2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习03（含答案）

这是一份2024年中考数学二轮复习 二次函数压轴题 专项提升练习03（含答案），共13页。试卷主要包含了BC=32＋32=18等内容，欢迎下载使用。
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)，与直线l：y＝k(x﹣3)＋3(k＞0)交于D，E两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接BD，若△BDE的面积为6，求k的值；
(3)如图2，若直线l与抛物线交于M，N两点，与BC交于点P，且∠MBC＝∠NBC．求P点的坐标．
在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c(b、c是常数)经过点(0，﹣1)和(2，7)，点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．
(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．
(2)点B在这个抛物线上(点B在点A的左侧)，点B的横坐标为﹣1﹣2m．
①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．
②将此抛物线A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．
(3)设点D的坐标为(m，2﹣m)，点E的坐标为(1﹣m，2﹣m)，点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．
抛物线y＝ax2＋eq \f(11,4)x﹣6与x轴交于A(t，0)，B(8，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx﹣6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和t，k的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求CQ＋eq \f(1,2)PQ的最大值．
已知抛物线y=﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A(﹣4，0)，B(1，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点P在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
(4)已知点E在x轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3，0)，B(9，0)和C(0，4)．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．
(1)求出二次函数的表达式以及点D的坐标；
(2)若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；
(3)若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度(0＜t≤6)得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．
如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1，求抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于A、B两点．
(1)若直线y=mx＋n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
(3)设点P为该抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．(提示：若平面直角坐标系内两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则线段PQ的长度PQ=)．
在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点M的坐标为(﹣1，﹣4)，且与x轴交于点A，点B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．
(1)填空：b= ，c= ，直线AC的解析式为 ；
(2)直线x=t与x轴相交于点H．
①当t=﹣3时得到直线AN(如图1)，点D为直线AC下方抛物线上一点，若∠COD=∠MAN，求出此时点D的坐标；
②当﹣3＜t＜﹣1时(如图2)，直线x=t与线段AC，AM和抛物线分别相交于点E，F，P．试证明线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为eq \f(3,5)，求此时t的值．
如图，直线y＝kx＋n(k≠0)与x轴、y轴分别交于A、B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于点C，且C(﹣1，0)，A(4，0)．
