专题02 利用导函数研究函数的单调性问题（常规问题）(典型题型归类训练)-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

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目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc8840" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc8840 \h 1
\l "_Tc853" 二、典型题型 PAGEREF _Tc853 \h 2
\l "_Tc32421" 题型一：求已知函数（不含参）的单调区间 PAGEREF _Tc32421 \h 2
\l "_Tc29755" 题型二：已知函数在区间上单调求参数 PAGEREF _Tc29755 \h 3
\l "_Tc23254" 题型三：已知函数在区间上存在单调区间求参数 PAGEREF _Tc23254 \h 5
\l "_Tc5922" 题型四：已知函数在区间上不单调求参数 PAGEREF _Tc5922 \h 7
\l "_Tc32599" 题型五：已知函数在单调区间的个数 PAGEREF _Tc32599 \h 9
\l "_Tc26393" 三、专项训练 PAGEREF _Tc26393 \h 9
一、必备秘籍
1、求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
2、已知函数的递增（递减）区间为
，是的两个根
3、已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
4、已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调递增区间，有解.
②已知在区间上单调递区间减，有解.
5、已知函数在区间上不单调，使得（且是变号零点）
二、典型题型
题型一：求已知函数（不含参）的单调区间
1．（2023上·河南·高三荥阳市高级中学校联考阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】令，
，，，，
则在上单调递减，在上单调递增.
故选：A
2．（2023下·陕西汉中·高二校考期中）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】函数的定义域为，
，
因为，可得，解得，可得，
因此，函数的单调递减区间为.
故选：D.
3．（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）函数的单调递增区间是（ ）
A．和B．C．D．和
【答案】D
【详解】的定义域为，
，令，解得或，
故的单调递增区间为和.
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）已知，求的单调性.
【答案】函数在上单调递减，在上单调递增.
【详解】由，，
令，解得，令，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
题型二：已知函数在区间上单调求参数
1．（2023上·广东汕头·高三统考期中）设，若函数在递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为函数在递增，
所以在上恒成立，
则，即在上恒成立，
由函数单调递增得，
又，所以，所以，
所以即，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
2．（2023上·山西晋中·高三校考阶段练习）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】若函数在区间单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立；
又函数在上递减，所以恒成立，则
故的取值范围是.
故选：D.
3．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）若函数的图象在区间上单调递增，则实数的最小值为 ．
【答案】
【详解】因为，所以．
由的图象在区间上单调递增，
可知不等式即在区间上恒成立．
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
故要使在上恒成立，只需．
由，解得，
故实数a的取值范围为，则a的最小值为．
故答案为：
4．（2023上·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是： .
【答案】
【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为.
故a的取值范围是.
故答案为：
5．（2023下·高二课时练习）已知函数是区间上的单调函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】，
令，则或，
因为是区间上的单调函数，
所以或，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
题型三：已知函数在区间上存在单调区间求参数
1．（2019下·安徽六安·高二校联考期末）若函数存在增区间，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】若函数不存在增区间，则函数单调递减，
此时在区间恒成立，
可得，则，可得，
故函数存在增区间时实数的取值范围为．故选C.
2．（2023下·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】函数，∴，
∵函数在上存在单调递增区间，，即有解，
令,,∴当时，，即可．
故答案为:
3．（2020上·北京·高三北师大二附中校考阶段练习）已知函数在上有增区间，则a的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题得，
因为函数在上有增区间，
所以存在使得成立，
即成立，
因为时，，
所以.
故答案为：
4．（2019下·辽宁沈阳·高二校联考期中）设.
（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；
【答案】（1）；
【详解】解：（1），
当时，，
则当时，令，得，
所以，当时，在上存在单调递增区间；
题型四：已知函数在区间上不单调求参数
1．（2021上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为在区间上不是单调函数，
所以在区间上有解，即在区间上有解．
令，则．
当时，；当时，．
故在上单调递减，在上单调递增．又因为，
且当时，
所以在区间上单调递增，所以，解得.
故选：A
2．（2023上·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）已知函数在上不是单调函数，则实数m的取值范围是 ．
【答案】或
【详解】因为，所以，
又不是单调函数，所以函数有极值点，即在上有变号零点，
则成立，
当时，可化为，显然不成立；
当时，，
因为，，所以或，
所以实数m的取值范围为或（因为要有变号零点，故不能取等号），
经检验，或满足要求.
故答案为：或.
