2024年四川省广安市华蓥市中考数学一模试卷附解析

这是一份2024年四川省广安市华蓥市中考数学一模试卷附解析，共29页。试卷主要包含了解答题，实践应用，拓展探究等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）﹣7的倒数是（ ）
A．7B．C．﹣7D．﹣
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3x）2＝﹣9x2
B．7x+5x＝12x2
C．（x﹣3）2＝x2﹣6x+9
D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2+4y2
3．（3分）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A．3×108B．3×109C．3×1010D．3×1011
4．（3分）某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
6．（3分）一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．3和5B．2和5C．2和3D．3和2
7．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x+1B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣1D．y＝x﹣1
8．（3分）如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（ ）
A．1B．C．D．3
9．（3分）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD＝30°，CD＝4，则S阴影＝（ ）
A．2πB．πC．πD．π
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题请把最简答案直接填写在置后的横线上.（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：|﹣2|＝ ．
12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是 ．
14．（3分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 厘米．
15．（3分）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ．
16．（3分）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4⋯）的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺）：
请依据上述规律，写展开式中含x2022项的系数是 ．
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分．共23分）
17．（5分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：•（1+），其中x＝（）﹣1．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF．
求证：（1）AE＝CF；
（2）BE∥DF．
20．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数y＝图象上的一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．
四、实践应用（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24每小题6分，共30分）
21．（6分）某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角α的度数为 ．
（2）若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；
（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
22．（8分）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售，求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率＝）不低于16%，求m的最大值．
23．（8分）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cs26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.2）
24．（8分）在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：
（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点视为相连）
（2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）
四、推理与论证（9分）
25．（9分）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连接AD、AE，且AD＝AE，CA＝CE．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若sinE＝，⊙O的半径为3，求AD的长．
六、拓展探究（10分）
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年四川省广安市华蓥市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意要求，请将符合要求的选项的代号填涂到答题卡上相应的位置．（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣7的倒数是（ ）
A．7B．C．﹣7D．﹣
【答案】D
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【解答】解：﹣7的倒数是﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（﹣3x）2＝﹣9x2
B．7x+5x＝12x2
C．（x﹣3）2＝x2﹣6x+9
D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2+4y2
【答案】C
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的性质，合并同类项的法则，完全平方公式和平方差公式对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵（﹣3x）2＝9x2，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵7x+5x＝12x，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∵（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，
∴C选项的运算正确，符合题意；
∵（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣4y2，
∴D选项的运算不正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方的性质，合并同类项的法则，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握上述性质与公式是解题的关键．
3．（3分）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次．将数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A．3×108B．3×109C．3×1010D．3×1011
【答案】D
【分析】运用科学记数法进行变形、求解．
【解答】解：3000亿＝3000×108＝3×1011，
