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热点7-2 椭圆及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）
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这是一份热点7-2 椭圆及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用），文件包含热点7-2椭圆及其应用8题型+满分技巧+限时检测原卷版docx、热点7-2椭圆及其应用8题型+满分技巧+限时检测解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
热点7-2 椭圆及其应用
椭圆是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点。考试中主要考查椭圆的概念性质等基础知识，选择、填空、解答题都会出现。与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，在突破重难点上要注意。基础、拔高、分层训练，更为重要的是掌握圆锥曲线的解题的思想方法，才能做到灵活应对。
【题型1 椭圆的定义及概念辨析】
【例1】（2021·高二课时练习）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
【变式1-1】（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【变式1-2】（2023·陕西西安·校考三模）已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·江西南昌·高三南昌市第三中学校考阶段练习）一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）点M在椭圆上，是椭圆的左焦点，O为坐标原点，N是中点，且ON长度是4，则的长度是__________．
【题型2 利用定义求距离和差最值】
【例2】（2023·江西抚州·高三乐安县第二中学校考期中）已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·江苏南通·统考三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【变式2-2】（2023·全国·高二课时练习）已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2-3】（2022·全国·高三校联考阶段练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆C上，且，则的最大值为 .
【题型3 椭圆标准方程的求解】
【例3】（2022·湖北十堰·高三统考期末）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-1】（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2022·广西桂林·高三校考阶段练习）已知椭圆：右焦点为，其上下顶点分别为，，点，，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 椭圆的焦点三角形问题】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为
【变式4-1】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则 .
【变式4-2】（2023·浙江宁波·统考一模）设为坐标原点，为椭圆的焦点，点在上，，则（ ）
A． B．0 C． D．
【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，短半轴长为，离心率为，直线交该椭圆于两点，且的周长是的周长的3倍，则的周长为（ ）
A．6 B．5 C．7 D．9
【变式4-4】（2023·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若的离心率，则使为直角三角形的点有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
【题型5 求椭圆的离心率与范围】
【例5】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知椭圆C：的左右焦点为，过的直线与交于两点，若满足成等差数列，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）己知为椭圆上一点，分别为其左右焦点，为其右顶点，为坐标原点，点到直线的距离为，点到轴的距离为，若，且成等比数列，则椭圆的离心率为 ．
【变式5-2】（2023·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为 .
【变式5-3】（2023·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于，两点，若为钝角三角形，则离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2023·重庆·统考三模）已知，分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为 ．
【题型6 椭圆的中点弦问题】
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C：的右焦点为F，斜率为2的直线与椭圆C交于点A，B，且，点D为线段AB的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的右焦点为外的一点满足（为坐标原点），过点的直线与交于两点，且，若直线的斜率之积为，则 ．
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：，若椭圆C上有不同的两点关于直线对称，则实数m的取值范围是 .
【变式6-3】（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C：，圆O：，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为 ．
【题型7 直线与椭圆相交弦长求解】
【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线l与椭圆有两个不同的交点，则的最大值为 .
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线l与椭圆.交于A，B两点，若的面积为（O为坐标原点），求直线l的方程.
【变式7-2】（2023·江苏徐州·高三统考期中）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线与交于两点，当时，求直线的方程.
【变式7-3】（2023·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于A，两点，求的面积．
【变式7-4】（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）设椭圆的左右顶点分别为，左右焦点．已知，．
（1）求椭圆方程．
（2）若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点．若，求直线的方程．
【题型8 直线与椭圆综合问题】
【例8】（2023·全国·模拟预测）已知圆，圆，动圆与圆和圆均相切，且一个内切、一个外切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程．
（2）已知点，过点的直线与轨迹交于两点，记直线与直线的交点为．试问：点是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．
【变式8-1】（2023·贵州·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上三个不同的动点（点不在轴上），满足，且与的周长的比值为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）判断是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【变式8-2】（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知平面上动点到点与到圆的圆心的距离之和等于该圆的半径.记的轨迹为曲线.
（1）说明是什么曲线，并求的方程；
（2）设是上关于轴对称的不同两点，点在上，且异于两点，为原点，直线交轴于点，直线交轴于点，试问是否为定值?若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.
