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2024年广东省中山市中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2024年广东省中山市中考数学二模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数中最大的数是( )
A. 10B. πC. −83D. − 10
2.下列垃圾分类的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 可回收物B. 厨余垃圾
C. 有害垃圾D. 其它垃圾物
3.下列收集数据的方式合理的是( )
A. 为了解残疾人生活、就业等情况，在某网站设置调查问卷
B. 为了解一个省的空气质量，调查了该省省会城市的空气质量
C. 为了解某校学生视力情况，抽取该校各班学号为5的整数倍的同学进行调查
D. 为了解某校学生每天的平均睡眠时间，对该校学生周末的睡眠时间进行调查
4.下列计算正确的是( )
A. (a2−ab)÷a=a−ab B. 3a2⋅a=3a3
C. (a−b)2=a2−b2D. (a2)3=a5
5.已知点M(1−m,2−m)在第三象限则m的取值范围是( )
A. m>3B. 22
6.如图，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE//BC交BE于点E，∠DAE=56°，则∠E的度数为( )
A. 56°B. 36°C. 26°D. 28°
7.如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧BC的中点，连接BC，DE.若∠ABC=22°，则∠CDE的度数为( )
A. 22°
B. 32°
C. 34°
D. 44°
8.若y与x的函数y=(m−1)x2+(m+1)x−m的图象与坐标轴只有两个交点，则满足条件的m的值有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为( )
A. 200tan70°米B. 200tan70∘米C. 200sin 70°米D. 200sin70∘米
10.如图，在正方形ABCD中，AB=2 10，O是BC中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.则线段OF长的最小值为( )
A. 8B. 2 10−2C. 2 10+2D. 10+2
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.根据唐玄奘《大唐西域记》中记载，“一刹那”大概是0.013秒，用科学记数法表示0.013是 ．
12.计算： 12x⋅ y23x(y<0)= ______．
13.如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点，AB=1，则线段CD=______．
14.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，其半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 ．
15.如图，反比例函数y=6x(x>0)的图象与矩形ABCO的边AB交于点G，与边BC交于点D，过点A，D作DE//AF，交直线y=kx(k<0)于点E，F，若OE=OF，BG=32GA，则CDBD的值为______；四边形ADEF的面积为______．
三、解答题：本题共9小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：(12)−2−|−4cs60°|+3−8− 16．
17.(本小题6分)
先化简x2−2x+1x2−1÷(x−1x+1−x+1)然后从−318.(本小题6分)
文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．
(1)甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？(购进的两种图书全部销售完．)
19.(本小题6分)
如图，▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于GH．
(1)求证：△ABE∽△ADF；
(2)若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．
20.(本小题8分)
小亮和同学们想用一些测量工具和所学的几何知识测量学校旗杆的高度，检验自己掌握知识和运用知识的能力，如图，在阳光下，小亮站在水平地面的D处，此时小亮身高的影子顶端与旗杆的影子顶端E重合，这时小亮身高CD的影长DE=1米，一段时间后，小亮从D点沿BD的方向走了2.6米到达G处，此时小亮身高的影子顶端与旗杆的影子顶端H重合，这时小亮的影长GH=1.4米，已知小亮的身高CD=FG=1.6米，点G、E、D均在直线BH上，AB⊥BH，CD⊥BH，GF⊥BH，请你根据题中提供的相关信息，求出旗杆的高度．
21.(本小题8分)
某市开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)分成五组，并绘制了尚不完整的统计图表．
频数分布表
(1)表中m= ______，n= ______；
(2)请在图中补全频数分布直方图；
(3)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手中，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列表法或画树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F．
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若BE=1，BF=2，求AD的长．
23.(本小题10分)
如图①，直线PQ同侧有两点M，N，点T在直线PQ上，若∠MTP=∠NTQ，则称点T为M，N在直线PQ上的投射点．
(1)如图②，在Rt△ABC中，∠B=60°，D为斜边AB的中点，E为AC的中点．求证：点D为C，E在直线AB上的投射点；
(2)如图③，在正方形网格中，已知点A，B，C三点均在格点上，请仅用没有刻度的直尺在AC上画出点P，在BC上画出点Q，使A，P在BC上的投射点Q满足CQ=2BQ；
(3)如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，在AB，BC边上是否分别存在点D，E，使点D为E，C在AB上的投射点，点E为A，D在BC上的投射点？若存在，求出DECD的值；若不存在，请说明理由．
