【三轮冲刺】高考数学（大题专练）02 数列（解析版）

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数列是高考数学的热门考点之一，其中等差(比)数列的通项公式，前n项和公式，以递堆数列为命题背景考查等差(比)数列的证明方法，以及等差（比）数列有关的错位相减法和裂项相消法求和是考查的重点内容。有时也会结合不等式进行综合考查，此时难度较大。
题型一：等差数列与等比数列证明
（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知数列满足，.
（1）求，；
（2）求，并判断是否为等比数列.
【答案】（1）；（2），是等比数列
【思路分析】
（1）分别令，，计算可得所求值；
（2）利用累加法，结合等差数列、等比数列的求和公式，可求数列的通项公式，可得，得解．
【规范解答】
（1），
（2）因为，所以，
所以，，…，，
将以上各式相加得
.
因为，所以，
又也满足，所以，
所以，
所以是等比数列，且首项、公比均为2.
1．（2022·全国·高三专题练习）记数列的前项积为，且，其中．
（1）若，求的值；
（2）求证：数列是等比数列．
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）在中令，得成等比数列，结合即可得解.
（2）由等比数列定义结合已知即可得证.
【解析】（1）令，则，即，
成等比数列，则公比为．
，
即．
（2），
两式相除得，即①，由①得②，
②÷①得，即，
即，由（1）知，
数列是等比数列．
2．（2022·河南·高三校联考专题练习）已知数列的前项和为，且，
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）借助与的关系消去后化简可得，即可得证；
（2）计算出后再次借助与的关系计算即可得数列的通项公式.
【解析】（1）由已知，令，解得，
又，
则，则，则，
则，则，即，
又，故是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）可知，，
故，则，
由（1）可知，，
当时，，
综上，可得．
题型二：分组转化法求数列的前n项和
（2024·贵州贵阳·贵阳一中校考一模）已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）在数列中，，求数列的前项和．
【思路分析】
（1）根据求解即可；
（2）利用分组求和法求解即可.
【规范解答】
（1）由，
当时，，所以，
当时，，即，
所以数列是从第二项开始以为公比的等比数列，所以；
（2）当时，，此时
当时，，
则，
此时，
当时，，上式成立，
所以.
1．（2024·黑龙江·高三大庆实验中学校联考阶段练习）已知数列的前项和为，满足，．
（1）若数列满足，求的通项公式；
（2）求数列的通项公式，并求．
【答案】（1）；（2），
【分析】（1）根据数列的递推公式推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，分为奇数、偶数两种情况讨论，设、，可得出数列的通项公式，分别求出、，相加可得.
【解析】（1）因为数列满足，，
则，
因为，且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，，则.
（2）由（1）可得，
所以，，
当为奇数时，设，则，
则；
当为偶数时，设，则，则.
综上所述，.
因为，
，
所以，.
2．（2024·湖南·长沙一中校联考模拟预测）已知等差数列的前项和为，且.等比数列是正项递增数列，且.
（1）求数列的通项和数列的通项；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）（或）
【分析】（1）根据题意分别求出数列的首项和公差，以及数列的首项和公比，进而可得出答案；
（2）利用并项求和法求解即可.
【解析】（1）由题意，设等差数列的首项为，公差为，又，
所以解得，
故，
因为数列为各项为正的递增数列，设公比为，且，
因为，所以，得，
又，所以，即，
又，解得，从而，所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以数列的前项和为
（或）.
题型三：裂项相消法求数列的前n项和
（2024·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）已知数列的前项和为，且．
（1）求 的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【思路分析】
（1）由之间的关系即，时，即可求解.
（2）由裂项相消法即可求解.
【规范解答】
（1）由题意，
当时，，且满足上式，
所以.
（2）由题意，
所以.
1．（2024·四川·高三校联考期末）在等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用等差数列的定义及性质计算基本量即可求通项公式；
（2）利用裂项相消法求和即可.
【解析】（1）设的公差为，则，解得，
所以；
（2）由（1）知，
所以
．
2．（2024·安徽池州·高三统考期末）已知正项数列的前n项和为．
（1）求数列的前n项和;
（2）令，求的前9项之和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由，得到，两式相减，整理得到，得到数列是等差数列，结合等差数列的通项公式和求和公式，即可求解；（2）由（1）得到，结合裂项法去和，即可求解.
【解析】（1）正项数列的前n项和为，满足，可得，
两式相减可得，
所以，
因为，所以，
又因为，解得，
所以数列是以首项为1，公差为2的等差数列，
则数列的通项公式为，可得.
（2）由（1）知，
可得，
所以．
题型四：错位相减法求数列的前n项和
（2024·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【思路分析】
（1）根据题意，当时，用替换，然后代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由错位相减法代入计算，即可得到结果.
