专题05 尺规作图与计算（教师版）- 2024年中考数学拉分压轴专题重难点突破

这是一份专题05 尺规作图与计算（教师版）- 2024年中考数学拉分压轴专题重难点突破，共23页。试卷主要包含了如图，在平行四边形上，尺规作图等内容，欢迎下载使用。

1．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若，，则∠ACB的度数为（ ）
A．105°B．100°C．95°D．90°
【答案】A
【分析】根据作图，得到DB=DC，根据CD=AC，∠A=50°，利用三角形内角和定理，三角形外角性质计算求解即可．
【详解】∵MN是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠B=∠DCB，
∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠CDA=50°=∠B+∠DCB，∠ACD=180°-50°-50°=80°，
∴∠B=∠DCB=25°，∠ACD=80°，
∴∠ACB=∠DCB+∠ACD=80°+25°=105°，
故选：A．
【我思故我在】本题考查了线段的垂直平分线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握线段垂直平分线，灵活运用三角形外角性质是解题的关键．
2．如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义和垂直平分线的性质判断A、B，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角定理判断C、D．
【详解】解：根据图中尺规作图可知，的垂直平分线交于平分，
∴，；选项A、B正确；
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴选项D错误；

∴，选项C正确．
故选：D．
【我思故我在】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
3．如图，已知ABCD，小妍同学进行以下尺规作图：
①以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线AB于点E；
②以点E为圆心，小于线段CE的长为半径作弧，与射线CE交于点M，N；
③分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，交于点F，直线EF交CD于点G．若，则的度数可以用表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由作图可知：AC=AE，CE⊥CE，所以∠ACE=∠AEC，∠CEG=90°，则∠CGE+∠ECG=90°，所以∠ECG=90°-α，再根据平行线的性质得∠AEC=∠ECG=90°-α，即可由三角形内角和定理求解．
【详解】解：由作图可知：AC=AE，CE⊥CE，
∴∠ACE=∠AEC，∠CEG=90°，
∴∠CGE+∠ECG=90°，
∴∠ECG=90°-α，
∵ABCD，
∴∠ACE=∠AEC=∠ECG=90°-α，
∴∠A=180°-∠ACE-∠AEC=180°-2∠AEC=180°-2(90°-α)=2α，故D正确．
故选：D．
【我思故我在】本题考查作线段等于已知线段，经过上点作直线的垂线，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握尺规基本作图和三角形内角和定理是解题的关键．
4．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．∠COM=∠CODB．若OM=MN，则∠AOB=20°
C．MN∥CDD．MN=3CD
【答案】D
【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．
【详解】解：由作图知CM=CD=DN，
∴∠COM=∠COD，故A选项正确；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故B选项正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON，
∴∠OCD=∠OCM= ，
∴∠MCD=，
又∠CMN=∠AON=∠COD，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故C选项正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故D选项错误；
故选D．
【我思故我在】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．
5．如图，在平行四边形中，以点为圆心，长为半径画弧交于点，再分别以点、为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接．根据以上尺规作图的过程，小明得到下列结论：①平分 ②是等边三角形 ③ ④，其中，结论正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由作图可知，AE平分∠BAD，证明四边形ABCD是菱形，可得结论．
【详解】解：由作图可知，AE平分∠BAD，故①正确，
∴∠BAE=∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CB∥AD，AB=CD，
∴∠AEB=∠EAD，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，故④正确，
∵AF=AB，
∴BE=AF，
∵BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴AB=EF，
∴EF=CD，故③正确.