24.(本小题12分)
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点D是该抛物线的顶点，点P(m,n)是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA=2∠CBD时，求m的值；
(3)如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，1AE+1AF为定值，请直接写出该定值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵10>π>−83>− 10，
∴所给的各数中最大的数是10．
故选：A．
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】C
【解析】解：A.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】C
【解析】解：A、为了解残疾人生活、就业等情况，在某网站设置调查问卷，调查范围较小，不具有代表性，选项不符合题意；
B、为了解一个省的空气质量，调查了该省省会城市的空气质量，调查范围较小，不具有代表性，选项不符合题意；
C、为了解某校学生视力情况，抽取该校各班学号为5的整数倍的同学进行调查，调查具有广泛性、代表性，选项符合题意；
D、为了解某校学生每天的平均睡眠时间，对该校学生周末的睡眠时间进行调查，调查范围较小，不具有代表性，选项不符合题意；
故选：C．
抽样调查是从总体中抽取部分个体进行调查，通过调查样本来收集数据，工作量较小，便于进行，调查结果不如普查得到结果精准．
本题考查抽样调查的定义，根据普查和抽样的定义优缺点解题是关键．
4.【答案】B
【解析】解：(a2−ab)÷a=a−b，故选项A错误，不符合题意；
3a2⋅a=3a3，故选项B正确，符合题意；
(a−b)2=a2−2ab+b2，故选项C错误，不符合题意；
(a2)3=a6，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查点的坐标及解一元一次不等式组，正确根据点的坐标列出不等式组是解题的关键．
根据点M的坐标列出不等式组，再分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集即可解答．
【解答】
解：根据点M在第三象限，可得1−m<02−m<0，
解得m>2，
故选：D．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，解题时注意：两直线平行，同位角相等．根据平行线的性质，可得∠DBC=56°，∠E=∠EBC，根据角平分线的定义，可得∠EBC=12∠DBC=28°，进而得到∠E=28°．
【解答】
解：∵AE//BC，∠DAE=56°，
∴∠DBC=∠DAE=56°，∠E=∠EBC，
∵BE平分∠DBC，
∴∠EBC=12∠DBC=28°，
∴∠E=28°，
故选D．
7.【答案】C
【解析】【分析】
连接OE，根据等腰三角形的性质求出∠OCB，根据三角形内角和定理求出∠BOC，进而求出∠COE，再根据圆周角定理计算即可．
本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【解答】
解：连接OE，
∵OC=OB，∠ABC=22°，
∴∠OCB=∠ABC=22°，
∴∠BOC=180°−22°×2=136°，
∵E是劣弧BC的中点，
∴CE=BE，
∴∠COE=12×136°=68°，
由圆周角定理得：∠CDE=12∠COE=12×68°=34°，
故选：C．
8.【答案】B
【解析】解：当m−1=0，即m=1时，函数为y=2x−1，与坐标轴只有两个交点，
当m≠1时，当图象经过原点时，图象与坐标轴只有两个交点，此时m=0，
故符合题意的m的值有2个．
故选：B．
直接利用函数与x轴交点个数的性质进而分析得出答案．
此题主要考查了二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，正确把握相关性质是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT=90°，∠PQT=90°−70°=20°，
∴∠PTQ=70°，
∴tan70°=PQPT，
∴PT=PQtan70∘=200tan70∘，
即河宽200tan70∘米，
故选：B．
在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接DO，将DO绕点D逆时针旋转90°得到DM，连接FM，OM，
∵∠EDF=∠ODM=90°，
∴∠EDO=∠FDM，
在△EDO与△FDM中，
DE=DF∠EDO=∠FDMDO=DM，
∴△EDO≌△FDM(SAS)，
∴FM=OE=2，
∵正方形ABCD中，AB=2 10，O是BC边上的中点，
∴OC=12BC=12AB= 10，
∴OD= (2 10)2+( 10)2=5 2，
∴OM= (5 2)2+(5 2)2=10，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥10−2=8，
∴线段OF的最小值为8，
故选：A．
连接DO，将DO绕点D逆时针旋转90°得到DM，连接FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM=OE=2，由勾股定理可得OM=10，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
本题考查线段的最值问题，涉及三角形的三边关系、勾股定理、旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
11.【答案】1.3×10−2
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：0.013=1.3×10−2．
故答案为：1.3×10−2．
12.【答案】−2y
【解析】解： 12x⋅ y23x= 12x⋅y23x= 4y2=|2y|，
∵y<0，
∴ 12x⋅ y23x=|2y|=−2y，
故答案为：−2y．
根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
13.【答案】 5−2
【解析】解：∵线段AB=1，点C是AB黄金分割点，
∴较小线段AD=BC=1×3− 52，
则CD=AB−AD−BC=1−2×3− 52= 5−2．
故答案是： 5−2．