【规范解答】
（1）当时，．
当时，由，得，
则，则，
因为也符合上式，所以．
（2）由（1）可知，，
则，
则，
两式相减得，则．
1．（2024·浙江金华·高三统考期末）已知数列是等差数列，，，且，，构成等比数列，
（1）求；
（2）设，若存在数列满足，，，且数列为等比数列，求的前项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由等差数列的性质和等比中项列方程解出公差，再由基本量法写出等差数列的通项公式.
（2）由已知和等比数列的性质求出，再由错位相减法和等差数列的前和公式共同求出结果.
【解析】（1）∵是等差数列，，，∴，．
∵，，构成等比数列，∴，
化简可得，∴，所以．
（2）∵，，，
又数列为等比数列，∴，
而，∴，∴，
所以，设数列的前项和为，
则①，
②，
①②相减得，
化简可得
又因为等差数列的前项和为，
综上可得．
2．（2024·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）利用与的关系式，即可得出结论；
（2）错位相减法求解数列的前项和.
【解析】（1）因为，所以，
当时，，
所以，即，
又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）知，，所以，
因为①，
所以②，
由①-②得：，
所以．
题型五：数列与不等式综合问题
（2024·广东广州·统考二模）已知数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记为的前项和，证明：时，.
【思路分析】
（1）利用递推关系，把换成，得到两式相减，得到，再累乘后可得到通项；
（2）用错位相减法求出，再将证明不等式作差，之后利用导数的单调性证明即可.
【规范解答】
（1）因为，
所以，
作差可得，变形为，
即，即，化简为，
因为，所以，
因为，所以数列的通项公式为.
（2）因为，
所以，，
作差可得，
所以，
，
设，则在给定区间上递减，
又，故在是减函数，
，
所以当时，.
1．（2022·全国·高三专题练习）已知单调递增的等比数列满足，且是和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若,设数列的前n项和为，且对任意，都有恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设等比数列的公比为q，由求解；
（2）由（1）得到，利用错位相减法求得，将对任意，都有恒成立，转化为对任意恒成立求解.
【解析】（1）设等比数列的公比为q，
因为是和的等差中项，所以，又，
代入得，即，
所以，即，解得或，
又因为数列是递增的等比数列，所以．
（2）由（1）知,
①，
②，
得,
．由得,
对任意恒成立．
当n为偶数时，，则,
当n为奇数时，,即,则，
∴实数m的取值范围是．
2．（2024·云南保山·高三统考期末）已知为等比数列，且为数列的前项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）令，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）由的定义，可得等比数列的公比和首项；
（2）利用放缩法及等比数列求和公式可证.
【解析】（1）由，所以，故数列的公比为3，
所以，故而，所以.
（2）证明：由（1）知，，
当时，成立；
当时，且，
所以
，
综上，.
题型六：数列中的探究问题
（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）已知等比数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【思路分析】
（1）利用等比数列定义，根据将，代入构造方程组解得，，可得数列的通项公式；
（2）假设存在，，成等比数列，由，，成等差数列可得，且，解得，与已知矛盾，因此不存在这样的3项.
【规范解答】
（1）由题意知当时，①
当时，②
联立①②，解得，；
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
所以，可得；
设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则，
所以，即；
又因为，，成等差数列，所以，
所以，化简得，即；
又，所以与已知矛盾；
所以在数列中不存在3项，，成等比数列．
1．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考开学考试）已知数列与数列满足下列条件：①，；②，；③，，记数列的前项积为.
（1）若，，，，求；
（2）是否存在，，，，使得，，，成等比数列？若存在，请写出一组，，，；若不存在，请说明理由；
（3）若，求的最大值.
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）.
【分析】（1）利用已知数据直接计算即得；（2）假定存在，分两种情况讨论即得.
（3）设，分析出，再求出的最大值即可.
【解析】（1）由，得，由，得，
由，得，所以.
（2）不存在.
假设存在，设公比为，
若，则，公比，矛盾，
若，则，公比，矛盾，
因此假设不成立，所以不存在.
（3）依题意，，且，，
设，则，得，
于是，显然的值从大到小依次为，
若，则且，当数列为或，可以取得，
显然当时，最大，此时，则，
，
从而
，又，
所以.
2．（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知正项数列满足：.
（1）设，试证明为等比数列；
（2）设，试证明；
（3）设，是否存在使得为整数？如果存在，则求出应满足的条件；若不存在，请给出理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，
【分析】（1）根据递推公式可得，即，从而可求解；（2）由（2）可得利用放缩可得，从而可求解.
（3）由（1）可得，然后分情况讨论，，时是否能使为整数，从而求解.
【解析】（1）由题可知，，
则，即，
则数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2），
，（当且仅当时取等），
当时，；
当时，.
（3），
当时，不是整数；
当时，不是整数
当时，必定为整数，
故只需要考虑是否为整数即可.
又因为
故只需要为整数即可，则.
