2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习07（含答案）

这是一份2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习07（含答案），共13页。试卷主要包含了画图象如图所示等内容，欢迎下载使用。
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝eq \f(1,2)x2＋bx＋c经过点A(﹣4，0)，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2，6)．
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)求直线AB的函数解析式及sin∠ABO的值；连接OC．若过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，请求出点P的坐标；
(3)在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交y轴于点A(0，﹣4)，并经过点C(6，0)，过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为(4，0)，连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒eq \r(2)个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；
(3)在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．
如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(1，0)，B(﹣3，0)．
(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
(2)设点D是x轴上一点，当tan(∠CAO+∠CDO)=4时，求点D的坐标；
(3)如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．
如图，⊙E的圆心E(3，0)，半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点(点A在点B的上方)，与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=eq \f(3,4)x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；
(3)动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．
已知关于x的二次函数y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)，且c＝﹣3a．
(1)若a＝﹣1，求该二次函数的解析式和顶点坐标；
(2)在(1)的条件下，求出下表中k、n的值，并在以下平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；根据图象回答：当0≤x≤2时，直接写出y的最小值．
(3)当﹣3＜x＜0时，y有最小值﹣4，若将该二次函数的图象向右平移m(m＞1)个单位长度，平移后得到的图象所对应的函数y'在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3，求函数y＝ax＋m的解析式．
如图，已知抛物线y=eq \f(1,3)x2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(﹣9，10)，AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A(1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图2，M是x轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标；
(3)如图3，连接AC、BC，在抛物线上是否存在一点N(不与点A重合)，使得∠BCN＝∠ACB？若存在，求点N的横坐标；若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2a2x＋1(a≠0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B．
(1)抛物线的对称轴为直线x＝ ；(用含字母a的代数式表示)
(2)若AB＝2，求二次函数的表达式；
(3)已知点P(a＋4，1)，Q(0，2)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，求a的取值范围．
\s 0 答案
解：(1)将A(﹣4，0)，C(2，6)代入y＝eq \f(1,2)x2＋bx＋c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝eq \f(1,2)x2＋2x，
对称轴x＝﹣2，当x＝﹣2时，y＝eq \f(1,2)×4＋2×(﹣2)＝﹣2，
∴顶点M的坐标为(﹣2，﹣2)；