根据黄金分割点的定义，知较短的线段=原线段的3− 52倍，可得BC的长，同理求得AD的长，则CD即可求得．
本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3− 52倍，较长的线段=原线段的 5−12倍．
14.【答案】3 3
【解析】解：如图所示，连接OC、OB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，
∵OA=OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBM=60°，
∴OM=OBsin∠OBM=6× 32=3 3，
故答案为：3 3．
连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．
15.【答案】23 15
【解析】解：延长DE交x轴于K，作DH⊥OA于H，
设G(a,6a)，则OA=a，AG=6a，
∵BG=32GA，
∴BG=9a，
∴DH=AB=AG+BG=15a，
yD=15a时，xD=6a15，
∴CD=6a15，BD=BC−CD=a−6a15=9a15．
∴CDDB=6a9a=23．
∵DE//AF，
∴∠EKO=∠FAO，
在△OEK和△OFA中，
∠EKO=∠FAO∠EOK=∠FOAOE=OF，
∴△OEK≌△OFA(AAS)，
∴OK=OA=a，
∴AK=2a，
∴S四边形ADEF=S四边形ADEO+S△KEO=S△ADK=12AK⋅DH=12×2a×15a=15．
故答案为：23，15．
延长DE交x轴于K，作DH⊥OA于H，证得△OEK≌△OFA，即可证得S四边形ADEF=S四边形ADEO+S△KEO=S△ADK，设G(a,6a)，用a表示CD和DB可得比值，根据三角形面积公式即可求得．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，矩形的性质，三角形面积公式，证得S四边形ADEF=S四边形ADEO+S△KEO=S△ADK是解题的关键．
16.【答案】解：(12)−2−|−4cs60°|+3−8− 16
=4−4×12−2−4
=4−2−2−4
=−4．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：原式=(x−1)2(x+1)(x−1)÷(x−1x+1−x2−1x+1)
=x−1x+1÷−x2+xx+1
=x−1x+1⋅x+1−x(x−1)
=−1x，
∵(x+1)(x−1)≠0且x(x−1)≠0，
∴x≠±1且x≠0，
∴取x=−2，
则原式=12．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的额关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18.【答案】解：(1)设乙种图书售价每本x元，则甲种图书售价为每本1.4x元
由题意得：1400x−16801.4x=10
解得：x=20
经检验，x=20是原方程的解
∴甲种图书售价为每本1.4×20=28元
答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元
(2)设甲种图书进货a本，总利润W元，则
W=(28−20−3)a+(20−14−2)(1200−a)=a+4800
∵20a+14×(1200−a)≤20000
解得a≤16003
∵w随a的增大而增大
∴当a最大时w最大
∴当a=533本时，w最大
此时，乙种图书进货本数为1200−533=667(本)
答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大．
【解析】(1)根据题意，列出分式方程即可；
(2)先用进货量表示获得的利润，求函数最大值即可．
本题分别考查了分式方程和一次函数最值问题，注意研究利润最大分成两个部分，先表示利润再根据函数性质求出函数最大值．
19.【答案】解：(1)∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF，
∴△ABE∽△ADF；
(2)证明：∵AG=AH，
∴∠AGH=∠AHG，
∴∠AGB=∠AHD，
∵△ABE∽△ADF，
∴∠BAG=∠DAH，
在△BAG与△DAH中，∠AGB=∠AHD∠BAG=∠DAHAG=AH，
∴△BAG≌△DAH，
∴AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【解析】(1)利用两角对应相等可证出△ABE∽△ADF；
(2)利用(1)的结论，先证出△ABG≌△ADH，得到AB=AD，那么平行四边形ABCD是菱形．
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定，熟悉图形特征是解题的关键．
20.【答案】解：∵CD//AB，
∴△ECD∽△EAB，
∴CDAB=EDEB，即1.6AB=11+BD①，
∵FG//AB，
∴△HFG∽△HAB，
∴FGAB=HGHB，即1.6AB=1.41.4+2.6+BD②，
由①②得11+BD=1.41.4+2.6+BD，解得BD=6.5，
∴1.6AB=11+6.5，解得AB=12．
答：旗杆的高度为12m．
【解析】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，为了使问题简便，尽量构造直角三角形，然后利用三角形相似，对应边成比例可求出相应线段的长．
先证明△ECD∽△EAB，利用相似比得到1.6AB=11+BD①，再证明△HFG∽△HAB得到1.6AB=1.41.4+2.6+BD②，然后解由①②组成的方程组求出BD，再求出AB即可．
21.【答案】8 0.35
【解析】解：(1)m=40×0.2=8，n=14÷40=0.35，
故答案为：8，0.35；
(2)补全频数分布直方图如下：
(4)由题意可知，成绩在94.5分以上的选手中，男生和女生各占一半，选手有4人，
∴有2名男生，2名女生，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴恰好是一名男生和一名女生的概率为812=23．
(1)根据频率=频数÷总数，列式计算即可；
(2)根据(1)的结果补全频数分布直方图即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率、频数分布直方图以及频数分布表等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】(1)证明：∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD//AC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD=EH，OH=DE，