无法判断△ABF是等边三角形，
故选：C．
【我思故我在】本题考查作图一复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
6．如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
【详解】∵，，
∴∠B=180°-∠BAC-∠ACB=30°，
A．由作图可知，平分，
∴，
故选项A正确，不符合题意；
B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，
∴，
∵，∴，
故选项B正确，不符合题意；
C．∵，，∴，
∵，∴，
故选项C正确，不符合题意；
D．∵，，
∴；
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【我思故我在】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．
7．如图，在平行四边形上，尺规作图：以点为圆心，的长为半径画弧交于点，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧交于点，作射线交于点，连接．若，，则线段的长为（ ）
A．18B．17C．16D．14
【答案】C
【分析】证明四边形ABEF是菱形，得到OA=OE，OB=OF=6，AE⊥BF，再在Rt△AOB中由勾股定理求出OA即可解决问题．
【详解】解：∵以点A为圆心，的长为半径画弧交于点，
∴AF=AB，
∵分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧交于点，作射线交于点，
∴直线AE是线段BF的垂直平分线， 且AP为∠FAB的角平分线，
∴EF=EB，∠FAE=∠BAE，
∵四边形为平行四边形，
∴AD∥BC，∠FAE=∠AEB，
∴∠AEB=∠BAE，
∴BA=BE，
∴BA=BE=AF=FE，
∴四边形ABEF是菱形；
∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB中：，
∴，
故选：C．
【我思故我在】本题考查的是菱形的判定、垂直平分线、角平分线的尺规作图、勾股定理等相关知识点，掌握特殊四边形的判定方法及重要图形的尺规作图是解决本题的关键．
8．如图，在中，，用尺规作图，作的平分线交于点D，则下列说法中：
①若连接，则；
②；
③点D在的中垂线上；
④．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】①连接PM，PN，根据SSS定理可得△AMP≌△ANP，故可得出结论；
②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30°，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60°；
③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；
④先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】证明：①连接NP，MP，
在△AMP与△ANP中，
∵，
∴△AMP≌△ANP（SSS），
则∠CAD=∠BAD，
故AD是∠BAC的平分线，故此选项正确；
②证明：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°-∠2=60°，∠ADC=60°，故此选项正确；
③证明：∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上，故此选项正确；
④证明：∵在Rt△ACD中，∠2=30°，
∴CD=AD，
∴BC=BD+CD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD，
∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此选项正确；
故选：D．
【我思故我在】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解题的关键．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，用尺规作图的方法作出射线AD和直线EF，设AD交EF于点O，连结BE、OC．下列结论中，不一定成立的是（ ）
A．AE⊥BEB．EF平分∠AEBC．OA＝OCD．AB＝BE+EC
【答案】A
【分析】由图可知，AD平分∠BAC，EF垂直平分AB．根据等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的判定与性质对各选项进行判断即可．
【详解】解：由图可知，AD平分∠BAC，EF垂直平分AB．
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC，
∴OB＝OC，
∵EF垂直平分AB，
∴OA＝OB，BE＝AE，
∴OA＝OC，故选项C结论成立；
∵BE＝AE，EF垂直平分AB，
∴EF平分∠AEB，故选项B结论成立；
∵BE＝AE，AB＝AC，
∴AB＝AC＝AE+EC＝BE+EC，故选项D结论成立；
当∠BAC＝45°时，AE⊥BE，故选项A不一定成立．
故选：A．
【我思故我在】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．
10．小明在研究矩形的时候，利用直尺和圆规作出了如图的图形，依据尺规作图的痕迹，可知的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由尺规作图可知，EF是AC的垂直平分线，AE是∠DAC的角平分线，即可求出∠AFE和∠EAF的度数，然后利用三角形内角和定理求解.
【详解】解：如图所示，
由尺规作图可知，EF是AC的垂直平分线，AE是∠DAC的角平分线，
∴∠AFE=90°，∠EAF=∠DAC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=68°，
∴∠EAF=34°，
∴∠AEF=180°－∠EAF－∠AFE=56°，
∴∠α=∠AEF=56°，
故选A.
【我思故我在】本题考查了尺规作图－作垂直平分线和角平分线，熟练掌握尺规作图的方法和线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质是解题关键.
11．如图，已知△ABC，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，小红按如下步骤作图：
①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；
②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；
③过C作CEAB交MN于点E，连接AE、CD．
则四边形ADCE的周长为（ ）
A．10B．20C．12D．24
【答案】A
【分析】根据题意得：MN是AC的垂直平分线，即可得AD=CD，AE=CE，然后由CEAB，可证得CD∥AE，继而证得四边形ADCE是菱形，再根据勾股定理求出AD，进而求出菱形ADCE的周长．
【详解】：∵分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N，
∴MN是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE，
∴∠CAD=∠ACD，∠CAE=∠ACE，
∵CEAB，
∴∠CAD=∠ACE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴CDAE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形；
∴OA=OC=AC=2，OD=OE，AC⊥DE，
∵∠ACB=90°，
∴DEBC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=BC=×3=1.5，
∴AD==2.5，
∴菱形ADCE的周长=4AD=10．
故选A．
【我思故我在】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
12．如图，在中，．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线．若，为边的中点，为射线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．5
【答案】B
【分析】由题意得，CG为的角平分线，在CB上截取CA1=CA，可得是等腰直角三角形，继而得到CG垂直平分AA1，则A1为点A关于CG的对称点，连接A1D，交CG于点E，此时最小，即A1D的值，利用勾股定理求解即可．
【详解】
