﹣2x＞3，解得x＜﹣，∴x＜﹣；
当﹣1＜x＜1时，由f（x）＞3得2＞3，无解；
当x≥1时，由f（x）＞3得﹣2x＞3，解得x＞或x＞．
综上，不等式f（x）＞3的解集为{x|x＜﹣或x＞}．
（2）∵a＞0，∴f（x）＝|x﹣1|+|x+a|≥|a+1|＝a+1，
对任意的x∈R，f（x）≥a2﹣2a+3恒成立，
∴a+1≥a2﹣2a+3，即a2﹣3a+2≤0，解得1≤a≤2，
∴a的取值范围是[1，2]．
【点评】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式、含绝对值不等式的性质及解法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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