(2)∵A(﹣4，0)，
∴OA＝4，
∵OA＝OB，
∴OB＝4，B(0，4)，
设直线AB的函数解析式解析式为y＝kx＋b，将A(﹣4，0)、B(0，4)代入得：
，解得，
∴直线AB的函数解析式解析式为y＝x＋4，
Rt△AOB中，AB＝＝4，
∴sin∠ABO＝＝＝，
过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，过P作PQ⊥x轴于Q，过C作CH⊥x轴于H，分两种情况：
①当S△AOP：S△COP＝1：2时，如图：
∵S△AOP：S△COP＝1：2，
∴S△AOP：S△AOC＝1：3，
∴PQ：CH＝1：3，
而C(2，6)，即CH＝6，
∴PQ＝2，即yP＝2，
在y＝x＋4中，令y＝2得2＝x＋4，
∴x＝﹣2，
∴P(﹣2，2)；
②当S△COP：S△AOP＝1：2时，如图：
∵S△COP：S△AOP＝1：2，
∴S△AOP：S△AOC＝2：3，
∴PQ：CH＝2：3，
∵CH＝6，
∴PQ＝4，即yP＝4，
在y＝x＋4中，令y＝4得4＝x＋4，
∴x＝0，
∴P(0，4)；
综上所述，过点O的直线交线段AC于点P，将三角形AOC的面积分成1：2的两部分，则P坐标为(﹣2，2)或(0，4)；
(3)点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形时，设N(m，n)，分三种情况：
①以AN、CO为对角线，此时AN中点与CO中点重合，
∵A(﹣4，0)、O(0，0)，C(2，6)，
∴AN的中点为(，)，OC中点为(，)，
∴，解得，∴N(6，6)，
②以AC、NO为对角线，此时AC中点与NO中点重合，同理可得：
解得，∴N(﹣2，6)，
③以AO、CN为对角线，此时AO中点与CN中点重合，同理可得：
，解得，∴N(﹣6，﹣6)，
综上所述，点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形，N的坐标为：
(6，6)或(﹣2，6)或(﹣6，﹣6)．
解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为(4，0)，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(﹣2，0)，
∴抛物线的解析式为：y＝a(x＋2)(x﹣6)，
将点A(0，﹣4)解析式可得，﹣12a＝﹣4，
∴a＝eq \f(1,3)．
∴抛物线的解析式为：y＝eq \f(1,3)(x＋2)(x﹣6)＝eq \f(1,3)x2﹣eq \f(4,3)x﹣4．
(2)∵AB⊥y轴，A(0，﹣4)，
∴点B的坐标为(4，﹣4)．
∵D(4，0)，
∴AB＝BD＝4，且∠ABD＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝45°．
∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．
∵AE＝eq \r(2)m，
∴AF＝EF＝m，
∴E(m，﹣4＋m)，F(m，﹣4)．
∵四边形EGFH是正方形，
∴△EHF是等腰直角三角形，
∴∠HEF＝∠HFE＝45°，
∴FH是∠AFE的角平分线，点H是AE的中点．
∴H(eq \f(1,2)m，﹣4＋eq \f(1,2)m)，G(eq \f(3,2)m，﹣4＋eq \f(1,2)m)．
∵B(4，﹣4)，C(6，0)，
∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣12．
当点G随着E点运动到达BC上时，有2×eq \f(3,2)m﹣12＝﹣4＋eq \f(1,2)m．解得m＝3.2．
∴G(4.8，﹣2.4)．
(3)存在，理由如下：
∵B(4，﹣4)，C(6，0)，G(eq \f(3,2)m，﹣4＋eq \f(1,2)m)．
∴BG2＝(4﹣eq \f(3,2)m)2＋(eq \f(1,2)m)2，BC2＝(4﹣6)2＋(﹣4)2＝20，CG2＝(6﹣eq \f(3,2)m)2＋(﹣4＋eq \f(1,2)m)2．
若以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，则△BGC是直角三角形，
∴分以下三种情况：
①当点B为直角顶点时，BG2＋BC2＝CG2，
∴(4﹣eq \f(3,2)m)2＋(eq \f(1,2)m)2＋20＝(6﹣eq \f(3,2)m)2＋(﹣4＋eq \f(1,2)m)2，解得m＝1.6，
∴G(2.4，﹣3.2)；
②当点C为直角顶点时，BC2＋CG2＝BG2，
∴20＋(6﹣eq \f(3,2)m)2＋(﹣4＋eq \f(1,2)m)2＝(4﹣eq \f(3,2)m)2＋(eq \f(1,2)m)2，解得m＝5.6，
∴G(8.4，﹣1.2)；
③当点G为直角顶点时，BG2＋CG2＝BC2，
∴(4﹣eq \f(3,2)m)2＋(eq \f(1,2)m)2＋(6﹣eq \f(3,2)m)2＋(﹣4＋eq \f(1,2)m)2＝20，解得m＝4.8或2，
∴G(3，﹣3)或(7.2，﹣1.6)；
综上，存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，点G的坐标为(2.4，﹣3.2)或(8.4，﹣1.2)或(3，﹣3)或(7.2，﹣1.6)．