故选：D．
【点评】此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
4．（3分）某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从左面看去，一共两列，左边有1个小正方形，右边有2个小正方形，结合四个选项选出答案．
【解答】解：从左面看去，一共两列，左边有1个小正方形，右边有2个小正方形，左视图是：
．
故选：D．
【点评】本题考查几何体的三视图，掌握左视图是从左面看到的图形是关键．
5．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念、菱形的判定、线段垂直平分线的性质、直角三角形的概念判断即可．
【解答】解：A、平行四边形不一定是轴对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、在△ABC中，当∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，△ABC不是直角三角形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（3分）一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A．3和5B．2和5C．2和3D．3和2
【答案】C
【分析】先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解．
【解答】解：数据从小到大排列为：2，2，3，4，5，
所以中位数为3；
数据2出现了2次，最多，
所以这组数据的众数为2．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．
7．（3分）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x+1B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣1D．y＝x﹣1
【答案】A
【分析】找出y＝x上一个点坐标，进而旋转90°后对应点的坐标，即可得到旋转后一次函数解析式，再根据上加下减的平移规则即可求得直线的函数表达式为y＝﹣x+1．
【解答】解：在函数y＝x的图象上取点A（1，1），
绕原点逆时针方向旋转90°后得到对应的点的坐标A′（﹣1，1），
则旋转后的直线的解析式为y＝﹣x，
再向上平移1个单位长度，得到y＝﹣x+1．
故选：A．
【点评】此题考查了一次函数的图象与几何变换，熟练平移的规则是解本题的关键．
8．（3分）如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】A
【分析】先判定四边形OCFD为菱形，找出当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥OD，利用平行四边形的面积求解DM的长，再利用三角形的中位线定理可求解PG的长，进而可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝BD，
∴OD＝OC，
∵DF∥AC，OD∥CF，
∴四边形OCFD为菱形，
∵点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，
∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．
过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥MD，
∵矩形ABCD的面积为12，AC＝6，
∴2×AC•DM＝12，
即2××6•DM＝12，
解得DM＝2，
∵G为CD的中点，
∴GP为△DMC的中位线，
∴GP＝DM＝1，
故PG的最小值为1．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，三角形的中位线等知识的综合运用，找准PG有最小值时的P点位置是解题的关键．
9．（3分）如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD＝30°，CD＝4，则S阴影＝（ ）
A．2πB．πC．πD．π
【答案】B
【分析】根据垂径定理求得CE＝ED＝2，然后由圆周角定理知∠DOE＝60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影＝S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．方法二：直接证明：S阴影＝S扇形ODB．
【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝ED＝2，
又∵∠BCD＝30°，
∴∠DOE＝2∠BCD＝60°，∠ODE＝30°，
∴OE＝DE•ct60°＝2×＝2，OD＝2OE＝4，
∴S阴影＝S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC＝﹣OE×DE+BE•CE＝﹣2+2＝．
故选B．
方法二：证明△CEB≌△DEO（AAS），可得S阴影＝S扇形ODB．
故选：B．
【点评】考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2，其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①分别判断a、b、c的符号，再判断abc的符号；
②由对称轴为直线x＝﹣2，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断c﹣3a的符号．
③用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断．
④利用二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系即可判断．
【解答】解：①因图象开口向下，可知：a＜0；
又∵对称轴为直线x＝﹣2，
∴﹣＝﹣2，整理得：b＝4a，即a、b同号．
由图象可知，当x＝4时，y＜0，
又∵对称轴为直线x＝﹣2，可知：当x＝0时，y＜0；
即c＜0；
∴abc＜0，故①正确．
②由①得：b＝4a．
代入原解析式得：y＝ax2+4ax+c；
由图象可知，当x＝﹣1时，y＞0．
即：a•（﹣1）2+4a•（﹣1）+c＞0，
整理得：c﹣3a＞0，故②正确．
③设4a2﹣2ab≥at（at+b）
则4a﹣2b≤at•t﹣bt，
两边+c得到4a﹣2b+c≤at•t﹣bt+c，
左侧为x＝﹣2时的函数值，右侧为x＝t时的函数值，
显然不成立，
故③错误．
④由题意得，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c﹣y1＝0的两个根，
从图象上看，因二次函数有对称性，x1、x2关于x＝﹣2对称，
∴当且仅当m＜﹣2＜m+3时，存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，
即当﹣5＜m＜﹣2时，满足题设，故④正确．
故本题选：C．
【点评】本题考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识．需综合利用二次函数的性质，不等式的性质解题．
二、填空题请把最简答案直接填写在置后的横线上.（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：|﹣2|＝ 2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|＝2．
故答案为：2．
【点评】解题关键是掌握绝对值的规律．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 x＞1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
【解答】解：根据题意得到：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了函数式有意义的x的取值范围．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
