广西壮族自治区玉林市容县2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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（全卷满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．本考卷分试题卷和答题卡两部分．请将答案填写在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
2．选择题每小题选出答案后，考生用2B铅笔把答案卡上对应题目的选项标号涂黑．
3．非选择题，考生用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）．
1. 式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x≥3B. x≤3C. x≥﹣3D. x≤﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【详解】根据题意得：x+3≥0，解得：x≥﹣3．
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的意义的条件．关键是把握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2. 下列二次根式中能与合并的二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先对各选项二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、 与不是同类二次根式，故A选项不符合题意；
B、与是同类二次根式，故B选项符合题意；
C、是整数与不能合并，故C选项不符合题意；
D、与不是同类二次根式，故D选项不符合题意．
故选：B．
3. 在矩形、菱形、正方形、等边三角形的轴对称图形中，对称轴条数最多的图形是（ ）
A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念及对称轴的概念进行分析解答即可，矩形有两条对称轴，为对边中垂线所在的直线；菱形有两条对称轴，为其两条对角线所在的直线；正方形有四条对称轴，为其两条对角线所在的直线，还有其对边中垂线所在的直线；等边三角形有三条对称轴，为其三边的中垂线所在的直线．
【详解】解：A、矩形有两条对称轴；
B、菱形有两条对称轴；
C、正方形有四条对称轴；
D、等边三角形有三条对称轴．
所以对称轴条数最多的是正方形．
故选C．
4. 下面四组数据中，能构成直角三角形三条边长的是（ ）
A. 6，8，10B. 4，5，6C. ，，D. 9，10，11
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，就不是直角三角形．
【详解】解：A、，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
B、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
C、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
故选：A．
5. 直角三角形两条直角边的长分别为1，，则斜边的长为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理进行计算，即可求得结果．
【详解】解：由勾股定理得：斜边的长为
．
故选：D
6. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判断方法一一判断即可解决问题．
【详解】解：A、∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
C、根据AB=CD，AD∥BC可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项正确；
D、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定的应用，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
7. 如图，菱形中，，的度数是度数的2倍，则对角线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，以及等角对等边，先由菱形的性质：对角线平分对角得出，再结合，得出，即可作答．
【详解】解：∵四边形是菱形
∴
∵的度数是度数的2倍
∴
∴
∴
故选：A
8. 如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的对角线平分一组对角求出，根据菱形的对角线平分一组对角可得，计算即可得解．本题主要考查了正方形的对角线平分一组对角，菱形的对角线平分一组对角的性质，熟记性质是解题的关键．
【详解】解：是正方形的对角线，
，
是菱形的对角线，
．
故选：B．
9. 将矩形纸片按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形，若，则菱形的面积为（ ）
A. B. C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据翻折的性质可得，，再根据菱形的对角线平分一组对角可得，然后求出，再利用勾股定理求出，可得，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，菱形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，熟练掌握翻折变换的性质并求出是解题的关键．
【详解】解：由翻折的性质得，，，
在菱形中，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
或（舍去），
，
菱形的面积．
故选：B．
10. 如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（ ）
A. 18B. 20C. 22D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图，求出的长是解题关键．由基本作图得到，加上平分，则根据等腰三角形的性质得到，，再根据平行四边形的性质得，所以，于是得到，根据等腰三角形的判定得，然后再根据等腰三角形的性质得到，最后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
【详解】解：连接，与交于点，如图，

，平分，
，，，
四边形为平行四边形，
∴，
，
，
，
而，
，
在中，，
．
故选：D．
11. 如图，将面积为的正方形绕点A逆时针旋转，得到正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，证明，是解答本题的关键．连接，根据即可证明，可得到，然后可求得的长，从而可求得的面积，由正方形的面积减去和的面积，即可得出答案．
【详解】解：连接，如图所示：
由旋转的性质可知：，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
又∵正方形面积为，
∴，
∴，
解得：或 （舍去），
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
12. 如图，正方形的边长为，点E在边上，四边形也为正方形，的面积为S，则（ ）
A. B. C. D. S与的长度有关
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了整式的混合运算，阴影部分面积正方形面积正方形面积三角形面积三角形面积三角形面积， 求出即可 ．
【详解】解： 设正方形的边长为，
根据题意得：．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）．
13. 计算：____________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是求解一个数的算术平方根，掌握算术平方根的含义是解本题的关键．
【详解】解：，
故答案为：
14. 矩形的长和宽分别是3与2，则它的面积是__________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的面积等于长乘以宽，进行计算即可．
【详解】解：由题意，矩形的面积为；
故答案为：6．
15. 如图，菱形中，其面积为，，则与间的距离是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，设与间的距离为，根据菱形的面积公式，即可求解．
【详解】解：设与间的距离为，依题意得，，
∴，
故答案为：．
16. 已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，求平方根，解题的关键是掌握完全平方公式．
利用完全平方公式进行计算，然后求平方根即可．
【详解】解：∵，，
∴．
∴．
故答案是：．
17. 如图，已知矩形中，E、F、G、H分别是的中点，四边形的周长等于，则矩形的对角线长__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，三角形的中位线的应用，解题的关键是掌握三角形中位线定理．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．连接，根据矩形的性质可得，根据三角形中位线的性质可得，，根据四边形的周长为列式求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵E、F、G、H分别是的中点，
∴，，
∴四边形的周长等于，
∴．
故答案为：．
18. 如图，点，是正方形的两个顶点，以它的对角线为一边作正方形，以正方形的对角线为一边作正方形，再以正方形的对角线为一边作正方形，…，依次进行下去，则点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点．根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，所以可求出从B到的后变化的坐标，再求出，，，，，，，，的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点的坐标．
【详解】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，
∵从B到经过了3次变化，
∵，．
∴点所在的正方形的边长为2，点位置在x轴正半轴．
∴点的坐标是；
可得出：点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
点坐标为，
由规律可以发现，每经过8次变化后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵，
∴的纵横坐标符号与点的相同，横坐标是0，纵坐标为，
∴的坐标为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
19 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，根据零指数幂，二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解：原式．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查的是整式的乘法运算，二次根式的乘法运算．先利用平方差公式，单项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并得到化简的结果，再代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
21. 如图，四边形是正方形，G是上的一点，，垂足为E，，垂足为F．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）0.8cm．
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确确定出三角形全等的条件是解题的关键．
（1）根据正方形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得，，然后根据等量代换即可得．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
，
，，
，，
，
．
22. 如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，AD＝13m，求这块草坪的面积．
【答案】这块草坪的面积为36平方厘米．
【解析】
【详解】试题分析：
如下图，连接AC，由已知条件根据勾股定理可得AC=5，结合CD=12，AD=13，由勾股定理逆定理可得∠ACD=90°，这样由四边形ABCD是由两个直角三角形构成的即可求出其面积了.