解：(1)由题意把点(1，0)，(﹣3，0)代入y=﹣x2+bx+c，
得，，解得b=﹣2，c=3，
∴y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4，
∴此抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为(﹣1，4)；
(2)∵抛物线顶点C(﹣1，4)，∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，
设抛物线对称轴与x轴交于点H，则H(﹣1，0)，
在Rt△CHO中，CH=4，OH=1，∴tan∠COH==4，
∵∠COH=∠CAO+∠ACO，
∴当∠ACO=∠CDO时，tan(∠CAO+∠CDO)=tan∠COH=4，
如图1，当点D在对称轴左侧时，
∵∠ACO=∠CDO，∠CAO=∠CAO，∴△AOC∽△ACD，∴=，
∵AC==2，AO=1，∴=，∴AD=20，∴OD=19，
∴D(﹣19，0)；
当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x=1的对称点D'的坐标为(17，0)，
∴点D的坐标为(﹣19，0)或(17，0)；
(3)设P(a，﹣a2﹣2a+3)，将P(a，﹣a2﹣2a+3)，A(1，0)代入y=kx+b，
得，，解得，k=﹣a﹣3，b=a+3，∴yPA=(﹣a﹣3)x+a+3，
当x=0时，y=a+3，∴N(0，a+3)，如图2，
∵S△BPM=S△BPA﹣S四边形BMNO﹣S△AON，S△EMN=S△EBO﹣S四边形BMNO，
∴S△BPM﹣S△EMN=S△BPA﹣S△EBO﹣S△AON
=eq \f(1,2)×4×(﹣a2﹣2a+3)﹣eq \f(1,2)×3×3﹣eq \f(1,2)×1×(a+3)=﹣2a2﹣eq \f(9,2)a=﹣2(a+)2+，
由二次函数的性质知，当a=﹣时，S△BPM﹣S△EMN有最大值，
∵△BMP和△EMN的面积分别为m、n，∴m﹣n的最大值为．
解：(1)如图1，连接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA=4，
∵OC⊥AB，∴由垂径定理得，OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，
∴A(0，4)，B(0，﹣4)，C(8，0)，
∵抛物线的定点为C，
∴设抛物线的解析式为y=a(x-8)2，
将点B的坐标代入上解析的式，得64a=﹣4，
故a=-eq \f(1,16)，∴y=-eq \f(1,16)(x-8)2，
∴所求抛物线的解析式为：y=-eq \f(1,16)x2+x-4；
(2)在直线l的解析式y=eq \f(3,4)x+4中，令y=0，得eq \f(3,4)x+4=0，解得x=-eq \f(16,3)，
∴点D的坐标为(-eq \f(16,3)，0)，当x=0时，y=4，
∴点A在直线l上，在Rt△AOE和Rt△DOA中，
∵，，∴，
∵∠AOE=∠DOA=90°，∴△AOE∽△DOA，∴∠AEO=∠DAO，
∵∠AEO+∠EAO=90°，∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，
因此，直线l与⊙E相切与A；
(3)如图2，过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，
交直线l于点M．设M(m，eq \f(3,4)m+4)，P(m，-eq \f(1,16)m2+m-4)，
则PM=eq \f(3,4)m+4-(-eq \f(1,16)m2+m-4)=eq \f(1,16)(m-2)2+7eq \f(3,4)，
当m=2时，PM取得最小值6.2，此时，P(2，-2.25)，对于△PQM，
∵PM⊥x轴，∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，
又∠PQM=90°，∴△PQM的三个内角固定不变，
∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，
∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，
PQ最小=PM最小•sin∠QMP=PM最小•sin∠AEO=6.2，
∴当抛物线上的动点P的坐标为(2，-2.25)时，点P到直线l的距离最小，
其最小距离为6.2．
解：(1)∵c＝﹣3a，
∴y＝ax2＋2ax＋c
＝ax2＋2ax﹣3a
∴当a＝﹣1时，y＝﹣x2﹣2x＋3，
∵y＝﹣x2﹣2x＋3
＝﹣(x2＋2x＋1)＋3＋1
＝﹣(x＋1)2＋4，
∴二次函数的顶点坐标为(﹣1，4)．
(2)把x＝0代入y＝﹣x2﹣2x＋3得y＝3即k＝3．
把x＝1代入y＝﹣x2﹣2x＋3得y＝0即n＝0．画图象如图所示．
由图像可以看出，当0≤x≤2时，﹣5≤y≤3．∴y最小值＝﹣5．
(3)∵y＝ax2＋2ax﹣3a
＝a(x＋1)2﹣4a，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为(﹣1，﹣4a)，
由题意可得当﹣3＜x＜0时，函数最小值为﹣4a＝﹣4，
∴a＝1，
∴二次函数的解析式为y＝(x＋1)2﹣4，