【变式8-3】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）如图，椭圆，圆，椭圆C的左、右焦点分别为．
（1）过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若，求的值；
（2）过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直．
【变式8-4】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于左、右顶点的动点，的最小值为2，且的离心率为．
（1）求椭圆的方程．
（2）若圆与的三边都相切，判断是否存在定点，，使为定值．若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·山东泰安·高三统考阶段练习）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·上海虹口·高三上外附中校考期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）设椭圆，的离心率分别为，，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．（2023·吉林长春·统考一模）椭圆上有两点、，、分别为椭圆的左、右焦点，是以为中心的正三角形，则椭圆离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知椭圆的两条弦，相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则（ ）
A．2 B． C． D．
6．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）从椭圆上一点（在轴上方）向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且，其中为坐标原点，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·上海闵行·高三文来中学校考期中）设，同时为椭圆：与双曲线：的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川成都·高三石室中学校考期中）已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆在第一象限的任意一点，为的内心，点是坐标原点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山西大同·高二统考期中）（多选）已知曲线，则（ ）
A．当时，是圆
B．当时，是椭圆且一焦点为
C．当时，是椭圆且焦距为
D．当时，是焦点在轴上的椭圆
10．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点在椭圆上，则（ ）
A．的最大值为3
B．的周长为4
C．若，则的面积为
D．若，则
11．（2023·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围
12．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知椭圆的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点，则的最小值为 ．
13．（2023·河南郑州·高三郑州市宇华实验学校校考期中）已知椭圆的上、下焦点分别为，，O为坐标原点．
（1）若点P在椭圆C上，且，求的余弦值；
（2）若直线与椭圆C交于A，B两点，记M为线段的中点，求直线的斜率．
14．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，斜率不为0的直线过点，与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，，椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2023·江苏南通·模拟预测）已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.满分技巧
在椭圆的定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．
否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在．
满分技巧
利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法：
（1）抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；
（2）利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
满分技巧
1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
（1）定位：确定焦点在那个坐标轴上；
（2）定量：依据条件及确定的值；
（3）写出标准方程；
2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为；
3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数。
满分技巧
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立AF1+AF2，AF12+AF22，AF1AF2之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（）
性质1：AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a.（两个定义）
拓展：∆AF1F2的周长为AF1+AF1+F1F2=2a+2c
∆ABF1的周长为AF1+AF2+BF1+BF2=4a
性质2：4c2=F1F22=AF12+AF22−2AF1AF2csθ（余弦定理）
满分技巧
1、求椭圆离心率的3种方法
（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
2、求椭圆离心率范围的2种方法
（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；
（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系。
满分技巧
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。
证明：设、，则有，
上式减下式得，∴，
∴，∴。
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，
则有。
满分技巧
求弦长的两种方法：
（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
热点7-2 椭圆及其应用
椭圆是圆锥曲线中的重要内容，是高考命题的重点。考试中主要考查椭圆的概念性质等基础知识，选择、填空、解答题都会出现。与向量等知识结合综合考查也是高考命题的一个趋势，在突破重难点上要注意。基础、拔高、分层训练，更为重要的是掌握圆锥曲线的解题的思想方法，才能做到灵活应对。
【题型1 椭圆的定义及概念辨析】
【例1】（2021·高二课时练习）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
【变式1-1】（2023·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【变式1-2】（2023·陕西西安·校考三模）已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·江西南昌·高三南昌市第三中学校考阶段练习）一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-4】（2023·全国·高三专题练习）点M在椭圆上，是椭圆的左焦点，O为坐标原点，N是中点，且ON长度是4，则的长度是__________．
【题型2 利用定义求距离和差最值】
【例2】（2023·江西抚州·高三乐安县第二中学校考期中）已知是椭圆的左焦点，是椭圆上一动点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·江苏南通·统考三模）已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C． D．
【变式2-2】（2023·全国·高二课时练习）已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式2-3】（2022·全国·高三校联考阶段练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆C上，且，则的最大值为 .
【题型3 椭圆标准方程的求解】
【例3】（2022·湖北十堰·高三统考期末）已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3-1】（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2023·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2022·广西桂林·高三校考阶段练习）已知椭圆：右焦点为，其上下顶点分别为，，点，，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【题型4 椭圆的焦点三角形问题】
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为
【变式4-1】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）设为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若，则 .
【变式4-2】（2023·浙江宁波·统考一模）设为坐标原点，为椭圆的焦点，点在上，，则（ ）
A． B．0 C． D．
【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，短半轴长为，离心率为，直线交该椭圆于两点，且的周长是的周长的3倍，则的周长为（ ）
A．6 B．5 C．7 D．9
【变式4-4】（2023·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若的离心率，则使为直角三角形的点有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
【题型5 求椭圆的离心率与范围】
【例5】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知椭圆C：的左右焦点为，过的直线与交于两点，若满足成等差数列，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）己知为椭圆上一点，分别为其左右焦点，为其右顶点，为坐标原点，点到直线的距离为，点到轴的距离为，若，且成等比数列，则椭圆的离心率为 ．
【变式5-2】（2023·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为 .
【变式5-3】（2023·江苏淮安·高三淮阴中学校联考阶段练习）设，分别是椭圆的左、右焦点，过作轴的垂线与椭圆交于，两点，若为钝角三角形，则离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2023·重庆·统考三模）已知，分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为 ．
【题型6 椭圆的中点弦问题】
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C：的右焦点为F，斜率为2的直线与椭圆C交于点A，B，且，点D为线段AB的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的右焦点为外的一点满足（为坐标原点），过点的直线与交于两点，且，若直线的斜率之积为，则 ．
【变式6-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：，若椭圆C上有不同的两点关于直线对称，则实数m的取值范围是 .
