2024年上海高考押题预测卷03【上海卷】数学考试版

这是一份2024年上海高考押题预测卷03【上海卷】数学考试版，共5页。
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，
1．设集合，，，则 ．
2．若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部是 ．
3．已知的展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，且，若，则实数 ．
4．曲线在点处的切线的倾斜角为 ．
5．袋子中有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个，依次从中不放回的取球，则第一次取到白球且第二次取到红球的概率是 ；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是 ．
6．半径为3的金属球在机床上通过切割，加工成一个底面半径为的圆柱，当圆柱的体积最大时，其侧面积为 ．
7．设一组样本数据，，，的方差为4，则数据，，，，的方差为 ．
8．已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则 ．
9．已知直线与抛物线交于，，，两点，点，在准线上的射影分别为点，，若四边形的面积为，则 ．
10．对于任意两个数，，定义某种运算“◎”如下：
①当或时，◎；
②当时，◎．
则集合◎的子集个数是 ．
11．已知函数，则的值域为 ．
12．如图，已知，为的中点，分别以、为直径在的同侧作半圆，、分别为两半圆上的动点（不含端点、、，且，则的最大值为 ．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。
13．已知向量，不共线，实数，满足，则
A．4B．C．2D．
14．已知是定义域为的奇函数，且，则
A．2020B．0C．2D．
15．在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最大值为
A．B．C．D．
16．已知双曲线的左、右焦点分别是，，经过的直线与双曲线的右支相交于，两点，且，则双曲线的离心率等于
A．B．C．2D．3
三、解答题（本大题78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17（14分）如图，在三棱柱中，平面，，，为的中点．
（1）求证平面；
（2）若为的中点，求与所成的角．
18．（14分）记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，，求；
（2）若，求．
19．（14分）为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中学数学教师对新入学的180名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于12小时的有76人，统计成绩后，得到如下的列联表：
（1）请完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；
（2）（ⅰ）若将频率视为概率，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，求这些人中周自主做数学题时间不少于12小时的人数的期望．
（ⅱ）通过调查问卷发现，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，这12人周自主做数学题时间的情况分三类，类：周自主做数学题时间大于等于16小时的有4人：类：周自主做数学题时间大于等于12小时小于16小时的有5人：类：周自主做数学题时间不足12小时的有3人．若从这随机抽出的12人中再随机抽取3人进一步了解情况，记为抽取的这3名同学中类人数和类人数差的绝对值，求的数学期望．
附：参考公式和数据：，．
附表：
20．（18分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上有一点，过点的直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的面积的最大值；
（3）已知直线与直线交于点，记，，的斜率分别为，，，证明：为定值．
21．(18分）已知常数，设．
（1）若，求函数的最小值；
（2）是否存在，且、、依次成等比数列，使得、、依次成等差数列？请说明理由．
（3）求证：“”是“对任意，，，都有”的充要条件．
学生本学期检测数学标准分数大于等于120分
学生本学期检测数学标准分数不足120分
合 计
周做题时间不少于12小时
60
76
周做题时间不足12小时
64
合 计
180
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828