专题07 三角形相似综合训练（教师版）- 2024年中考数学拉分压轴专题重难点突破

这是一份专题07 三角形相似综合训练（教师版）- 2024年中考数学拉分压轴专题重难点突破，共35页。

1．如图，在矩形中，将绕点逆时针旋转得到三点恰好在同一直线上，与相交于点，连接．以下结论正确的是（ ）
①；；③点是线段的黄金分割点；④
A．①②③B．①③C．①②③D．①③④
【答案】D
【详解】证明：
，
∴，
又∵四边形是矩形，
∴，
∴，
即，
∴，
即，故①正确；
∵，
∴，
即是直角三角形，而不是直角三角形，
∴②错误；
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点是线段的黄金分割点，∴③正确；
在线段上作，如图所示，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，∴④正确，
故选：D．
【我思故我在】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及黄金分割点的性质，全等三角形的判定和性质等综合知识，关键是对知识的掌握和运用．
2．如图，在中，D、E分别在AB边和AC边上，，M为BC边上一点（不与B、C重合），连结AM交DE于点N，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再根据相似三角形的性质即可得到答案.
【详解】∵，∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，∴，故选C.
【我思故我在】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似三角形的判定和性质.
3．如图，在中，，，为边上的一点，且．若的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定定理得到，再由相似三角形的性质得到答案.
【详解】∵，，
∴，
∴，即，
解得，的面积为，
∴的面积为：，
故选C．
【我思故我在】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质.
4．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边BC、CD中点，线段AE，AF与对角线BD分别交于点G，H．设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：①AG：GE=2：1 ②BG：GH：HD=1：1：1；③；④ 正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定与性质和线段中点的定义得： 可判断①正确； 同理根据相似三角形的判定与性质可得：，可判断②正确； ③④设，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，等底同高三角形面积的关系依次用x表示各三角形的面积，可作判断．
【详解】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，，
∵E是BC的中点，
∴，
∵，
∴
∴ 故①符合题意；
②∵，
∴，
同理得：，
∴BG=GH=HD，
∴BG：GH：HD=1：1：1； 故②符合题意；
③∵，
∴，
∴，
∵BG=GH=HD，
∴， 设，则，
∴， 同理可得：，
∴； 故③错误，不符合题意；
④由③知：
∴， 故④符合题意；
所以本题的3个结论符合题意；
故选：C．
【我思故我在】本题考查了矩形的性质，三角形相似的性质和判定，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，等底同高三角形面积相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
5．如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于、，连接、，与相交于点．给出以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的是（ ）
A．①②③④B．②③④C．①②④D．①③④
【答案】B
【分析】根据等边三角形和正方形的性质得，则，可判定①错误；通过导角能得出，得，从而证明，可判断②正确；利用，得，可说明③正确；过点作于，于，将转化为，从而判断④成立．
【详解】解：是等边三角形，
，，
在正方形中，
，，
，
，
故①错误；
，，
，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
，，
，
，
，
故③正确；
如图，过点作于，于，
正方形的边长为2，为正三角形，
，，
，
，，
，
，
故④正确，
故选：B．
【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键．
6．如图， 在平行四边形中， 点分别是上的点， 且， 点是， 的交点， 直线分别与的延长线交于点． 若平行四边形的面积为144 ， 则的面积为（ ）
A．72B．216C．268D．300
【答案】D
【分析】由题意易得，则易证，然后设平行四边形的高为h，则可得的高为，进而问题可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∴．
设O到的距离为，设O到的距离为，平行四边形ABCD的高为h，则有，
∵，
∴，
∴，
∴△POQ的高为，
∵，
∴；
故选：D．
【我思故我在】本题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的性质及平行四边形的性质是解题的关键．
7．如图，在正方形中，点是上一点，且，连接交对角线于点，过点作交的延长线于点，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作，交延长线于，再根据正方形的性质，推出，根据同角的余角相等，推出，证明，推出，是正方形对角线，推出，求出，进而求出的长度．
【详解】解：过点作，交延长线于，
，
在正方形中，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
是正方形对角线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在正方形中，，
，
，
；
故选：D．
【我思故我在】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定与性质、正方形的性质的综合应用，其中辅助线的做法、相似的证明、勾股定理的应用是解题关键．
8．已知，如图，平行四边形中，，且，那么_____．
【答案】20
【分析】先根据平行四边形的性质得到，，证明，得到，由，得到，则，据此求出，，进而求出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：20．
【我思故我在】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键．
9．P是边上的任一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截，如果截得的三角形与相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．中，，，当点P是边上一个三等分点时（），过点P的的“相似线”最多有___________条．
【答案】4
【分析】根据相似线的定义，可知截得的三角形与有一个公共角，分①公共角为时；②公共角为时；③公共角为时；三种情况进行讨论，即可得出答案．
【详解】解：①当公共角为时，不存在；
②公共角为时，过点作，交于点D，如图所示：
∵，，
∴；
过点P作于点D，如图所示：
∵，，
∴；
③公共角为时，
连接，如图所示：
∵，
∴，
设，则，
，
∵点P是边上一个三等分点，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴；
过点P作，交于点D，如图所示：
∵，
∴，，
∴；
综上分析可知，过点P的的“相似线”最多有4条．
故答案为：4.
