【三轮冲刺】高考数学（大题专练）05 函数与导数（原卷版）

这是一份【三轮冲刺】高考数学（大题专练）05 函数与导数（原卷版），共17页。试卷主要包含了已知函数.，已知.，已知函数，已知，，设函数.，设函数，其中为自然对数的底数，等内容，欢迎下载使用。
函数与导数问题是高考数学的必考内容。从近几年的高考情况来看，在大题中考查内容主要有主要利用导数研究函数的单调性、极值与最值、不等式及函数零点等内容。此类问题体现了分类讨论、转化与化归的数学思想，难度较大。
题型一：利用导数研究函数的单调性
（2024·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知函数在处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）证明：在上单调递增.
1．（2024·安徽六安·高三统考期末）已知函数.
（1）若函数的图象在处的切线与x轴平行，求函数的图象在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
2．（2024·辽宁·校联考一模）已知.
（1）求在处的切线方程；
（2）求的单调递减区间.
题型二：利用导数研究函数的极值
（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）已知直线与函数的图象相切.
（1）求的值；
（2）求函数的极大值.
1．（2024·广东汕头·统考一模）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.
2．（2022·河南·高三专题练习）已知函数，其中常数.
（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）若，设，求证：函数在上有两个极值点.
题型三：利用导数研究函数的最值
（2024·江苏泰州·高三统考阶段练习）已知函数，．
（1）若函数在点处的切线过原点，求实数a的值；
（2）若，求函数在区间上的最大值．
1．（2024·安徽黄山·统考一模）已知函数在处取值得极大值．
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值．
2．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若的最小值为1，求a．
题型四：利用导数解决恒成立与能成立
（2024·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）设函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
1．（2023·宁夏银川·高三校联考阶段练习）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在，使得，求实数的最大值.
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数，且在上恒成立，求实数的取值范围.
题型五：利用导数求解函数的零点
（2024·江苏南通·高三统考开学考试）已知函数，曲线在处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）求的单调区间，并证明在上没有零点．
1．（2024·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）已知函数，其导函数为．
（1）求单调性；
（2）求零点个数．
2．（2022·全国·模拟预测）已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
题型六：利用导数证明不等式
（2022·全国·高三专题练习）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）求证：.
1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：．
2．（2024·山东济宁·高三校考开学考试）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）已知，当时，证明：．
题型七：利用导数研究双变量问题
（2024·江苏·校联考模拟预测）已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）函数，求的最小值；
（2）若为函数的两个零点，证明：．
1．（2024·广东·高三统考阶段练习）设函数，其中a为实数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当在定义域内有两个不同的极值点时，证明：．
2．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）设，为函数（）的两个零点．
（1）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）证明：．
题型八：利用导数研究极值点偏移问题
（2024·浙江绍兴·高三统考期末）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若方程有两个解，求证：.
1．（2024·海南·高三校联考期末）已知函数的导函数为．
（1）若，求曲线在点处的切线方程．
（2）若存在两个不同的零点，
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：．
2．（2024·江西·高三校联考开学考试）已知函数，且的极值点为.
（1）求；
（2）证明：；
（3）若函数有两个不同的零点，证明：.
题型九：隐零点问题综合应用
（2024·广西南宁·南宁三中校联考一模）已知函数．
（1）若，求的值；
（2）当时，证明：．
1．（2024·山东·高三实验中学校联考开学考试）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围．
2．（2024·广东·高三校联考开学考试）已知函数.
（1）若曲线在点处的切线过点，求的值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
题型十：导数与数列综合问题
（2024·云南昆明·昆明一中校联考一模）已知函数．
（1）若，求实数的值；
（2）证明：当时，；
（3）证明：．
1．（2024·山西·高三统考期末）已知函数.
（1）若当时，，求实数的取值范围；
（2）求证：.
2．（2024·四川德阳·统考模拟预测）（）.
（1）当时，证明：；
（2）证明：.
1．（2024·山东聊城·高三统考期末）已知函数（）.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
2．（2024·江苏·徐州市第一中学校联考模拟预测）已知函数，其中．
（1）若，证明；
（2）讨论的极值点的个数．
3．（2022·河南·高三专题练习）已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若函数在处取到极小值，求实数m的取值范围．
4．（2024·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知，．
（1）若在处的切线也与的图象相切，求的值；
（2）若在恒成立，求的取值集合．
5．（2024·浙江·高三校联考开学考试）设函数.
（1）时，求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：至多只有一个零点.
6．（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）设函数，其中为自然对数的底数，
（1）若为上的单调增函数，求实数的取值范围；
（2）讨论的零点的个数.
7．（2024·甘肃平凉·校考模拟预测）已知函数．
（1）判断的单调性；
（2）设方程的两个根分别为，求证：．
8．（2023·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若有两个极值点，分别为和，求的最小值.
9．（2024·山东烟台·高三统考期末）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：.
10．（2024·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考期末）设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：，．
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程．
（2）若函数在单调递增，求的取值范围．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
（3）若在存在极值，求a的取值范围.
5．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
6．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
7．（2023·北京·统考高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）求的极值点个数．
8．（2023·天津·统考高考真题）已知函数．
（1）求曲线在处的切线斜率；
（2）求证：当时，；
（3）证明：．
9．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围；
（3）设，证明：．
10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若恰有一个零点，求a的取值范围．
1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
2、求函数单调区间的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
3、含参函数单调性讨论依据：
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
1、利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数；
（2）求方程的所有实数根；
（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化．
①如果的符号由正变负，则是极大值；②如果由负变正，则是极小值；③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点．
根据函数的极值(点)求参数的两个要领：
①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为：
（1）求函数在区间上的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；
（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方。
利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
双变量不等式的处理策略：
含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式，
具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元.
1、和型（或）问题的基本步骤：
①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；
②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，
得与零进行大小比较；
③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；
2、积型问题的基本步骤：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与的范围，结合的单调性，可得与的大小关系，由此证得结论.
隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.