数学选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆练习题

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A．3B．4C．9D．21
【解题思路】由直接可得.
【解答过程】由题知，
所以，因为，所以.
故选：A.
2．（3分）设表示的是椭圆；，则p是成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据椭圆方程的特征以及充分条件必要条件的概念可得结果.
【解答过程】若表示的是椭圆，则且，即成立；
反例：当时，表示的是圆，即不成立；
即p是成立的充分不必要条件，
故选：A.
3．（3分）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则（ ）
A．有最大值，为16B．有最小值，为16
C．有最大值，为4D．有最小值，为4
【解题思路】依据椭圆定义，再利用均值定理即可求得有最大值，为16．
【解答过程】由题意知，，则．
由基本不等式，知，
（当且仅当时等号成立），所以有最大值，为16．
故选：A．
4．（3分）已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】利用相关点法即可求解.
【解答过程】设线段的中点，，
所以，解得，
又点在圆上，
则，即.
故选：A.
5．（3分）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】首先设，，再利用焦点三角形是直角三角形，列式求，即可求得的值.
【解答过程】设，，因为，，，所以，，所以，所以，所以．因为，所以．所以椭圆的方程是．
故选：C.
6．（3分）是椭圆的左焦点是椭圆上的动点为定点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据题意，将求两线段之和的最小值转变为两线段之差的绝对值的最大值即可.
【解答过程】椭圆的，
如图，
设椭圆的右焦点为 ，
则 ；
；
由图形知，当在直线 上时， ，
当不在直线 上时，
根据三角形的两边之差小于第三边有， ，
当在 的延长线上时， 取得最小值
的最小值为．
故选：C．
7．（3分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】求出，可知为等腰三角形，取的中点，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式可求得结果.
【解答过程】在椭圆中，，，则，所以，，
由椭圆的定义可得，
取的中点，因为，则，
由勾股定理可得，
所以，.
故选：B.
8．（3分）已知椭圆，其左､右焦点分别为，，离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】由离心率的值，可得的关系，由三角形的内切圆的面积，求出内切圆的半径，再由及余弦定理可得的值，进而求出的面积，再由，可得的值，进而求出椭圆的方程．
【解答过程】由离心率，得，即．
因为的内切圆的面积为，设内切圆的半径为，所以，解得，
由椭圆的定义可知，
在中，，由余弦定理得，
即，
∴，
∴，可得，
所以，
而，
所以可得，解得，，
由，得，
所以该椭圆的方程为．
故选：A．
二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）
9．（4分）将一个椭圆绕其对称中心旋转，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据对偶椭圆的定义求出，再根据关系逐一判断即可.
【解答过程】由题意，根据对偶椭圆定义，在椭圆标准方程中，，则，
，，，，是对偶椭圆；
B，，，不满足，不是对偶椭圆；
C，，，满足，是对偶椭圆；
D，，，不满足，不是对偶椭圆．
故选：AC.
10．（4分）对于曲线，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线不可能是椭圆
B．“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件
D．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件
【解题思路】根据曲线的形状求出参数的取值范围，可判断A选项；利用集合的包含关系可判断BCD选项.
【解答过程】对于A选项，若曲线为椭圆，则，解得且，A错；
对于B选项，因为或，
所以，“”是“曲线是椭圆”的必要不充分条件，B错；
对于C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，
又因为，
所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件，C对；
对于D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，
所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件，D对.
故选：CD.
11．（4分）已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（ ）
A．的最大值为5B．
C．存在点，使D．的最大值为
【解题思路】设，则，进而根据两点之间的距离公式和二次函数性质求解判断A；根据椭圆定义判断B；根据为短轴端点时，判断C；根据，，三点共线时，有最大值判断D.
【解答过程】解：对于A选项，设，则，即，
所以，
又，所以当时，，故A错误，
对于B选项，由椭圆定义，，故B正确
对于C选项，当为短轴端点时，
，，，故，进而，故C错误，
对于D选项，，当，，三点共线时，有最大值，故D正确.
故选：BD.
12．（4分）已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在P使得B．的最小值为
C．，则的面积为9D．直线与直线斜率乘积为定值
【解题思路】设椭圆短轴顶点为根据得的最大角为钝角即可判断A；记，则，结合余弦定理与基本不等式求解判断B；结合题意得，进而计算面积判断C；设，直接求解即可判断D.
【解答过程】解：设椭圆短轴顶点为，由题知椭圆：中，，
所以，，，，，
对于A选项，由于，，所以的最大角为钝角，故存在P使得，正确；
对于B选项，记，则，
由余弦定理：
，当且仅当时取“=”，B正确；
对于C选项，由于，故 ，所以，C正确；
对于D选项，设，则，，于是,故错误.
故选：ABC.
三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
13．（4分）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是 椭圆 ．
【解题思路】根据两点间距离公式，即可判断点轨迹满足椭圆的定义.
【解答过程】可看作M（x，y）到的距离之和为，由于,所以点M的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.
故答案为：椭圆.
14．（4分）经过椭圆的左焦点，作不垂直于x轴的直线AB，交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长为 8 ．
【解题思路】利用椭圆的定义，即可求解周长.
【解答过程】由椭圆，可得a＝2．
由椭圆的定义可得．
所以的周长．
故答案为：8.
