2022年广东省中山市小榄镇中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省中山市小榄镇中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 一个几何体，如图所示，则它的俯视图是

A.
B.
C.
D.

3. 用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 不等式组的最大整数解为

A.  B.  C.  D.

5. 下列算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 将一副三角板含、、按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为

A.  B.  C.  D.

7. 把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为

A.  B.
C.  D.

8. 如图，中，是中线，，，则线段的长为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，中，，，，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

10. 定义新运算“”：对于实数，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是

A. 且 B.  C. 且 D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
12. 因式分解：______．
13. 已知，两点在双曲线上，且，则的取值范围是______．
14. 如图，在中，点，分别在，上，，，若四边形的面积为，则的面积为______．

15. 如图，直线与轴，轴分别交于、两点，且与反比例函数的图象交于点，若，则______．

16. 实数满足，且，那么______．
17. 如图，在中，，，于点，于点，连接，过点作交于点，则长度为______．
     

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 先化简，再求值：，其中，满足．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知：如图，，，在同一直线上，且，求证：．

21. 某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增万平方米．自年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的倍，这样可提前年完成任务．
    实际每年绿化面积为多少万平方米？
    为加大创建力度，市政府决定从年起加快绿化速度，要求不超过年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，图分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点、在线段上，点在上，支杆，：：，，请根据以上信息，解决下列问题：
    
    求的长度结果保留根号；
    求拉杆端点到水平滑杆的距离结果保留到参考数据：，，
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点．
    求一次函数的解析式及的面积；
    若点是轴正半轴上一点，连接、，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连接，．
    如图，若，，，．
    求证：是等边三角形；求的长；
    过点作，交延长线于点，如图所示．若，求证．

25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，又已知位于轴右侧且垂直于轴的动直线，沿轴正方向从运动到不含点和点，且分别交抛物线、线段以及轴于点，，．
    求抛物线的表达式；
    连接，，当直线运动时，求使得和相似的点的坐标；
    作，垂足为，当直线运动时，求面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的相反数是：．
故选：．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：从上面看该几何体，得到的是长方形，且中间有一条竖线，
因此选项D中的图形，符合题意，
故选：．
根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，明确能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的前提．
 

3.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于第一个不是的数字前面有个，所以可以确定．
此题考查科学记数法表示较小的数的方法，准确确定值是关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
由得，
由得，
不等式组的解集为，
则它的最大整数解为．
故选：．
先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集，然后再确定它的最大整数解．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：、，此选项错误；
B、，此选项正确；
C、，此选项错误；
D、，此选项错误；
故选：．
根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的除法及完全平方公式计算可得．
本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的除法及完全平方公式．
 

6.【答案】
 

【解析】解：如图，

，
，
直尺的上下两边平行，
．
故选：．
由平角等于结合三角板各角的度数，可求出的度数，由直尺的上下两边平行，利用“两直线平行，同位角相等”可得出的度数．
本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：当向左平移个单位时，顶点由原来的变为，
当向上平移个单位时，顶点变为，
则平移后抛物线的解析式为．
故选：．
利用二次函数平移的性质．
本题主要考查二次函数、、的关系问题．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了相似三角形的判断与性质，关键是证出∽，是一道基础题．
根据是中线，得出，再证出∽，得出，求出即可．
【解答】
解：，是中线，
，
在和中，
，，
∽，
，
，
；
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】解：，
，
在和中，，
≌，
，
，
即，
；
故选：．
由等腰三角形的性质得出，再证明≌，得出，运用三角形的外角性质得出，即可得出．
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：根据题意得，
整理得，
因为方程有两个实数解，
所以且，解得且．
故选：．
先根据新定理得到，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式是解决问题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
【解答】
解：由题意得，，
解得．
故答案为：．  

12.【答案】
 

【解析】解；，
故答案为：．
先提公因式，再利用完全平方公式，即可解答．
本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法．
 

13.【答案】
 

【解析】解：，两点在双曲线上，且，
，
解得，
故答案为：．
根据反比例函数的增减性可知，即可求出取值范围．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，，
∽，
，
，
，
，
四边形的面积为，
，
．
故答案为：．
根据可得∽，进而可知其面积之比，再根据四边形的面积为，可求出和的面积．
本题考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图，作轴于，设．

，
．
的面积为，
，
，
，，
，，
，
反比例函数的图象经过点，
．
故答案为．
作轴于，设由，根据三角形的面积公式得出根据相似三角形性质即可表示出点的坐标，把点坐标代入反比例函数即可求得．
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，且，
，
当时，，
原式；
当时，，
原式；
综上，原式．
故答案为：．
先将代入原式进行化简，再分两种情况：和，从而可以解答．
本题考查了绝对值和分式的约分，分情况讨论是本题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
证明≌，由全等三角形的性质得出，，由勾股定理求出则可求出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：



．
 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

19.【答案】解：原式


，
，
，
且，
，
则原式．
 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解方程求出的值，结合分式有意义的条件确定的值，继而代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
 

20.【答案】证明：，
，
在与中
，
≌，
．
 

【解析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质证明即可．
此题考查全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
 

21.【答案】解：设原计划每年绿化面积为万平方米，则实际每年绿化面积为万平方米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
．
答：实际每年绿化面积万平方米．
设平均每年绿化面积增加万平方米，
根据题意得：，
解得：．
答：平均每年绿化面积至少增加万平方米．
 

【解析】设原计划每年绿化面积为万平方米，则实际每年绿化面积为万平方米，根据工作时间工作总量工作效率结合实际比原计划提前年完成任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设平均每年绿化面积增加万平方米，根据工作总量工作效率工作时间，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：过作于．

．
，，
，，
，
，
，
：：，
，
，
；
过作交的延长线于，

，
．
答：拉杆端点到水平滑杆的距离为．
 

【解析】过作于，解直角三角形即可得到结论；
过作交的延长线于，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
 

23.【答案】解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，
，，
，，
则，
解得，
所求一次函数的解析式为，
令，解得，令，解得，
直线与轴、轴的交点坐标为、，
；
设，
，，
，
当时，，
，舍，
当时，，
，舍，
点坐标为或
 

【解析】首先将、两点代入反比例函数，求出点和的坐标，再代入一次函数解析式可得答案；
首先利用勾股定理求出的长，再分，两种情形，分别列出方程，解方程即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，运用分类思想是解决问题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
，
，
，
是等边三角形，
解：是等边三角形，
，
是的中点，
，
在中，，
，
；
证明：连接，

，
，
在和中
，
≌，
，，
，
，
又，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中
，
≌，
，
．
 

【解析】由三角函数可求，可证是等边三角形，通过等边三角形三线合一，得到，解三角形即可；
借助中点和平行，可证得≌，得出，，再证明≌，即可得出结论；
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

25.【答案】解：将点、、的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
点、，，，
轴，，
，
只有当时，∽，
此时，即：，
，
设点的纵坐标为，则，，
，
将点坐标代入二次函数表达式并解得：
或舍去，
则点；
在中，，
轴，，∽，
，
，
而，，
，
即当取得最大值时，最大，
将、坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
当时，的最大值为，
故当时，．
 

【解析】将点、、的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
只有当时，∽，可得：，设点坐标，即可求解；
利用∽得：，再求出的最大值，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．