13．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是 （﹣5，﹣1） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案．
【解答】解：∵关于y轴对称，
∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣5，﹣1）．
故答案为：（﹣5，﹣1）．
【点评】本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
14．（3分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 26 厘米．
【答案】26．
【分析】根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．
【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，
由题意可得：OC⊥AB，AC＝AB＝10（厘米），
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，
∴x＝26，
∴镜面半径为26厘米，
故答案为：26．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，由勾股定理可求解．
15．（3分）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ．
【答案】．
【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．
【解答】解：由题意得：
＝1，
解得：x＝．
经检验，x＝是原方程的根，
∴x＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了解分式方程，本题是新定义型题目，准确理解新规定并熟练应用是解题的关键．
16．（3分）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a+b）n（n＝1，2，3，4⋯）的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺）：
请依据上述规律，写展开式中含x2022项的系数是 ﹣4048 ．
【答案】﹣4048．
【分析】首先确定x2022是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．
【解答】解：由题意得，＝x2024﹣2024x2023•+…＝x2024﹣4048x2022+…，
可知，展开式中的第二项为含x2022项，
∴展开式中含x2022项的系数是﹣4048．
故答案为：﹣4048．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，杨辉三角，解题的关键是灵活运用杨辉三角的规律解决问题．
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分．共23分）
17．（5分）计算：．
【答案】﹣1．
【分析】根据特殊角的三角函数值、立方根、零指数幂、有理数的乘方运算法则分别计算即可．
【解答】解：
＝
＝1﹣2+1﹣1
＝﹣1．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、立方根、零指数幂、有理数的乘方运算法则是解题的关键．
18．（6分）先化简，再求值：•（1+），其中x＝（）﹣1．
【答案】．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝
＝1﹣，
∵x＝（）﹣1＝2，
∴原式＝1﹣＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值及负整数指数幂，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF．
求证：（1）AE＝CF；
（2）BE∥DF．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，求得∠DAF＝∠BCE，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠AFD＝∠CEB，根据平行线的判定定理即可得到BE∥DF．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
在△ADF与△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（ASA），
∴AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
∴AE＝CF；
（2）∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB，
∴BE∥DF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
20．（6分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（m，4），与x轴交于点B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数y＝图象上的一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标．
【答案】（1）m＝1，一次函数的解析式为y＝x+3；
（2）点P（2，2）或（﹣2，﹣2）．
【分析】（1）把A（m，4）代入反比例函数解析式求得m的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）过点A作 AH⊥y 轴于点H，过点P作 PD⊥x 轴于点D，由S△OBP＝2S△OAC得到，即，解得PD＝2，即可求得点P的纵坐标为2或﹣2，进一步求得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（m，4）在反比例函数 的图象上，
∴，
∴m＝1，
∴A（1，4），
又∵点A（1，4）、C（0，3）都在一次函数y＝kx+b的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+3；
（2）对于y＝x+3，当y＝0时，x＝﹣3，
∴OB＝3，
∵C（0，3），
∴OC＝3，
过点A作 AH⊥y 轴于点H，过点P作 PD⊥x 轴于点D，
∵S△OBP＝2S△OAC，
∴，即，
解得PD＝2，
∴点P的纵坐标为2或﹣2，
将y＝2或﹣2代入 得x＝2或﹣2，
∴点P（2，2）或（﹣2，﹣2）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
四、实践应用（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24每小题6分，共30分）
21．（6分）某校为落实“双减”工作，推行“五育并举”，计划成立五个兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．音乐，B．美术，C．体育，D．阅读，E．人工智能．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角α的度数为 120° ．
（2）若该校有3600名学生，估计该校参加E组（人工智能）的学生人数；
（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人参加市青少年人工智能竞赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
【答案】（1）①补全图形见解答；②120°；
（2）720名；
（3）．
【分析】（1）①先根据B小组人数及其所对应的百分比可得被调查的总人数，再根据5个兴趣小组人数之和等于总人数求出D小组人数，从而补全图形；
②用360°乘以D小组人数占被调查人数的比例即可；
（2）用总人数乘以样本中E小组人数占被调查人数的比例即可；
（3）画树状图列举出所有等可能结果，再从树状图中确定恰好抽到一名男生一名女生的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，被调查的总人数为30÷10%＝300（人），