∵OF=OB，
∴BH=FH=1，
∴OD=EH=EH=2，
∴AB=2OD=4，OH= OB2−BH2= 3，
∴DE=OH= 3，
∴BD= DE2+BE2=2，
∴AD= AB2−BD2= 42−22=2 3．
【解析】(1)根据已知条件证得OD//AC即可得到结论；
(2)如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，构建矩形ODEH，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的性质．解题的关键：(1)熟练掌握切线的判定；(2)利用勾股定理构建方程求出AH．
23.【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，
∴CD=BD=12BC．
又∵∠B=60°，
∴∠BDC=60°．
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE//AC，
∴∠ADE=∠B=60°．
∴∠ADE=∠BDC，
∴点D为C，E在直线AB上的投射点．
(2)如图③，
作法：
1、在格点上取点G，H，连接HG交BC于Q，(理由：△BQG∽△HQC)
2、作点A关于BC的对称点A′，连接A′Q并延长交AC于P，(∠AQB=∠A′QB=∠PQC)
即：点P就是所求作的点．
(3)存在，
如图④，作点C关于AB的对称点C′，连接BC′AC′，
则四边形ACBC′为正方形，
作点A关于BC的对称点A′，连接A′C′交AB于D，交BC于E，
即：点D，E是所求作的点，
∴C′，D，E，A在同一直线上，
CA′=CA=C′A=C′B=BC，CD=C′D，
∴△C′BE≌△A′CE．
∴BE=12BC=12C′A．
∵AC′//BC，
∴△BDE∽△ADC′，
∴EDC′D=BEC′A=12，
∴EDCD=12．
【解析】(1)先求出∠BDC=60°，进而判断出∠ADE=∠B=60°，即可得出结论；
(2)根据对称性即可作出图形；
(3)根据对称和相似作出图形，再用相似三角形的性质即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了新定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，对称性，正确作出图形是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)设OA=t(t>0)，
∵OB=OC=3OA，
∴OB=OC=3t，
∴A(−t,0)，B(3t,0)，C (0,−3t)，
∴该抛物线的对称轴为直线x=−b2×1=−t+3t2=t，
∴b=−2t①，
将A(−t,0)，C (0,−3t)，代入得：
0=t2−bt+c②−3t=c③，
①②③联立解得：t=1b=−2c=−3，(t=0已舍去)，
∴该抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)取BC中点G，作GH⊥BD于H，连接CH，过C作CM⊥BD于M，过P作PN⊥x轴于N，如图：
由y=x2−2x−3得抛物线顶点D坐标为(1,−4)，
而B(3,0)，C(0,−3)，
∴BC=3 2，CD= 2，BD=2 5，
∴BC2+CD2=20，BD2=20，
∴BC2+CD2=BD2，
∴∠BCD=90°，
∵GH⊥BD，
∴GH//CD，
∵G为BC中点，
∴H为BD中点，
∴CH=BH=12BD= 5，
∴∠CHM=2∠CBD=∠PBA，
∵CM=BC⋅CDBD=3 55，
∴MH= CH2−CM2=4 55，
∴tan∠CHM=34，
∴tan∠PBA=34，即PNBN=34，
设P(m,m2−2m−3)，则m2−2m−33−m=34
解得m1=3(与B重合，舍去)或m2=−74，
∴m的值为−74；
(3)过M作MG//x轴交AC于G，过F作FT//x轴交AM于T，过C作CQ//x轴交AM于Q，如图：
∵MG//x轴，FT//x轴，CQ//x轴，
∴MG//FT//CQ//OA，
∴△COA∽△CMG，△ACQ∽AGM，
∴GMOA=CGAC，GMCQ=AGAC，
∴GMOA+GMCQ=CGAC+AGAC=1，
∴1OA+1CQ=1GM，
∵AM平分∠BAC，
∴∠CAM=∠BAM=∠AQC，
∴AC=CQ，
∴1OA+1AC=1GM，
同理可得1AE+1AF=1GM，
由(1)可知：A(−1,0)，C(0,−3)，
∴AC= 10，
∴1AE+1AF=1GM=1OA+1AC=11+1 10=10+ 1010．
【解析】(1)设OA=t(t>0)，则OB=OC=3t，可得该抛物线的对称轴为直线x=t，有b=−2t，将A(−t,0)，C (0,−3t)代入即可求出该抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)取BC中点G，作GH⊥BD于H，连接CH，过C作CM⊥BD于M，过P作PN⊥x轴于N，由抛物线顶点D坐标为(1,−4)，B(3,0)，C(0,−3)，可得∠BCD=90°，GH//CD，从而H为BD中点，CH=BH=12BD= 5，由面积法得CM=BC⋅CDBD=3 55，故tan∠CHM=34，即知tan∠PBA=34，即PNBN=34，设P(m,m2−2m−3)，得m2−2m−33−m=34，即可得m的值为−74；
(3)过M作MG//x轴交AC于G，过F作FT//x轴交AM于T，过C作CQ//x轴交AM于Q，由MG//FT//CQ//OA，得△COA∽△CMG，△ACQ∽AGM，有GMOA=CGAC，GMCQ=AGAC，故GMOA+GMCQ=CGAC+AGAC=1，即得1OA+1CQ=1GM，根据AM平分∠BAC，可得AC=CQ，从而1OA+1AC=1GM，同理可得1AE+1AF=1GM，又A(−1,0)，C(0,−3)，即得1AE+1AF=1GM=1OA+1AC=10+ 1010．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象上点坐标特征、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．分数段
频数
频率
74.5～79.5
2
0.05
79.5～84.5
m
0.2
84.5～89.5
12
0.3
89.5～94.5
14
n
94.5～99.5
4
0.1
1.下列各数中最大的数是( )
A. 10B. πC. −83D. − 10