【变式6-3】（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C：，圆O：，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若，则直线l的方程为 ．
【题型7 直线与椭圆相交弦长求解】
【例7】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线l与椭圆有两个不同的交点，则的最大值为 .
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线l与椭圆.交于A，B两点，若的面积为（O为坐标原点），求直线l的方程.
【变式7-2】（2023·江苏徐州·高三统考期中）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求的标准方程；
（2）过点的直线与交于两点，当时，求直线的方程.
【变式7-3】（2023·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于A，两点，求的面积．
【变式7-4】（2023·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）设椭圆的左右顶点分别为，左右焦点．已知，．
（1）求椭圆方程．
（2）若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点．若，求直线的方程．
【题型8 直线与椭圆综合问题】
【例8】（2023·全国·模拟预测）已知圆，圆，动圆与圆和圆均相切，且一个内切、一个外切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程．
（2）已知点，过点的直线与轨迹交于两点，记直线与直线的交点为．试问：点是否在一条定直线上？若在，求出该定直线；若不在，请说明理由．
【变式8-1】（2023·贵州·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上三个不同的动点（点不在轴上），满足，且与的周长的比值为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）判断是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
【变式8-2】（2023·广西南宁·统考模拟预测）已知平面上动点到点与到圆的圆心的距离之和等于该圆的半径.记的轨迹为曲线.
（1）说明是什么曲线，并求的方程；
（2）设是上关于轴对称的不同两点，点在上，且异于两点，为原点，直线交轴于点，直线交轴于点，试问是否为定值?若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.
【变式8-3】（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）如图，椭圆，圆，椭圆C的左、右焦点分别为．
（1）过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若，求的值；
（2）过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直．
【变式8-4】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于左、右顶点的动点，的最小值为2，且的离心率为．
（1）求椭圆的方程．
（2）若圆与的三边都相切，判断是否存在定点，，使为定值．若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·山东泰安·高三统考阶段练习）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·上海虹口·高三上外附中校考期中）若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）设椭圆，的离心率分别为，，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．（2023·吉林长春·统考一模）椭圆上有两点、，、分别为椭圆的左、右焦点，是以为中心的正三角形，则椭圆离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知椭圆的两条弦，相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则（ ）
A．2 B． C． D．
6．（2023·广东广州·高三统考阶段练习）从椭圆上一点（在轴上方）向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且，其中为坐标原点，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·上海闵行·高三文来中学校考期中）设，同时为椭圆：与双曲线：的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，，为坐标原点，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川成都·高三石室中学校考期中）已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆在第一象限的任意一点，为的内心，点是坐标原点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山西大同·高二统考期中）（多选）已知曲线，则（ ）
A．当时，是圆
B．当时，是椭圆且一焦点为
C．当时，是椭圆且焦距为
D．当时，是焦点在轴上的椭圆
10．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点在椭圆上，则（ ）
A．的最大值为3
B．的周长为4
C．若，则的面积为
D．若，则
11．（2023·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围
12．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知椭圆的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点，则的最小值为 ．
13．（2023·河南郑州·高三郑州市宇华实验学校校考期中）已知椭圆的上、下焦点分别为，，O为坐标原点．
（1）若点P在椭圆C上，且，求的余弦值；
（2）若直线与椭圆C交于A，B两点，记M为线段的中点，求直线的斜率．
14．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，斜率不为0的直线过点，与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，，椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2023·江苏南通·模拟预测）已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.满分技巧
在椭圆的定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．
否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在．
满分技巧
利用椭圆定义求距离和差的最值的两种方法：
（1）抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；
（2）利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
满分技巧
1、利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
（1）定位：确定焦点在那个坐标轴上；
（2）定量：依据条件及确定的值；
（3）写出标准方程；
2、求椭圆方程时，若没有指明焦点位置，一般可设所求方程为；
3、当椭圆过两定点时，常设椭圆方程为，将点的坐标代入，解方程组求得系数。
满分技巧
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立AF1+AF2，AF12+AF22，AF1AF2之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（）
性质1：AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a.（两个定义）
拓展：∆AF1F2的周长为AF1+AF1+F1F2=2a+2c
∆ABF1的周长为AF1+AF2+BF1+BF2=4a
性质2：4c2=F1F22=AF12+AF22−2AF1AF2csθ（余弦定理）
满分技巧
1、求椭圆离心率的3种方法
（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
2、求椭圆离心率范围的2种方法
（1）几何法：利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系，适用于题设条件有明显的几何关系；
（2）直接法：根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式，适用于题设条件直接有不等关系。
满分技巧
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。
证明：设、，则有，
上式减下式得，∴，
∴，∴。
特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，
则有。
满分技巧
求弦长的两种方法：
（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
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