(1)求抛物线和直线AB的解析式；
(2)若M点为x轴上一动点，当△MAB是以AB为腰的等腰三角形时，求点M的坐标．
(3)若点P是抛物线上A，B两点之间的一个动点(不与A，B重合)，则是否存在一点P，使△PAB的面积最大？若存在求出△PAB的最大面积；若不存在，试说明理由．
\s 0 答案
解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)，
∴设y＝a(x＋1)(x﹣3)，把C(0，3)代入得，3＝a×(0＋1)×(0﹣3)，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣(x＋1)(x﹣3)＝﹣x2＋2x＋3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3；
(2)∵直线l：y＝k(x﹣3)＋3，当x＝3时，y＝3，
∴点F(3，3)是直线l上一定点，
如图1，连接BF，则BF∥y轴，BF＝3，
∵S△BDF﹣S△BEF＝S△BDE＝6，
∴eq \f(1,2)BF(3﹣xD)﹣eq \f(1,2)BF(3﹣xE)＝6，即eq \f(3,2)(xE﹣xD)＝6，
∴xE﹣xD＝4，
联立得：﹣x2＋2x＋3＝k(x﹣3)＋3，
整理得：x2＋(k﹣2)x﹣3k＝0，
∴xD＋xE＝2﹣k，xDxE＝﹣3k，
∵(xD＋xE)2﹣4xDxE＝(xE﹣xD)2，
∴(2﹣k)2﹣4×(﹣3k)＝42，解得：k1＝﹣4＋2eq \r(7)，k2＝﹣4﹣2eq \r(7)，
∵k＞0，∴k＝﹣4＋2eq \r(7)；
(3)设M(x1，﹣x12＋2x1＋3)，N(x2，﹣x22＋2x2＋3)，
如图2，分别过点M、N作ME⊥x轴于点E，NQ⊥BF于点Q，
∵C(0，3)，B(3，0)，
∴OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°，∠CBQ＝45°，
∵∠MBC＝∠NBC，
∴∠MBE＝∠NBQ，
∴tan∠MBE＝tan∠NBQ，
∴＝，
∴＝，即＝，
∴x1＋x2＋x1x2＝0，
由(2)知：x1＋x2＝2﹣k，x1x2＝﹣3k，
∴2﹣k﹣3k＝0，解得：k＝eq \f(1,2)，
∴直线l的解析式为y＝eq \f(1,2)(x﹣3)＋3，
设直线BC的解析式为y＝mx＋n，
则，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋3，
联立方程组得，解得：，
∴P点的坐标为(1，2)．
解：(1)把(0，﹣1)和(2，7)代入y＝x2＋bx＋c，得：
，解得：，
∴抛物线对应的函数表达式为：y＝x2＋2x﹣1，
∵y＝x2＋2x﹣1＝(x＋1)2﹣2，
∴顶点C的坐标为(﹣1，﹣2)；
(2)①当x＝﹣1﹣2m时，y＝(﹣1﹣2m＋1)2﹣2＝4m2﹣2，
∴B(﹣1﹣2m，4m2﹣2)．
当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，
则AC＝BC，
又∵点C在抛物线对称轴x＝﹣1上，
∴点A、点B关于直线x＝﹣1对称，
∴A(2m﹣1，4m2﹣2)，
∵点A的横坐标为m，
∴2m﹣1＝m，解得：m＝1，
∴A(1，2)，B(﹣3，2)，
∵由(1)得，C(﹣1，﹣2)，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)[1﹣(﹣3)]×[2﹣(﹣2)]＝8；
②∵A(m，(m＋1)2﹣2)，B(﹣1﹣2m，4m2﹣2)．
∴当点A是最高点，即m＞1或m＜﹣eq \f(1,3)时，
则h＝(m＋1)2﹣2﹣(﹣2)＝(m＋1)2；
当点B是最高点，即﹣eq \f(1,3)＜m＜1时，则h＝4m2﹣2﹣(﹣2)＝4m2，
综上，h与m之间的函数关系式为：h＝(m＋1)2(m＞1或m＜﹣eq \f(1,3))或 h＝4m2(﹣eq \f(1,3)＜m＜1)；
(3)①当m＜﹣1时，则2﹣m＞3，1﹣m＞2，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有3个交点；
②当﹣1≤m≤1时，则1≤2﹣m≤3，0≤1﹣m≤2，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；
③当1＜m＜2时，则0＜2﹣m＜1，﹣1＜1﹣m＜0，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；
④当2＜m＜3时，则﹣1＜2﹣m＜0，﹣2＜1﹣m＜﹣1，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；
⑤当3≤m＜4时，则﹣2＜2﹣m≤﹣1，﹣3＜1﹣m≤﹣2，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有4个交点；
⑥当m＝4时，则2﹣m＝﹣2，1﹣m＝﹣3，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有3个交点(ED经过抛物线的顶点)；
⑦当m＞4时，则2﹣m＜﹣2，1﹣m＜﹣3，如图：