所以D小组人数为300﹣（40+30+70+60）＝100（人），
补全图形如下：
②扇形统计图中的圆心角α的度数为360°×＝120°，
故答案为：120°；
（2）3600×＝720（名），
答：估计该校参加E组（人工智能）的学生有720名；
（3）画树状图为：
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：
该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元．
（1）求a，b的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售，求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价3m元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（利润率＝）不低于16%，求m的最大值．
【答案】（1）a＝14；b＝19；
（2）超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系为：y＝．
（3）m的最大值为1.2．
【分析】（1）根据信息列二元一次方程得出答案；
（2）分类讨论，分别求出30≤x≤60和60＜x≤80时的函数关系；
（3求出当x为多少时，y值最大，利用利润率公式得到关于m的不等式，解出m的最大值．
【解答】解：（1）由题可列，
解得．
（2）由题可得当30≤x≤60时，
y＝（20﹣14）x+（23﹣19）（100﹣x）＝2x+400，
当60＜x≤80时，
y＝（20﹣3﹣14）（x﹣60）+（20﹣14）×60+（23﹣19）（100﹣x）＝﹣x+580，
答：超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系为：y＝．
（3）∵y＝，
∴当x＝60时，y的值最大，即y＝520，
由题可列×100%≥16%，
解得m≤1.2，
答：m的最大值为1.2．
【点评】本题以应用题为背景考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解题的关键是明确题意，根据公式正确列出关系式．本题难度适中，常为期末考试题．
23．（8分）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cs26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.2）
【答案】座板距地面的最大高度为1.7m．
【分析】过B作BT⊥ON于T，过A作AK⊥ON于K，在Rt△OBT中，求出OT＝OB•cs26°＝2.7（m），可得ON＝OT+TN＝3.6（m），在Rt△AOK中，得OK＝OA•cs50°＝1.92（m），故KN＝ON﹣OK＝1.68（m），从而可知座板距地面的最大高度为1.68m．
【解答】解：过B作BT⊥ON于T，过A作AK⊥ON于K，如图：
在Rt△OBT中，
OT＝OB•cs26°＝3×0.9＝2.7（m），
∵∠M＝∠MNT＝∠BTN＝90°，
∴四边形BMNT是矩形，
∴TN＝BM＝0.9m，
∴ON＝OT+TN＝3.6（m），
在Rt△AOK中，
OK＝OA•cs50°＝3×0.64＝1.92（m），
∴KN＝ON﹣OK＝3.6﹣1.92≈1.7（m），
∴座板距地面的最大高度为1.7m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
24．（8分）在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在图中画出你的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：
（1）5个小正方形必须相连（有公共边或公共顶点视为相连）
（2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）
【答案】见试题解答内容
【分析】利用轴对称图形的性质用5个小正方形组成一个轴对称图形即可．
【解答】解：如图．
．
【点评】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
四、推理与论证（9分）
25．（9分）如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，D是圆上一点，E是DC延长线上一点，连接AD、AE，且AD＝AE，CA＝CE．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若sinE＝，⊙O的半径为3，求AD的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）AD的长是．
【分析】（1）先由∠ACB＝90°，证明AB是⊙O的直径，再证明∠CAE＝∠B，则∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，即可证明直线AE是⊙O是的切线；
（2）由∠E＝∠CAE＝∠B，得＝sinB＝sinE＝＝，则CE＝CA＝AB＝×6＝4，CF＝CE＝×4＝，所以AF＝EF＝＝，则AD＝AE＝2AF＝．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∵AD＝AE，
∴∠E＝∠D，
∵∠B＝∠D，
∴∠E＝∠B，
∵CA＝CE，
∴∠E＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠B，
∴∠OAE＝∠CAE+∠CAB＝∠B+∠CAB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴直线AE是⊙O的切线．
（2）解：作CF⊥AE于点F，则∠CFE＝90°，
∵∠E＝∠CAE＝∠B，
∴＝sinB＝sinE＝＝，
∵OA＝OB＝3，
∴AB＝6，
∴CE＝CA＝AB＝×6＝4，
∴CF＝CE＝×4＝，
∴AF＝EF＝＝＝，
∴AD＝AE＝2AF＝2×＝，
∴AD的长是．
【点评】此题重点考查切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
六、拓展探究（10分）
26．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）△PBC的面积的最大值为，此时点P（，）；
（3）存在，点N的坐标为：（4，﹣）或（4，）或（﹣2，+3）或（﹣2，﹣+3）或（2，2）．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB，即可求解；
（3）若BC为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
如图，过点P作y轴的平行线交CB于点H，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB＝（﹣x2+2x+x﹣3）＝﹣（x﹣）2+≤，
即△PBC的面积的最大值为，此时点P（，）；
（3）存在，理由：
∵B（3，0），C（0，3），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为：x＝1，
设点M（1，t），N（x，y），
若BC为菱形的边长，菱形BCMN，
则BC2＝CM2，即18＝12+（t﹣3）2，
解得：t1＝+3，t2＝﹣+3，
∵，
∴x＝4，y＝t﹣3，
∴N1（4，），N2（4，﹣）；
若BC为菱形的边长，菱形BCNM，
则BC2＝BM2，即18＝（3﹣1）2+t2，
解得：t3＝，t4＝﹣，
∵，
∴x＝﹣2，y＝3+t，
∴N3（﹣2，），N4（﹣2，﹣）；
即点N的坐标为：（4，﹣）或（4，）或（﹣2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形和菱形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
a
20
乙
b
23
水果种类
进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲
a
20
乙
b
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