∵二次函数的图象向右平移m(m＞1)个单位长度后得y'＝(x＋1﹣m)2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝m﹣1，
∵m＞1，m﹣1＞0，
∴对称轴在y轴右侧，
∵抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小．
∴当x＝0时，y'＝(x＋1﹣m)2﹣4＝(1﹣m)2﹣4为最小值，
∴(1﹣m)2﹣4＝﹣3，解得m＝0(舍去)或m＝2，
∴m＝2．
∴这个函数表达式为y＝x＋2．
解：(1)∵点A(0，1)．B(﹣9，10)在抛物线上，
∴，∴，
∴抛物线的解析式为y=eq \f(1,3)x2＋2x＋1，
(2)∵AC∥x轴，A(0，1)
∴eq \f(1,3)x2＋2x＋1=1，∴x1=﹣6，x2=0，
∴点C的坐标(﹣6，1)，
∵点A(0，1)．B(﹣9，10)，
∴直线AB的解析式为y=﹣x＋1，
设点P(m，eq \f(1,3)m2＋2m＋1)
∴E(m，﹣m＋1)∴PE=﹣m＋1﹣(eq \f(1,3)m2＋2m＋1)=﹣eq \f(1,3)m2﹣3m，
∵AC⊥EP，AC=6，
∴S四边形AECP=S△AEC＋S△APC=eq \f(1,2)AC×EF＋eq \f(1,2)AC×PF=eq \f(1,2)AC×(EF＋PF)
=eq \f(1,2)AC×PE=eq \f(1,2)×6×(﹣eq \f(1,3)m2﹣3m)=﹣m2﹣9m=﹣(m＋eq \f(9,2))2＋20eq \f(1,4)，
∵﹣6＜m＜0∴当m=﹣eq \f(9,2)时，四边形AECP的面积的最大值是20eq \f(1,4)，
此时点P(﹣eq \f(9,2)，﹣eq \f(5,4))．
(3)∵y=eq \f(1,3)x2＋2x＋1=eq \f(1,3)(x＋3)2﹣2，∴P(﹣3，﹣2)，
∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3，
∴PF=CF，∴∠PCF=45°
同理可得：∠EAF=45°，
∴∠PCF=∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件的Q，
设Q(t，1)且AB=9eq \r(2)，AC=6，CP=3eq \r(2)
∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
∴，∴，
∴t=﹣4，∴Q(﹣4，1)
②当△CQP∽△ABC时，
∴，∴，
∴t=3，∴Q(3，1)．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋3过A(1，0)、B(3，0)两点，
∴方程ax2＋bx＋3＝0的两根为x＝1或x＝3，
∴1＋3＝﹣，1×3＝，
∴a＝1，b＝﹣4，
∴二次函数解析式是y＝x2﹣4x＋3；
(2)∵二次函数解析式是y＝x2﹣4x＋3，
∴C(0，3)．
设直线BC的解析式为y＝kx＋t(k≠0)，
则，解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋3．
设点M(m，m2﹣4m＋3)，
过点M作MN∥y轴，交BC于点N，
∴N(m，﹣m＋3)，
∴MN＝﹣m＋3﹣m2＋4m﹣3＝﹣m2＋3m，
∵A(1，0)、B(3，0)，C(0，3)．
∴S△MOC＝eq \f(1,2)OCm＝eq \f(3,2)m，S△MBC＝eq \f(1,2)MNOB＝﹣eq \f(3,2)m2＋eq \f(9,2)m，
∵△MOC的面积是△MBC面积的3倍，
∴eq \f(3,2)m＝3(﹣eq \f(3,2)m2＋eq \f(9,2)m)，∴m＝0(舍去)或eq \f(8,3)，
∴点M的坐标为(eq \f(8,3)，﹣eq \f(5,9))；
(3)抛物线上存在一点N，使得∠BCN＝∠ACB．
过点B作BE⊥AB交CN与E，
∵B(3，0)，C(0，3)．
∴OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
∴∠OBC＝∠EBC＝45°，
∵BC＝BC，∠BCN＝∠ACB．
∴△ABC≌△EBC(ASA)，
∴BE＝AB＝2，
∴E(3，2)，
设直线CN的解析式为y＝mx＋n，
∴，解得，
∴直线CN的解析式为y＝﹣eq \f(1,3)x＋3，
联立y＝x2﹣4x＋3得，或 (舍去)，
∴抛物线上存在一点N，使得∠BCN＝∠ACB．点N的横坐标为eq \f(11,3)．
解：(1)∵y＝ax2﹣2a2x＋1，
∴抛物线对称轴为直线x＝a．
故答案为：a．
(2)∵A，B关于抛物线对称轴对称，
∴AB＝|2a|＝2，
当a＞0时，a＝1，∴y＝x2﹣2x＋1，
当a＜0时，a＝﹣1，∴y＝﹣x2﹣2x＋1．
(3)将x＝0代入y＝ax2﹣2a2x＋1得y＝2，
∴点A坐标为(0，1)，
当a＞0时，抛物线开口向上，点Q(0，2)在点A(0，1)上方，
∵点B与点A关于抛物线对称轴对称，
∴点B坐标为(2a，1)，
∴当a＋4≥2a时，点P在抛物线上或在抛物线外部，符合题意，解得a≤4，
当a＜0时，点Q在抛物线上方，点B在点A左侧，
当点P在抛物线内部时，满足题意，
∴2a≤a＋4≤0，解得a≤﹣4，
综上所述，a≤﹣4或0＜a≤4．
x
…
﹣eq \f(3,2)
﹣1
0
1
eq \f(3,2)
…
y
…
eq \f(15,4)
4
k
n
﹣eq \f(9,4)
…