2.下列垃圾分类的标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 可回收物B. 厨余垃圾
C. 有害垃圾D. 其它垃圾物
3.下列收集数据的方式合理的是( )
A. 为了解残疾人生活、就业等情况，在某网站设置调查问卷
B. 为了解一个省的空气质量，调查了该省省会城市的空气质量
C. 为了解某校学生视力情况，抽取该校各班学号为5的整数倍的同学进行调查
D. 为了解某校学生每天的平均睡眠时间，对该校学生周末的睡眠时间进行调查
4.下列计算正确的是( )
A. (a2−ab)÷a=a−ab B. 3a2⋅a=3a3
C. (a−b)2=a2−b2D. (a2)3=a5
5.已知点M(1−m,2−m)在第三象限则m的取值范围是( )
A. m>3B. 2
6.如图，BE平分∠DBC，点A是BD上一点，过点A作AE//BC交BE于点E，∠DAE=56°，则∠E的度数为( )
A. 56°B. 36°C. 26°D. 28°
7.如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧BC的中点，连接BC，DE.若∠ABC=22°，则∠CDE的度数为( )
A. 22°
B. 32°
C. 34°
D. 44°
8.若y与x的函数y=(m−1)x2+(m+1)x−m的图象与坐标轴只有两个交点，则满足条件的m的值有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽(PT的长)可以表示为( )
A. 200tan70°米B. 200tan70∘米C. 200sin 70°米D. 200sin70∘米
10.如图，在正方形ABCD中，AB=2 10，O是BC中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.则线段OF长的最小值为( )
A. 8B. 2 10−2C. 2 10+2D. 10+2
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.根据唐玄奘《大唐西域记》中记载，“一刹那”大概是0.013秒，用科学记数法表示0.013是 ．
12.计算： 12x⋅ y23x(y<0)= ______．
13.如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点，AB=1，则线段CD=______．
14.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，其半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为 ．
15.如图，反比例函数y=6x(x>0)的图象与矩形ABCO的边AB交于点G，与边BC交于点D，过点A，D作DE//AF，交直线y=kx(k<0)于点E，F，若OE=OF，BG=32GA，则CDBD的值为______；四边形ADEF的面积为______．
三、解答题：本题共9小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：(12)−2−|−4cs60°|+3−8− 16．
17.(本小题6分)
先化简x2−2x+1x2−1÷(x−1x+1−x+1)然后从−3
文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．
(1)甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？
(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？(购进的两种图书全部销售完．)
19.(本小题6分)
如图，▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于GH．
(1)求证：△ABE∽△ADF；
(2)若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．
20.(本小题8分)
小亮和同学们想用一些测量工具和所学的几何知识测量学校旗杆的高度，检验自己掌握知识和运用知识的能力，如图，在阳光下，小亮站在水平地面的D处，此时小亮身高的影子顶端与旗杆的影子顶端E重合，这时小亮身高CD的影长DE=1米，一段时间后，小亮从D点沿BD的方向走了2.6米到达G处，此时小亮身高的影子顶端与旗杆的影子顶端H重合，这时小亮的影长GH=1.4米，已知小亮的身高CD=FG=1.6米，点G、E、D均在直线BH上，AB⊥BH，CD⊥BH，GF⊥BH，请你根据题中提供的相关信息，求出旗杆的高度．
21.(本小题8分)
某市开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)分成五组，并绘制了尚不完整的统计图表．
频数分布表
(1)表中m= ______，n= ______；
(2)请在图中补全频数分布直方图；
(3)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手中，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列表法或画树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=BC，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，CB延长线交⊙O于点F．
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若BE=1，BF=2，求AD的长．
23.(本小题10分)
如图①，直线PQ同侧有两点M，N，点T在直线PQ上，若∠MTP=∠NTQ，则称点T为M，N在直线PQ上的投射点．
(1)如图②，在Rt△ABC中，∠B=60°，D为斜边AB的中点，E为AC的中点．求证：点D为C，E在直线AB上的投射点；
(2)如图③，在正方形网格中，已知点A，B，C三点均在格点上，请仅用没有刻度的直尺在AC上画出点P，在BC上画出点Q，使A，P在BC上的投射点Q满足CQ=2BQ；
(3)如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，在AB，BC边上是否分别存在点D，E，使点D为E，C在AB上的投射点，点E为A，D在BC上的投射点？若存在，求出DECD的值；若不存在，请说明理由．
24.(本小题12分)