此时矩形ADEF与抛物线有2个交点．
综上，当m≤﹣1或m＝4时，抛物线与矩形有3个交点．
解：(1)将B(8，0)代入y＝ax2＋eq \f(11,4)x﹣6，
∴64a＋22﹣6＝0，
∴a＝﹣eq \f(1,4)，
∴y＝﹣eq \f(1,4)x2＋eq \f(11,4)x﹣6，
当y＝0时，﹣eq \f(1,4)t2＋eq \f(11,4)t﹣6＝0，解得t＝3或t＝8(舍)，
∴t＝3，
∵B(8，0)在直线y＝kx﹣6上，
∴8k﹣6＝0，解得k＝eq \f(3,4)，
∴y＝eq \f(3,4)x﹣6；
(2)作PM⊥x轴交于M，∵P点横坐标为m，∴P(m，﹣eq \f(1,4)m2＋eq \f(11,4)m﹣6)，
∴PM＝eq \f(1,4)m2﹣eq \f(11,4)m＋6，AM＝m﹣3，
在Rt△COA和Rt△AMP中，
∵∠OAC＋∠PAM＝90°，∠APM＋∠PAM＝90°，
∴∠OAC＝∠APM，
∴△COA∽△AMP，
∴＝，即OAMA＝COPM，
3(m﹣3)＝6(eq \f(1,4)m2﹣eq \f(11,4)m＋6)，解得m＝3(舍)或m＝10，
∴P(10，﹣3.5)；
(3)作PN⊥x轴交于BC于N，过点N作NE⊥y轴交于E，
∴PN＝﹣eq \f(1,4)m2＋eq \f(11,4)m﹣6﹣(eq \f(3,4)m﹣6)＝﹣eq \f(1,4)m2＋2m，
由△PQN∽△BOC，
∴＝＝，
∵OB＝8，OC＝6，BC＝10，
∴QN＝eq \f(3,5)PN，PQ＝eq \f(4,5)PN，
由△CNE∽△CBO，∴CN＝eq \f(5,4)EN＝eq \f(5,4)m，
∴CQ＋eq \f(1,2)PQ＝CN＋NQ＋eq \f(1,2)PQ＝CN＋PN，
∴CQ＋eq \f(1,2)PQ＝eq \f(5,4)m﹣eq \f(1,4)m2＋2m＝﹣eq \f(1,4)m2＋eq \f(13,4)m＝﹣eq \f(1,4)(x﹣eq \f(13,2))2＋，
当m＝eq \f(13,2)时，CQ＋eq \f(1,2)PQ的最大值是．
解：(1)抛物线的解析式为y=﹣eq \f(1,2)(x＋4)(x﹣1)，即y=﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2；
(2)存在．当x=0，y=﹣eq \f(1,2)x2﹣eq \f(3,2)x＋2=2，则C(0，2)，∴OC=2，
∵A(﹣4，0)，B(1，0)，
∴OA=4，OB=1，AB=5，
当∠PCB=90°时，∵AC2=42＋22=20，BC2=22＋12=5，AB2=52=25
∴AC2＋BC2=AB2
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∴当点P与点A重合时，△PBC是以BC为直角边的直角三角形，此时P点坐标为(﹣4，0)；
当∠PBC=90°时，PB∥AC，如图1，设直线AC的解析式为y=mx＋n，
把A(﹣4，0)，C(0，2)代入得
，解得，
∴直线AC的解析式为y=eq \f(1,2)x＋2，
∵BP∥AC，∴直线BP的解析式为y=eq \f(1,2)x＋p，
把B(1，0)代入得eq \f(1,2)＋p=0，解得p=﹣eq \f(1,2)，
∴直线BP的解析式为y=eq \f(1,2)x﹣eq \f(1,2)，
解方程组得或，
此时P点坐标为(﹣5，﹣3)；
综上所述，满足条件的P点坐标为(﹣4，0)，P2(﹣5，﹣3)；
(3)存在点E，设点E坐标为(m，0)，F(n，﹣eq \f(1,2)n2﹣eq \f(3,2)n＋2)
①当AC为边，CF1∥AE1，易知CF1=3，此时E1坐标(﹣7，0)，
②当AC为边时，AC∥EF，易知点F纵坐标为﹣2，
∴﹣eq \f(1,2)n2﹣eq \f(3,2)n＋2=﹣2，解得n=，
得到F2(，﹣2)，F3(，﹣2)，
根据中点坐标公式得到： =或=，
解得m=或，此时E2(，0)，E3(，0)，
③当AC为对角线时，AE4=CF1=3，此时E4(﹣1，0)，
综上所述满足条件的点E为(﹣7，0)或(﹣1，0)或(，﹣2)或(，﹣2)．
解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣3，0)，B(9，0)和C(0，4)．
∴设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣9)，
∵C(0，4)在抛物线上，∴4=﹣27a，
∴a=﹣eq \f(4,27)，
∴设抛物线的解析式为y=﹣eq \f(4,27)(x+3)(x﹣9)=﹣eq \f(4,27)x2+eq \f(8,9)x+4，
∵CD垂直于y轴，C(0，4)∴﹣eq \f(4,27)x2+eq \f(8,9)x+4=4，∴x=6，∵D(6，4)，
(2)如图1，
∵点F是抛物线y=﹣eq \f(4,27)x2+eq \f(8,9)x+4的顶点，
∴F(3，eq \f(16,3))，∴FH=，
∵GH∥A1O1，∴，∴，∴GH=1，
∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分是梯形A1O1HG，