试题解析：
连接AC，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∵（AC）2+（CD）2=25+144=169，（AD）2=（13）2=169
∴（AC）2+（CD）2=（AD）2，
∴∠ACD=90°，即△ACD是直角三角形，
∴草坪面积=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=6+30=36．
即这块草坪的面积为36平方厘米．
23. 如图，在中，，是一个外角，平分．根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）作线段的垂直平分线，与交于点F，与边交于点E，连接，；
（2）判断四边形的形状并证明．
【答案】（1）见详解 （2）四边形为菱形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意，先作出线段的垂直平分线，再与交于点F，与边交于点E，最后连接，，即可作答．
（2）由得，由平分得，则利用三角形外角性质可得，再根据线段垂直平分线的性质得，，于是可证明，所以，然后根据菱形的判定方法易得四边形的形状为菱形．
本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂直平分线的性质和菱形的判定方法．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：四边形为菱形，理由如下：
，
，
平分，
，
而，
，
垂直平分，
，，
在和中
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形．
24. 已知：如图1，四边形四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接、，得到四边形（即四边形的中点四边形）．
（1）四边形的形状是__________，证明你的结论．
（2）如图2，请连接四边形的对角线与，当与满足__________条件时，四边形是正方形，证明你的结论．
【答案】（1）平行四边形，证明见解析
（2）互相垂直且相等（且），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了中位线，平行四边形的判定，正方形的判定．熟练掌握中位线，平行四边形的判定，正方形的判定是解题的关键．
（1）如图1，连接，由点E、H分别是中点，可得，，同理，，，则，，进而可证四边形是平行四边形；
（2）如图2，连结，同理（1）可知，四边形是平行四边形，由，可得，证明平行四边形是矩形，由，可得，进而可证四边形是正方形．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，证明如下；
如图1，连接，
点E、H分别是中点，
∴，，
同理，，，
∴，，
四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：互相垂直且相等（且），证明如下；
如图2，连结，
同理（1）可知，四边形是平行四边形，
∵，
∴，
平行四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形．
25. 勾股定理神秘而美妙，它证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现；当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2．
证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延线于点F，则DF＝EC＝b﹣a．
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DBC＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）
∴a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°．求证：a2+b2＝c2．
【答案】见解析
【解析】
【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，用两种方法表示出S四边形ADEB，两者相等，整理即可得证．
【详解】证明：如图，连接BD，过点B作DE边上的高BF，可得BF=b-a
∵S四边形ADEB ，

S四边形ADEB
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形是解题的关键．
26. 阅读理解：德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”．
（1）如图，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．在图中，若，则__________（保留根号）．
（2）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调．匀称的美感，世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：）
第一步 在矩形纸片一端，利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步 如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步 如图，折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处．
第四步 展平纸片，按所得的点折出，使，则图④中就出现黄金矩形．
问题解决：
①图中（保留根号）；
②请写出图中所有的黄金矩形：，并证明；
③请结合图，在矩形中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并证明．
【答案】（1）；
（2）①；
②图4中的黄金矩形有：矩形、矩形；
③四边形为黄金矩形．
【解析】
【分析】本题考查四边形综合应用，涉及新定义黄金矩形、菱形的判定、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是掌握勾股定理二次根式的计算．
（1）根据黄金分割点的定义可求出的长度；
（2）①用勾股定理可算得答案；
②根据菱形的判定可得答案；
③根据黄金矩形的定义，观察图形，数形结合可得答案；
④观察图形，在矩形中添加一条线段，使四边形是正方形，可得四边形为黄金矩形．
【小问1详解】
解：根据定义可知，为线段的黄金分割点，则，
，
，
解得，
故答案为：；
【小问2详解】
①如图3：
根据题意可得，
∴，
故答案为：，
②图4中的黄金矩形有：矩形、矩形，
，，
，
，
，
矩形是黄金矩形，
，，
，
，
矩形是黄金矩形．
③如图，在矩形上添加线段，使四边形为正方形，此时四边形为所要作的黄金矩形．
，，
，
，
四边形为黄金矩形．