15．（4分）已知，F是椭圆C：的左焦点，点P是椭圆C上的动点，则的最小值为 4 .
【解题思路】根据给定条件，利用椭圆的定义推理计算作答.
【解答过程】设椭圆C的右焦点为，依题意，，由椭圆的定义得：，
而，即，有，
因此，，当且仅当点P是线段的延长与椭圆C的交点时取“=”，
所以的最小值为4.
故答案为：4.
16．（4分）如图，已知椭圆C的中心为坐标原点O，为C的左焦点，P为C上一点，且满足，，则椭圆C的标准方程为．
【解题思路】引入右焦点为，根据平面几何性质得，由勾股定理求得，由椭圆定义求得，再求得即可得椭圆标准方程．
【解答过程】设椭圆C的标准方程为（），右焦点为，连接．
由已知，得．又，所以．
在中，．
由椭圆的定义，可知，所以，
所以，
故椭圆C的标准方程为．
故答案为：．
四．解答题（共6小题，满分44分）
17．（6分）已知点P是椭圆上一点，它到椭圆的左焦点的距离是它到右焦点的距离的3倍，求点P的坐标．
【解题思路】由椭圆定义求得，，利用分别在以、为圆心，半径为15、5的圆上，则圆方程联立可求得点坐标．
【解答过程】解：由已知，，，，
，而，
所以，，
因此点P在分别以、为圆心，半径为15、5的圆上，
因此，解得，
所以点P的坐标为．
18．（6分）求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)过点，且与椭圆有公共的焦点；
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点，．
【解题思路】（1）法一：设椭圆的标准方程为，根据与椭圆有公共的焦点得到c，再将点代入求解；同理设椭圆方程为（）求解；法二：设椭圆的方程为，再将点代入求解；
（2）方法一 ：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为（），将点的坐标代入求解；同理．当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程（），将点的坐标代入求解； 方法二 设椭圆的方程为（，，），将点的坐标代入求解．
【解答过程】（1）
解：方法一 ：设所求椭圆的标准方程为（）
由，得，即．①
又点在所求椭圆上，所以，②
由①②得，，
即所求椭圆的标准方程是．
方法二 ：设所求椭圆的方程为．
因为点在所求椭圆上，
所以，解得，
所以所求椭圆的标准方程为．
（2）
方法一 ：当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为（）．
依题意有，得．
由知，不符合题意，故舍去．
当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程（）．
依题意有，得．
所以所求椭圆的标准方程为．
方法二： 设椭圆的方程为（，，）．
依题意有，解得．
所以所求椭圆的方程为，故椭圆的标准方程为．
19．（8分）已知P是椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点．
(1)若，求的面积；
(2)求的最大值．
【解题思路】（1）根据椭圆的定义以及的关系，结合余弦定理和面积公式即可求得；
（2）由椭圆的定义结合基本不等式即可求得答案.
【解答过程】（1）
在椭圆中，a＝5，b＝3，则．
则，2c＝8，
在中，，即有，
即，所以，
则的面积为．
（2）
设，，则m＋n＝10，
所以，即，当且仅当m＝n＝5时取等号．
所以的最大值为25．
20．（8分）在平面直角坐标系中，已知，是椭圆：两个焦点，点P在椭圆上，且的周长为10.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若的面积等于2，求点P的坐标
【解题思路】（1）由条件可得，，即可得出答案.
（2）设，由三角形的面积可求出，代入椭圆方程可答案.
【解答过程】由已知得，
由的周长为10，即,可得，
所以，
所以此椭圆的方程为.
（2）设，
由，得，
将代入椭圆方程得：，即.
所以.
21．（8分）已知两点、，曲线C上的动点P满足．
(1)求曲线C的方程；
(2)曲线C上是否存在点M使?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【解题思路】(1)结合已知条件，利用椭圆定义求解即可；(2)首先假设存在这样的点，代入椭圆方程得到一个关系式，然后利用向量的垂直的数量积为0得到另外一个关系式，联立关系式求解即可.
【解答过程】（1）
由题意可知，，从而，
由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为椭圆，
设曲线C的轨迹方程为：，()，且焦距，即，
因为，即，
所以，
故曲线C的方程为：.
（2）
假设曲线C上存在这样的点，即 ①，
因为，所以，
即 ②，
联立①②得，，，
从而坐标为或.
故曲线C上存在点M使，且坐标为或.
22．（8分）设椭圆的左右焦点分别为，是上的动点，直线经过椭圆的一个焦点，的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为椭圆上一点，求的最小值和最大值（写出严谨的推导过程）.
【解题思路】（1）由题中已知条件求出椭圆中的即可得到椭圆的标准方程；
（2）设，则，，根据两点间的距离公式并将其化简为二次函数的形式，即得到，根据二次函数知识知当时求得最小值，当时求得最大值.
【解答过程】（1）因为椭圆，
所以此椭圆的焦点在轴上，
因为直线经过椭圆的一个焦点，
所以令，则，即半焦距，所以，
因为的周长为，
所以，
所以，即，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由已知得，设，则，.
所以，
代入，得，
对称轴为，又由于，
所以当时，，此时，
当时，，此时，
所以的最小值为，最大值为.