由题意得，CG为的角平分线，
在CB上截取CA1=CA，
，
是等腰直角三角形，
，即CG垂直平分AA1，
A1为点A关于CG的对称点，
连接A1D，交CG于点E，
，
此时最小，即A1D的值，
，为边的中点，
，
，
即，
故选：B．
【我思故我在】本题考查了角平分线的定义、等腰直角三角形的判定和性质，垂直平分线的性质及勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．
13．如图，在中，以点A为圆心，以适当长度为半径作弧分别交于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于一半的长度为半径作弧，两弧交于一点H，连接并延长交于点G，若，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】根据作图过程可得AG平分∠DAB，再根据角平分线的定义和平行四边形的性质可证明∠DAG＝∠DGA，进而得到AD＝DG＝4，即可求出CG．
【详解】解：根据作图的方法可得平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【我思故我在】此题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的作法、等角对等边；熟记平行四边形的性质是解决问题的关键．
14．如图，在矩形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点G，作射线AG，交DC于点H．若AD＝6，AB＝8，则△AHC的面积为（ ）
A．24B．30C．15D．9
【答案】C
【分析】过H点作HM⊥AC，如图，利用基本作图得到AH平分∠DAC，则根据角平分线的性质得到DH=MH，再利用勾股定理计算出AC=10，接着证明Rt△ADH≌Rt△AMH得AM=AD=6，所以CM=4，设CH=x，则DH=HM=8-x，在Rt△CHM中利用勾股定理得到（8-x）2+42=x2，解得x=5，然后利用三角形面积公式计算△AHC的面积．
【详解】解：过H点作HM⊥AC，如图，
由作法得AH平分∠DAC，
∴DH=MH，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=8，
在Rt△ADC中，AC==10，
在Rt△ADH和Rt△AMH中，
，
∴Rt△ADH≌Rt△AMH（HL），
∴AM=AD=6，
∴CM=AC-AM=10-6=4，
设CH=x，则DH=HM=8-x，
在Rt△CHM中，（8-x）2+42=x2，
解得x=5，
∴△AHC的面积=．
故选：C．
【我思故我在】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和矩形的性质．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，首先以顶点B为圆心，适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心，大于为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG=4，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．无法确定
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质定理以及垂线段最短解决问题即可．
【详解】解：过点G作⊥AB于点，
由尺规作图步骤可得，BG平分∠ABC，
∵∠C=90°，⊥AB，CG =4，
∴GC==4，
∵P为边AB上一动点，
∴，
∴GP的最小值为4．
故选：B．
【我思故我在】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质定理等知识，熟记垂线段最短是解题的关键．
16．如图，小明在以∠A为顶角的等腰三角形ABC中用圆规和直尺作图，作出过点A的射线交BC于点D，然后又作出一条直线与AB交于点E，连接DE，若△BED的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．4C．12D．16
【答案】D
【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积解答即可．
【详解】解：由作图可知，AD平分∠BAC，EF垂直平分AB
∴AE=BE
∴S△BED=S△ABD=4，即S△ABD=8
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BD=DC，
∴S△ABD=S△ABC=8，即S△ABC=16．
故选D．
【我思故我在】本题主要考查复杂作图、等腰三角形的性质、三角形中线等知识点，解题的关键是理解三角形的中线平分三角形的面积．
17．如图，在中，，按以下步骤作图：
（1）以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交AD于点E；
（2）分别以点B、E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在∠BAD的内部交于点G，连接AG并延长交BC于点F．若AB＝5，BE＝6，则AF的长是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】设AF交BE于H，证明四边形AEFB是菱形，利用勾股定理求出AH即可．
【详解】解：设AF交BE于H，
由题意得AB=AE，AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∴BF=AE，
∵AE∠BF，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴AB=EF，
∴AB=AE=EF=BF，
∴四边形AEFB是菱形，
∴AH=FH，BH=HE=3，AF⊥BE，
∴AH=，
∴AF=2AH=8，
故选：C．
【我思故我在】此题考查了角平分线的作图，菱形的判定定理及性质定理，勾股定理，正确理解角平分线的作图是解题的关键．
18．如图，在▱ABCD中，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，分别交CD、BC于点F、G，再分别以点F、G为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点H，作射线CH交AD于点E，连接BE，若DE＝5，AE＝3，BE＝4，则CE的长为（ ）
A．B．C．D．8
【答案】B
【分析】由作图得CE平分∠BCD，则∠BCE=∠DCE，再根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，AB=CD，证明∠DEC=∠DCE得到DC=DE=5，则AB=5，然后利用勾股定理的逆定理判断∠AEB=90°，从而利用勾股定理可计算出CE的长．
【详解】解：由作法得CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠DEC，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DC=DE=5，
∴AB=5，
在△ABE中，∵AE=3，BE=4，AB=5，
∴△ABE为直角三角形，∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠CBE=∠AEB=90°，
在Rt△BCE中，CE=．
故选：B．
【我思故我在】本题考查了作角平分线，角平分线的意义和平行四边形的性质、勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握以上知识是解题的关键．
19．如图，已知的顶点，，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线CM交边CD于点G．则G的坐标为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据平行四边形的性质和角平分线的作图方法证得AD=DG，结合坐标与图形性质求得OA、OD，再根据勾股定理求得AD即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠DGA=∠BAG，
由作图过程知，AM平分∠DAB，
∴∠DAG=∠BAG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴DG=AD，
∵，，
∴OA=6，D（0,8）即OD=8，
∴在Rt△AOD中，AD==10，
∴DG=10，
∴G的坐标为（10，8），
故选：D．
【我思故我在】本题考查尺规作图-作角平分线、平行四边形的性质、平行线的性质、等角对等边、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．