综上所述，.
1．（2024·安徽六安·高三统考期末）已知数列的前项和为，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）当时，设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据作差得到，即可得证；
（2）由（1）可得，则，再利用裂项相消法计算可得.
【解析】（1）因为，
当时，，解得，
由得，
两式作差得，
即，则，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）当时，由（1）得，
又，
所以，
所以
.
2．（2024·河南焦作·高三统考期末）已知数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据条件可得数列是以1为首项，为公差的等差数列，即可求出结果；
（2）由（1）可得，再利用裂项相消法即可求出结果.
【解析】（1）由，可得，又，
故数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，得到．
（2）由（1）可知，
故．
3．（2024·山西临汾·统考一模）已知数列的首项，且满足，等比数列的首项，且满足.
（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和
【答案】（1）证明见解析，；（2）
【分析】（1）利用定义法判断等比数列并求解通项公式即可；（2）利用错位相减法求和即可.
【解析】（1）因为，
又因为，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以
（2）因为，所以，故，
所以，
令，则，
所以，
，
所以
，所以
4．（2024·河北·高三高碑店一中校联考期末）在数列中，，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）当时，，当时，得到，从而得到从第2项起成等比数列，即可得到答案；（2）根据（1）得到，当为大于1的奇数时，，当为偶数时，.再利用分组求和、错位相减求和即可得到答案.
【解析】（1）当时，，则.
当时，由，
得，
则，则.
因为，所以从第2项起成等比数列，.
（2），当为大于1的奇数时，，
当为偶数时，.
.
，
则，
则，
，
则，
则.
5．（2024·浙江·校联考一模）已知数列满足，记数列的前项和为．
（1）求；
（2）已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由递推关系首先得结合等差数列求和公式即可求解；（2）由题意首项得，进一步有通过等比数列求和将原问题转换为求不等式的正整数解集.
【解析】（1）①
②
②-①得，，得．
当时，①式为，得，也满足上式．
，数列是等差数列，所以．
（2），则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，，
又，得，
得．
令，即，即．
当时，经验证，（*）式满足要求．
令，则，
所以当时，，即当时，式不成立．
使得成立的的取值范围是．
6．（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为．问：是否存在，使得，成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析
【分析】（1）由题意求出等差数列的首项和公差，即可求得答案；（2）由（1）可得的表达式，利用错位相减法求出的表达式，由此可得到的表达式，结合二项式定理说明，即可得结论.
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
由，取，得，即，
由，得，即，解得，
则．
（2）由（1）得，故，
即，
则，
两式相减，得到
即．
则，
因为，
，
即，
所以，故不存在正整数，使得成等比数列.
1．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
2．（2023·全国·统考高考真题）设为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据即可求出；（2）根据错位相减法即可解出．
【解析】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，即，．
3．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．
【解析】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，即，
所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
4．（2023·天津·统考高考真题）已知是等差数列，．
（1）求的通项公式和．
（2）设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
【答案】（1），；（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为.
【分析】（1）由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得.
（2）(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当时，，
取，当时，，取，即可证得题中的不等式；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和.
【解析】（1）由题意可得，解得，
则数列的通项公式为，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由题意可知，当时，，
取，则，即，
当时，，
取，此时，
据此可得，综上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
则数列的公比满足，
当时，，所以，
所以，即，
当时，，所以，
所以数列的通项公式为，其前项和为：.
5．（2023·全国·统考高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
（1）若，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；
（2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解.
【解析】（1），，解得，
，
又，，
即，解得或（舍去），.
（2）为等差数列，，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，.
6．（2023·全国·统考高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答.
【解析】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，
因此，所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，
，
当时，，因此，
当为奇数时，若，
则
显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
7．（2022·全国·统考高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
（1）证明：；
（2）求集合中元素个数．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
【解析】（1）设数列的公差为，所以，，
即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，
即，亦即，解得，
所以满足等式的解，
故集合中的元素个数为．
8．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
（1）若，求；
（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；
（2）由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.
【解析】（1）因为，
所以，所以，
又，所以，所以，
所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又，所以
9．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
【解析】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴，整理得：，即,
∴，
显然对于也成立，∴的通项公式；
（2）
∴
10．（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
（1）求与的通项公式；
（2）设的前n项和为，求证：；
（3）求．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.
【解析】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以，
设
所以，
则，
作差得，
所以，所以.
判断数列是否为等差货等比数列的策略
1、将所给的关系进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的概念进行判断；
2、若要判断一个不是等差（等比）数列，则只需说明某连续三项（如前三项）不是等差（等比）数列即可。
1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
2、常见类型：
（1）分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列：
（2）奇偶并项求和：通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列。
1、用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．
2、裂项相消法中常见的裂项技巧
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
1、解题步骤
2、注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
①
②
得：．
整理得：.
数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：
一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解；
二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：
①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．