3．（2023·全国·高三专题练习）若对于任意 ，函数在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】，若存在，在区间上为单调函数，
则①在上恒成立，或②在上恒成立．
由①得在上恒成立，由于，所以，
即在上恒成立，由于函数均为上的单调递减函数，
所以单调递减，当时，取最大值，则，
又存在，所以，
当时，取到最小值-5，所以，即；
由②得在上恒成立，则，即，
所以存在，函数g(x)在区间(t,3)上为单调函数的m的取值范围为或，
因此使函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为.
故答案为：
4．（2022·全国·高二专题练习）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由，得，
当在内为减函数时，则在内恒成立，
所以在内恒成立，
当在内为增函数时，则在内恒成立，
所以在内恒成立，
令，因为在内单调递增，在内单调递减，
所以在内的值域为，所以或，
所以函数在内单调时，a的取值范围是，
故在上不单调时，实数a的取值范围是．
故答案为：．
题型五：已知函数在单调区间的个数
1．（2023·全国·高三专题练习）若函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意得函数的定义域为，，
要使函数恰有三个单调区间，
则有两个不相等的实数根，∴，解得且，
故实数a的取值范围为，
故选：C.
三、专项训练
一、单选题
1．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数，则“在区间上单调递增”的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】在区间上单调递增等价于在区间上大于等于恒成立，
即在上恒成立，即，
故是的充分不必要条件，故D正确.
故选：D.
2．（2023上·辽宁大连·高三大连市金州高级中学校考期中）若函数在具有单调性，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，
当函数在单调递增时，
恒成立，得，设，
当时，单调递增，
当时，单调递减，所以，
因此有，
当函数在单调递减时，
恒成立，得，设，
当时，单调递增，
当时，单调递减，所以，
显然无论取何实数，不等式不能恒成立，
综上所述，a的取值范围是，
故选：C
3．（2023上·北京·高三北京市第五中学校考阶段练习）下列函数中，在区间内不单调的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】A选项，在上恒成立，故在上单调递增，A错误；
B选项，在上恒成立，故在上单调递减，B错误；
C选项，当时，，
由于在上单调递增，在上不单调，
故在上不单调，C正确；
D选项，由于和在上单调递增，故在上单调递增，D错误.
故选：C
4．（2023上·四川遂宁·高三四川省蓬溪中学校校考阶段练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由，可得，记，
则，所以在单调递增，所以.
故选：C
5．（2023下·重庆江北·高二重庆十八中校考期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】因为，
由题意可知：存在，使得，整理得，
且在上单调递减，则，可得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
6．（2023下·广东江门·高二校考期中）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】，令，
即的单调递增区间为.
故选：B
7．（2023下·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，
函数在区间单调递增，
在区间上恒成立．在上恒成立，
而在区间上单调递减，．
故选：C
二、多选题
8．（2023下·高二单元测试）函数的单调减区间可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】由题意得，
令，解得或，
结合选项可知函数的单调减区间可以为,,
故选:AC.
9．（2023下·江苏南通·高二统考阶段练习）若函数的单调递增区间为，则可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【详解】A选项，的定义域为，故单调递增区间不可能为，A错误；
B选项，定义域为，
，令，解得，
所以单调递增区间为，B正确；
C选项，定义域为，
，令，解得或，
所以单调递增区间为，，C错误；
D选项，定义域为，
，令，解得，
故单独递增区间为，D正确.
故选：BD
三、填空题
10．（2023上·江苏南通·高三统考期中）已知函数的减区间为，则 .
【答案】3
【详解】由题意可得，，解集为，则.
故答案为：3
11．（2023上·贵州贵阳·高三清华中学校考阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】函数的定义域为，求导得，
依题意，不等式在上有解，等价于在上有解，
而，当且仅当时取等号，则，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【详解】
∵函数在区间上不单调，
∴在区间内有解，
则在内有解，
易知函数在上是减函数，
∴的值域为，
因此实数a的取值范围为.
故答案为：
13．（2023·安徽·高二校联考竞赛）如果函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则的值为 ．
【答案】1
【详解】由题意得，，由，得，
解得或．
当时，，当时，，
则在区间上单调递增，不满足条件，舍去；
当时，，
当时，，当时，，满足在区间上单调递减，在区间上单调递增，故．
故答案为：1
四、单空题
14．（2023上·上海·高二校考阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】函数在区间上单调递减，
在区间上恒成立，
即，又，
故，即实数的取值范围为.
故答案为：