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB=OC=3OA．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点D是该抛物线的顶点，点P(m,n)是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA=2∠CBD时，求m的值；
(3)如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，1AE+1AF为定值，请直接写出该定值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵10>π>−83>− 10，
∴所给的各数中最大的数是10．
故选：A．
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】C
【解析】解：A.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】C
【解析】解：A、为了解残疾人生活、就业等情况，在某网站设置调查问卷，调查范围较小，不具有代表性，选项不符合题意；
B、为了解一个省的空气质量，调查了该省省会城市的空气质量，调查范围较小，不具有代表性，选项不符合题意；
C、为了解某校学生视力情况，抽取该校各班学号为5的整数倍的同学进行调查，调查具有广泛性、代表性，选项符合题意；
D、为了解某校学生每天的平均睡眠时间，对该校学生周末的睡眠时间进行调查，调查范围较小，不具有代表性，选项不符合题意；
故选：C．
抽样调查是从总体中抽取部分个体进行调查，通过调查样本来收集数据，工作量较小，便于进行，调查结果不如普查得到结果精准．
本题考查抽样调查的定义，根据普查和抽样的定义优缺点解题是关键．
4.【答案】B
【解析】解：(a2−ab)÷a=a−b，故选项A错误，不符合题意；
3a2⋅a=3a3，故选项B正确，符合题意；
(a−b)2=a2−2ab+b2，故选项C错误，不符合题意；
(a2)3=a6，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查点的坐标及解一元一次不等式组，正确根据点的坐标列出不等式组是解题的关键．
根据点M的坐标列出不等式组，再分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集即可解答．
【解答】
解：根据点M在第三象限，可得1−m<02−m<0，
解得m>2，
故选：D．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，解题时注意：两直线平行，同位角相等．根据平行线的性质，可得∠DBC=56°，∠E=∠EBC，根据角平分线的定义，可得∠EBC=12∠DBC=28°，进而得到∠E=28°．
【解答】
解：∵AE//BC，∠DAE=56°，
∴∠DBC=∠DAE=56°，∠E=∠EBC，
∵BE平分∠DBC，
∴∠EBC=12∠DBC=28°，
∴∠E=28°，
故选D．
7.【答案】C
【解析】【分析】
连接OE，根据等腰三角形的性质求出∠OCB，根据三角形内角和定理求出∠BOC，进而求出∠COE，再根据圆周角定理计算即可．
本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【解答】
解：连接OE，
∵OC=OB，∠ABC=22°，
∴∠OCB=∠ABC=22°，
∴∠BOC=180°−22°×2=136°，
∵E是劣弧BC的中点，
∴CE=BE，
∴∠COE=12×136°=68°，
由圆周角定理得：∠CDE=12∠COE=12×68°=34°，
故选：C．
8.【答案】B
【解析】解：当m−1=0，即m=1时，函数为y=2x−1，与坐标轴只有两个交点，
当m≠1时，当图象经过原点时，图象与坐标轴只有两个交点，此时m=0，
故符合题意的m的值有2个．
故选：B．
直接利用函数与x轴交点个数的性质进而分析得出答案．
此题主要考查了二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，正确把握相关性质是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT=90°，∠PQT=90°−70°=20°，
∴∠PTQ=70°，
∴tan70°=PQPT，
∴PT=PQtan70∘=200tan70∘，
即河宽200tan70∘米，
故选：B．
在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
此题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接DO，将DO绕点D逆时针旋转90°得到DM，连接FM，OM，
∵∠EDF=∠ODM=90°，
∴∠EDO=∠FDM，
在△EDO与△FDM中，
DE=DF∠EDO=∠FDMDO=DM，
∴△EDO≌△FDM(SAS)，
∴FM=OE=2，
∵正方形ABCD中，AB=2 10，O是BC边上的中点，
∴OC=12BC=12AB= 10，
∴OD= (2 10)2+( 10)2=5 2，
∴OM= (5 2)2+(5 2)2=10，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥10−2=8，
∴线段OF的最小值为8，
故选：A．
连接DO，将DO绕点D逆时针旋转90°得到DM，连接FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM=OE=2，由勾股定理可得OM=10，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．
本题考查线段的最值问题，涉及三角形的三边关系、勾股定理、旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
11.【答案】1.3×10−2
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：0.013=1.3×10−2．
故答案为：1.3×10−2．
12.【答案】−2y
【解析】解： 12x⋅ y23x= 12x⋅y23x= 4y2=|2y|，
∵y<0，
∴ 12x⋅ y23x=|2y|=−2y，
故答案为：−2y．
根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
13.【答案】 5−2
【解析】解：∵线段AB=1，点C是AB黄金分割点，
∴较小线段AD=BC=1×3− 52，
则CD=AB−AD−BC=1−2×3− 52= 5−2．
故答案是： 5−2．
根据黄金分割点的定义，知较短的线段=原线段的3− 52倍，可得BC的长，同理求得AD的长，则CD即可求得．