∴S重叠部分=S△A1O1F﹣S△FGH=eq \f(1,2)A1O1×O1F﹣eq \f(1,2)GH×FHeq \f(1,2)=×3×4﹣eq \f(1,2)×1×eq \f(4,3)=eq \f(16,3)．
(3)①当0＜t≤3时，如图2，
∵C2O2∥DE，∴，∴，
∴O2G=eq \f(2,3)t，∴S=S△OO2G=eq \f(1,2)OO2×O2G=t×eq \f(2,3)t=eq \f(1,3)t2，
②当3＜t≤6时，如图3，
∵C2H∥OC，∴，∴，∴C2H=eq \f(2,3)(6﹣t)，
∴S=S四边形A2O2HG=S△A2O2C2﹣S△C2GH=eq \f(1,2)OA×OC﹣eq \f(1,2)C2H×(t﹣3)
=eq \f(1,2)×3×4﹣eq \f(1,2)×eq \f(2,3)(6﹣t)(t﹣3)=eq \f(1,3)t2﹣3t+12
∴当0＜t≤3时，S=eq \f(1,3)t2，当3＜t≤6时，S=eq \f(1,3)t2﹣3t+12．
解：(1)A(1，0)关于x=﹣1的对称点是(﹣3，0)，则B的坐标是(﹣3，0)．
根据题意得：
，解得：，
则抛物线的解析式是y=x＋3；
根据题意得：
，解得：．
则抛物线的解析式是y=﹣x2﹣2x＋3；
(2)在y=x＋3中令x=﹣1，则y=﹣1＋3=2，则M的坐标是(﹣1，2)；
(3)设P的坐标是(﹣1，p)．则BP2=(﹣1＋3)2＋p2=4＋p2．
PC=(0＋1)2＋(3﹣p)2=p2﹣6p＋10．BC=32＋32=18．
当BC时斜边时，BP2＋PC2=BC2，则(4＋p2)＋(p2﹣6p＋10)=18，解得：p=﹣1或2，
则P的坐标是(﹣1，﹣1)或(﹣1，2)；
当BP是斜边时，BP2=PC2＋BC2，则4＋p2=(p2﹣6p＋10)＋18，解得：p=4，
则P的坐标是(﹣1，4)；
当PC是斜边时，PC2=BP2＋BC2，则p2﹣6p＋10=4＋p2＋18，解得：p=﹣2，
则P的坐标是(﹣1，﹣2)．
综上所述，P的坐标是(﹣1，﹣1)或(﹣1，2)或(﹣1，4)或(﹣1，﹣2)．
解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c的顶点M的坐标为(﹣1，﹣4)，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3，
令y=0，得：x2+2x﹣3=0，解得：x1=1，x2=﹣3，∴A(﹣3，0)，B(1，0)，
令x=0，得y=﹣3，∴C(0，﹣3)，设直线AC的解析式为：y=kx+b，
将A(﹣3，0)，C(0，﹣3)代入，
得：，解得：，
∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3．
(2)①设点D的坐标为(m，m2+2m﹣3)，
∵∠COD=∠MAN，∴tan∠COD=tan∠MAN，
∴=，解得：m=±eq \r(3)，
∵﹣3＜m＜0，∴m=﹣eq \r(3)，
故点D的坐标为(﹣eq \r(3)，﹣2eq \r(3))；
②设直线AM的解析式为y=mx+n，将点A(﹣3，0)、M(﹣1，﹣4)代入，
得：，解得：，
∴直线AM的解析式为：y=﹣2x﹣6，
∵当x=t时，HE=﹣(﹣t﹣3)=t+3，HF=﹣(﹣2t﹣6)=2t+6，HP=﹣(t2+2t﹣3)，
∴HE=EF=HF﹣HE=t+3，FP=﹣t2﹣4t﹣3，
∵HE+EF﹣FP=2(t+3)+t2+4t+3=(t+3)2＞0，∴HE+EF＞FP，
又HE+FP＞EF，EF+FP＞HE，
∴当﹣3＜t＜﹣1时，线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形；
由题意得： =，即=，整理得：5t2+26t+33=0，
解得：t1=﹣3，t2=﹣2.2，∵﹣3＜t＜﹣1，∴t=﹣2.2．
解：(1)∵过A，B两点的抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于点C，且C(﹣1，0)，A(4，0)．
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2＋3x＋4，
令x＝0，得y＝4，
∴B(0，4)，
∵直线y＝kx＋n(k≠0)与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x＋4；
(2)如图，
∵A(4，0)．B(0，4)，
∴AB＝4eq \r(2)，
①当AB＝MB时，点M与点A(4，0)关于y轴对称，故M(﹣4，0)符合题意；
②当AB＝AM时，
AM＝AB＝4eq \r(2)，
∴M′(4﹣4eq \r(2)，0)、M″(4＋4eq \r(2)，0)．
综上所述，点M的坐标为(﹣4，0)或(4﹣4eq \r(2)，0)或(4＋4eq \r(2)，0)；
(3)存在，理由如下：设P(x，﹣x2＋3x＋4)(0＜x＜4)，
如图，过点P作PD∥y轴交直线AB于点D，则D(x，﹣x＋4)，
∴PD＝yP﹣yD＝(﹣x2＋3x＋4)﹣(﹣x＋4)＝﹣x2＋4x，
∴S△PAB＝eq \f(1,2)PD•OA＝eq \f(1,2)×4×[﹣x2＋4x]＝﹣2(x﹣2)2＋8，
∵﹣2＜0，
∴当x＝2时，△PAB的面积最大，最大面积是8，
∴存在点P，使△PAB的面积最大，最大面积是8．