【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法．
10．如图，在中，，，动点P在射线上，交于点D，的平分线交于点Q，当时，的值为______．
【答案】18
【分析】如图，延长交的延长线于G．首先证明，，由，推出＝＝3，即可求出解决问题．
【详解】解：如图，延长交的延长线于G．
∵
∴
∴
∵∠GBC＝∠GBP
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴＝＝3
∵
∴
∴
故答案为：18．
【我思故我在】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
11．如图，在矩形中，点E，F分别是上的点，，则的长度是___________．
【答案】##
【分析】作于点N，延长交的延长线于点M，先证是等腰直角三角形，设，利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性质求出，，的长度，再利用证明，推出，，最后再证，利用对应边成比例求出，即可得到的长度．
【详解】解：如图，作于点N，延长交的延长线于点M，
则，
，
，
是等腰直角三角形．
由题意得：，，，
设，则，
，，
，
，
．
，，
，
又，，
，
，．
，，
，
，即，
解得：，
，
故答案为：．
【我思故我在】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用相关性质，作辅助线构造直角三角形和全等三角形．
12．如图，在中，，在上取一点D，使，如果在上取点E，使和相似，则=___________．
【答案】或
【分析】本题应分两种情况进行讨论，①；②；可根据各相似三角形得出的关于四条线段的比例关系式求出的长．
【详解】解：本题分两种情况：
①如图：
此时，
∴，
∵，
∴；
②如图：
此时，
∴，
∵，
∴，
故答案为：或．
【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的性质．由于题中没有明确相似三角形的对应角和对应边，因此本题要分情况进行讨论，以免漏解．
13．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方，某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片、，此时各叶片影子在点M右侧成线段．测得，，垂直于地面的木棒与影子的比为．则点O、M之间的距离等于___________m；
【答案】10
【分析】连接交于点H，过点C作，通过证明，通过相似三角形对应边成比例即可解答．
【详解】解：连接交于点H，过点C作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：．
设，，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：，
∴，
故答案为：10．
【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是画出辅助线，构建相似三角形．
14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果，求的值．
【答案】
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，即可证得△ADF∽△EBF，△GEC∽△GAD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，△GEC∽△GAD，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【我思故我在】此题考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．解题关键在于注意掌握数形结合思想的应用．
15．矩形中，为对角线，，E为中点，动点P从点A出发沿方向，向点B运动，动点Q同时以相同速度，从点B出发沿方向向点C运动，P、Q的速度都是1cm/秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为x秒．
(1)时，求运动时间t；
(2)时，求运动时间t；
(3)当t为何值时，以点P，B，Q为顶点的三角形与相似？
(4)连接的面积能否达到矩形面积的三分之一，若能求出t的值；若不能，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)
【分析】（1）先求出，，再证明，，即，由此即可得到答案；
（2）证明，得到，即，据此求解即可；
（3）分当时， 当时，两种情况利用相似三角形的性质讨论求解即可；
（4）先求出，再由，得到，解方程即可．
【详解】（1）解：由题意得，，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得；
（3）解：当时，则，如图3-1所示，
∵E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
当时，则，
∴，
∴，
解得（不合题意的值已舍去）；
综上所述，当或时，以点P，B，Q为顶点的三角形与相似
（4）解：由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得（不合题意的值已舍去）．
【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，一元二次方程与图形面积，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
16．解答题
(1)如图1，和都是等边三角形，连接、，求证，；
[类比探究]
(2)如图2，和都是等腰直角三角形，，连接．求的值．
[拓展提升]
(3)如图3，和都是直角三角形，，．连接，延长交于点F，连接．若恰好等于，请直接写出此时之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明，从而得出结论；
（2）证明，从而得出结果；
（3）过点B作，垂足为点H，令和相交于点O．通过证明以及，根据对应边成比例，即可将三条线段表示出来，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，即：，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，则，
∵，即：，
在和中，
，，
∴，
∴，
令，根据勾股定理可得：，
∴．
（3）
过点B作，垂足为点H，令和相交于点O．
∵，，
∴，，
∴，则，