本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3− 52倍，较长的线段=原线段的 5−12倍．
14.【答案】3 3
【解析】解：如图所示，连接OC、OB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，
∵OA=OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBM=60°，
∴OM=OBsin∠OBM=6× 32=3 3，
故答案为：3 3．
连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．
本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．
15.【答案】23 15
【解析】解：延长DE交x轴于K，作DH⊥OA于H，
设G(a,6a)，则OA=a，AG=6a，
∵BG=32GA，
∴BG=9a，
∴DH=AB=AG+BG=15a，
yD=15a时，xD=6a15，
∴CD=6a15，BD=BC−CD=a−6a15=9a15．
∴CDDB=6a9a=23．
∵DE//AF，
∴∠EKO=∠FAO，
在△OEK和△OFA中，
∠EKO=∠FAO∠EOK=∠FOAOE=OF，
∴△OEK≌△OFA(AAS)，
∴OK=OA=a，
∴AK=2a，
∴S四边形ADEF=S四边形ADEO+S△KEO=S△ADK=12AK⋅DH=12×2a×15a=15．
故答案为：23，15．
延长DE交x轴于K，作DH⊥OA于H，证得△OEK≌△OFA，即可证得S四边形ADEF=S四边形ADEO+S△KEO=S△ADK，设G(a,6a)，用a表示CD和DB可得比值，根据三角形面积公式即可求得．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，矩形的性质，三角形面积公式，证得S四边形ADEF=S四边形ADEO+S△KEO=S△ADK是解题的关键．
16.【答案】解：(12)−2−|−4cs60°|+3−8− 16
=4−4×12−2−4
=4−2−2−4
=−4．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】解：原式=(x−1)2(x+1)(x−1)÷(x−1x+1−x2−1x+1)
=x−1x+1÷−x2+xx+1
=x−1x+1⋅x+1−x(x−1)
=−1x，
∵(x+1)(x−1)≠0且x(x−1)≠0，
∴x≠±1且x≠0，
∴取x=−2，
则原式=12．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的额关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
18.【答案】解：(1)设乙种图书售价每本x元，则甲种图书售价为每本1.4x元
由题意得：1400x−16801.4x=10
解得：x=20
经检验，x=20是原方程的解
∴甲种图书售价为每本1.4×20=28元
答：甲种图书售价每本28元，乙种图书售价每本20元
(2)设甲种图书进货a本，总利润W元，则
W=(28−20−3)a+(20−14−2)(1200−a)=a+4800
∵20a+14×(1200−a)≤20000
解得a≤16003
∵w随a的增大而增大
∴当a最大时w最大
∴当a=533本时，w最大
此时，乙种图书进货本数为1200−533=667(本)
答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时利润最大．
【解析】(1)根据题意，列出分式方程即可；
(2)先用进货量表示获得的利润，求函数最大值即可．
本题分别考查了分式方程和一次函数最值问题，注意研究利润最大分成两个部分，先表示利润再根据函数性质求出函数最大值．
19.【答案】解：(1)∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF，
∴△ABE∽△ADF；
(2)证明：∵AG=AH，
∴∠AGH=∠AHG，
∴∠AGB=∠AHD，
∵△ABE∽△ADF，
∴∠BAG=∠DAH，
在△BAG与△DAH中，∠AGB=∠AHD∠BAG=∠DAHAG=AH，
∴△BAG≌△DAH，
∴AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【解析】(1)利用两角对应相等可证出△ABE∽△ADF；
(2)利用(1)的结论，先证出△ABG≌△ADH，得到AB=AD，那么平行四边形ABCD是菱形．
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定，熟悉图形特征是解题的关键．
20.【答案】解：∵CD//AB，
∴△ECD∽△EAB，
∴CDAB=EDEB，即1.6AB=11+BD①，
∵FG//AB，
∴△HFG∽△HAB，
∴FGAB=HGHB，即1.6AB=1.41.4+2.6+BD②，
由①②得11+BD=1.41.4+2.6+BD，解得BD=6.5，
∴1.6AB=11+6.5，解得AB=12．
答：旗杆的高度为12m．
【解析】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，为了使问题简便，尽量构造直角三角形，然后利用三角形相似，对应边成比例可求出相应线段的长．
先证明△ECD∽△EAB，利用相似比得到1.6AB=11+BD①，再证明△HFG∽△HAB得到1.6AB=1.41.4+2.6+BD②，然后解由①②组成的方程组求出BD，再求出AB即可．
21.【答案】8 0.35
【解析】解：(1)m=40×0.2=8，n=14÷40=0.35，
故答案为：8，0.35；
(2)补全频数分布直方图如下：
(4)由题意可知，成绩在94.5分以上的选手中，男生和女生各占一半，选手有4人，
∴有2名男生，2名女生，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴恰好是一名男生和一名女生的概率为812=23．
(1)根据频率=频数÷总数，列式计算即可；
(2)根据(1)的结果补全频数分布直方图即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率、频数分布直方图以及频数分布表等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】(1)证明：∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD//AC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD=EH，OH=DE，
∵OF=OB，
∴BH=FH=1，
∴OD=EH=EH=2，
∴AB=2OD=4，OH= OB2−BH2= 3，
∴DE=OH= 3，
∴BD= DE2+BE2=2，
∴AD= AB2−BD2= 42−22=2 3．
【解析】(1)根据已知条件证得OD//AC即可得到结论；
(2)如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，构建矩形ODEH，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的性质．解题的关键：(1)熟练掌握切线的判定；(2)利用勾股定理构建方程求出AH．
23.【答案】解：(1)∵在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，
∴CD=BD=12BC．
又∵∠B=60°，
∴∠BDC=60°．
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE//AC，
∴∠ADE=∠B=60°．
∴∠ADE=∠BDC，
∴点D为C，E在直线AB上的投射点．
(2)如图③，
作法：
1、在格点上取点G，H，连接HG交BC于Q，(理由：△BQG∽△HQC)
2、作点A关于BC的对称点A′，连接A′Q并延长交AC于P，(∠AQB=∠A′QB=∠PQC)
即：点P就是所求作的点．
(3)存在，
如图④，作点C关于AB的对称点C′，连接BC′AC′，
则四边形ACBC′为正方形，
作点A关于BC的对称点A′，连接A′C′交AB于D，交BC于E，
即：点D，E是所求作的点，
∴C′，D，E，A在同一直线上，
CA′=CA=C′A=C′B=BC，CD=C′D，
∴△C′BE≌△A′CE．
∴BE=12BC=12C′A．
∵AC′//BC，
∴△BDE∽△ADC′，
∴EDC′D=BEC′A=12，
∴EDCD=12．
【解析】(1)先求出∠BDC=60°，进而判断出∠ADE=∠B=60°，即可得出结论；
(2)根据对称性即可作出图形；
(3)根据对称和相似作出图形，再用相似三角形的性质即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了新定义，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，对称性，正确作出图形是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)设OA=t(t>0)，
∵OB=OC=3OA，
∴OB=OC=3t，
∴A(−t,0)，B(3t,0)，C (0,−3t)，
∴该抛物线的对称轴为直线x=−b2×1=−t+3t2=t，
∴b=−2t①，
将A(−t,0)，C (0,−3t)，代入得：
0=t2−bt+c②−3t=c③，
①②③联立解得：t=1b=−2c=−3，(t=0已舍去)，
∴该抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)取BC中点G，作GH⊥BD于H，连接CH，过C作CM⊥BD于M，过P作PN⊥x轴于N，如图：
由y=x2−2x−3得抛物线顶点D坐标为(1,−4)，
而B(3,0)，C(0,−3)，
∴BC=3 2，CD= 2，BD=2 5，
∴BC2+CD2=20，BD2=20，
∴BC2+CD2=BD2，
∴∠BCD=90°，
∵GH⊥BD，
∴GH//CD，
∵G为BC中点，
∴H为BD中点，
∴CH=BH=12BD= 5，
∴∠CHM=2∠CBD=∠PBA，
∵CM=BC⋅CDBD=3 55，
∴MH= CH2−CM2=4 55，
∴tan∠CHM=34，
∴tan∠PBA=34，即PNBN=34，
设P(m,m2−2m−3)，则m2−2m−33−m=34
解得m1=3(与B重合，舍去)或m2=−74，
∴m的值为−74；
(3)过M作MG//x轴交AC于G，过F作FT//x轴交AM于T，过C作CQ//x轴交AM于Q，如图：
∵MG//x轴，FT//x轴，CQ//x轴，
∴MG//FT//CQ//OA，
∴△COA∽△CMG，△ACQ∽AGM，
∴GMOA=CGAC，GMCQ=AGAC，
∴GMOA+GMCQ=CGAC+AGAC=1，
∴1OA+1CQ=1GM，
∵AM平分∠BAC，
∴∠CAM=∠BAM=∠AQC，
∴AC=CQ，
∴1OA+1AC=1GM，
同理可得1AE+1AF=1GM，
由(1)可知：A(−1,0)，C(0,−3)，
∴AC= 10，
∴1AE+1AF=1GM=1OA+1AC=11+1 10=10+ 1010．
【解析】(1)设OA=t(t>0)，则OB=OC=3t，可得该抛物线的对称轴为直线x=t，有b=−2t，将A(−t,0)，C (0,−3t)代入即可求出该抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)取BC中点G，作GH⊥BD于H，连接CH，过C作CM⊥BD于M，过P作PN⊥x轴于N，由抛物线顶点D坐标为(1,−4)，B(3,0)，C(0,−3)，可得∠BCD=90°，GH//CD，从而H为BD中点，CH=BH=12BD= 5，由面积法得CM=BC⋅CDBD=3 55，故tan∠CHM=34，即知tan∠PBA=34，即PNBN=34，设P(m,m2−2m−3)，得m2−2m−33−m=34，即可得m的值为−74；
(3)过M作MG//x轴交AC于G，过F作FT//x轴交AM于T，过C作CQ//x轴交AM于Q，由MG//FT//CQ//OA，得△COA∽△CMG，△ACQ∽AGM，有GMOA=CGAC，GMCQ=AGAC，故GMOA+GMCQ=CGAC+AGAC=1，即得1OA+1CQ=1GM，根据AM平分∠BAC，可得AC=CQ，从而1OA+1AC=1GM，同理可得1AE+1AF=1GM，又A(−1,0)，C(0,−3)，即得1AE+1AF=1GM=1OA+1AC=10+ 1010．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象上点坐标特征、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．分数段
频数
频率
74.5～79.5
2
0.05
79.5～84.5
m
0.2
84.5～89.5
12
0.3
89.5～94.5
14
n
94.5～99.5
4
0.1
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