∴，即：，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，，
∴，
设，，则，
∵，，
∴，
∴，即，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【我思故我在】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．
17．在△ABC中，，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．
（1）如图1，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，过点A作，交BE的延长线于点F，易得的值为 ；
（2）如图2，在△ABC中，，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，，求的值；
（3）在（2）的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ．
【答案】（1）；（2）；（3）6
【分析】（1）易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根据相似三角形的性质就可求出的值；（2）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易证△AEF≌△CEB，则有EF=BE，AF=BC=2k．易证△AFP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质就可求出的值；
（3）当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据的值求出的值，就可求出BP的值．
【详解】解：（1）如图1中，
∵AF∥BC，
∴∠F=∠EBC，
∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，
∴△AEF≌△CEB（AAS），
∴AF=BC．
设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，
∵AF∥BC，
∴△APF∽△DPB，
∴，
故答案是：；
（2）如图2，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，
设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．
∵E是AC中点，
∴AE=CE．
∵AF∥DB，
∴∠F=∠1．
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB，
∴EF=BE，AF=BC=2k．
∵AF∥DB，
∴△AFP∽△DBP，
∴；
（3）当CD=2时，BC=4，
∵AC=6，
∴EC=AE=3，
∴EB=
∴EF=BE=5，BF=10．
∵，
，
∴BP=BF=×10=6．
故答案为6．
【我思故我在】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，结合中点，作平行线构造全等三角形是解决本题的关键．
18．在△ABC中，，，点P在平面内不与点A，C重合，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．
(1)如图①，当，的值是 ，直线与直线相交所成的较小角的度数是 ．
(2)如图②，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的较小角的度数，并说明理由．
(3)当时，若点E，F分别是中点，点P在直线上，请直接写出当C，P，D在同一直线上时，求的值．
【答案】(1)1，
(2)，，理由见解析
(3)或
【分析】（1）证明，得到，即可得解；利用全等，对应角相等，以及对顶角相等，得到，即可得解；
（2）根据题意：，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质证明，利用相似的性质即可得解；
（3）分点在线段上，和P在线段上两种情况分类讨论即可；
【详解】（1）解：如图，延长交的延长线于点，设交于点
∵，
∴是等边三角形，
由题意可知，
∴是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴ (SAS)
∴
∵
∴在和中，有
∴，直线与直线相交所成较小角的度数是；
（2）；直线与直线相交所成较小角的度数为，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
∵，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴ ，

∴，即，
，
∴ ，
设交于点G，交于点，
∵在和中，，，
∴；
（3） 值为或 ，理由如下：
当点在线段上，延长交的延长线于点，
∵分别是的中点，即是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴ ，
当点P在线段上时，同法可证：，
设，则， ，
∴ ，
∴．
【我思故我在】本题考查旋转的综合应用，全等三角形的判定和性质，相似三角形判定和性质．熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
19．如图，点E是矩形的边的中点，F是边上一动点（点F与点B，点C不重合），线段和相交于点P，连接．
(1)若在线段上取一点Q，使得，连接，猜想与的关系并证明；
(2)若时，，求的长；
(3)当点F为的中点时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）判断出，进而得出，即可得出结论；
（2）先判断，再判断出，即可得出结论；
（3）延长交的延长线于点G，先判断出，得出，进而判断出，再判断出，进而判断出，判断出，即可得出结论．
【详解】（1）解：，理由，
∵四边形是矩形，
∴
∴，
∵E是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵E是边的中点，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：如图，延长交的延长线于点G，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
又点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【我思故我在】此题查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．