山东省泰安市新泰市（五四制）2023届九年级中考一模数学试卷(含解析)

这是一份山东省泰安市新泰市（五四制）2023届九年级中考一模数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在有理数-5，-2，2，3中，其倒数最大的是( )
A. -5B. -2C. 2D. 3
2. 下列运算正确的是( )
A. a3⋅a2=a6B. a7÷a3=a4
C. (-3a)2=-6a2D. (a-1)2=a2-1
3. 下列图形中，中心对称图形的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4. 某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒(ns)，已知1纳秒=0.000 000 001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为( )
A. 1.5×10-9秒B. 15×10-9秒C. 1.5×10-8秒D. 15×10-8秒
5. 将一副三角板(∠A=30°,∠E=45°)按如图所示方式摆放，使得BA//EF，则∠AOF等于( )
A. 75°B. 90°C. 105°D. 115°
6. 抛物线的函数表达式为y=3(x-2)2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为( )
A. y=3(x+1)2+3B. y=3(x-5)2+3
C. y=3(x-5)2-1D. y=3(x+1)2-1
7. 如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1,0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B'的横坐标是( )
A. -2a+3
B. -2a+1
C. -2a+2
D. -2a-2
8. 如图，Rt△ABC中，∠A=30°，∠ABC=90°，将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'，此时恰好点C在A'C'上，A'B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为( )
A. 13B. 916C. 23D. 34
9. 若关于x的方程2x+mx-2+x-12-x=3的解是正数，则m的取值范围为( )
A. m>-7B. m>-7且m≠-3
C. m<-7D. m>-7且m≠-2
10. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
11. 如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB=∠DAE=36°，AB=AC，AD=AE.连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是( )
A. ∠ADC=∠AEBB. CD//AB
C. DE=GED. BF2=CF⋅AC
12. 如图，在平面直角坐标系中，点O的坐标为(0,0)，点M的坐标为(3,0)，N为y轴上一动点，连接MN，将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，连接NK，OK，求线段OK长度的最小值( )
A. 32B. 323C. 2D. 23
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 一元二次方程4x(x-2)=x-2的解为______．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连结DE，F为DE中点，连结BF.若AC=8，BC=6，则BF的长为______．
15. 若m，n是一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是______ ．
16. 如图，正比例函数y1=mx，一次函数y2=ax+b和反比例函数y3=kx的图象在同一直角坐标系中，若y3>y1>y2，则自变量x的取值范围是 ．
17. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分如图所示，已知图象经过点(-1,0)，其对称轴为直线x=1，下列结论：①abc>0；②4a+2b+c<0；③若抛物线经过点(-3,n)，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n=0(a≠0)的两根分别为-3，5；④5a+c<0，上述结论中正确的是 .(只填序号)
18. 如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y=33x上，若A1(1,0)，且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为S1、S2、S3…Sn，则S2023可表示为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题16.0分)
(1)计算：2-1+|6-3|+23sin45°-(-2)2023⋅(12)2023；
(2)化简：先化简，再求值：(3a+1-a+1)÷a2-4a2+2a+1，其中a从-1，2，3中取一个你认为合适的数代入求值．
20. (本小题10.0分)
如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG=2米，货厢底面距地面的高度BH=0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH=α，木箱的长(FC)为2米，高(EF)和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα=35，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．
21. (本小题10.0分)
某超市准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，它们的进价和售价如下表所示.已知用2000元购进甲种绿色袋装食品的数量与用1600元购进乙种绿色袋装食品的数量相同．
(1)求m的值．
(2)现在要购进甲、乙两种绿色袋装食品共800袋，且总利润不少于4800元，则该超市至少要购进甲种绿色袋装食品多少袋？
22. (本小题11.0分)
如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1=∠BAC，∠2=∠ABP，连结PQ．
(1)求证：AC⋅AP=AB⋅AQ；
(2)判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．
23. (本小题12.0分)
如图，已知反比例函数y=kx与一次函数y=x+m的图象交于点B和点A(1,-k+4)，一次函数的图象与x轴交于点C．
(1)求出两个函数的表达式．
(2)延长AO交反比例函数于点M，设点N是y轴上的点，当S△BMN=52S△AOC时，求点N的坐标．
(3)直接写出x+m≥kx时x的取值范围．
24. (本小题12.0分)
已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D，我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．

(1)[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是 ．
(2)[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
②若∠COD=60°，求证：AC+BD=3OC．
25. (本小题13.0分)
抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于A，B，C三点A(-2,0)，B(3,0)，C(0,4)，点P是第一象限内抛物线上的一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AP，CP，AC，若S△APC=12S△AOC，求点P的坐标；
(3)连接AP，BC，是否存在点P，使得2∠PAB=∠ABC，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.答案：C
解析：解：-5，-2，2，3的倒数分别是-15，-12，12，13，
∵-12<-15<13<12，
∴其倒数最大的是2．
故选：C．
根据乘积为1的两数互为倒数，先求出各个数的倒数，再根据有理数的大小比较法则：①正数都大于0；②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小，判断即可．
本题考查倒数的定义，有理数大小的比较．掌握会求一个数的倒数和比较有理数大小法则是解题的关键．
2.答案：B
解析：
解：A、原式=a5，不符合题意；
B、原式=a4，符合题意；
C、原式=9a2，不符合题意；
D、原式=a2-2a+1，不符合题意，
故选：B．
3.答案：C
解析：解：第1个图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
第2，3，4个图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：C．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
4.答案：C
解析：解：所用时间=15×0.000 000 001=0.000 000 015=1.5×10-8．
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数(包含小数点前面的一个零)所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|<10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数(包含小数点前面的一个零)所决定．
5.答案：A
解析：
解：∵BA//EF，∠A=30°，
∴∠FCA=∠A=30°.∠B=∠BCE=60°，
∴∠OCF=180°-90°-60°=30°，
∵∠F=∠E=45°，
∴∠COF=180°-45°-30°=105°，
∴∠AOF=75°．
故选A．
6.答案：C
解析：解：根据题意知，将抛物线y=3(x-2)2+1向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y=3(x-5)2-1．
故选：C．
此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度”后所得抛物线解析式，直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
7.答案：A
解析：解：设点B'的横坐标为x，
则B、C间的横坐标的长度为a-1，B'、C间的横坐标的长度为-x+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A'B'C，
∴2(a-1)=-x+1，
解得：x=-2a+3，
故选：A．
设点B'的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B'C的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可．
本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
8.答案：D
解析：解：∵∠A=30°，∠ABC=90°，
∴∠ACB=60°，
∵将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'，
∴BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，
∴△BCC'是等边三角形，
∴∠CBC'=60°，
∴∠ABA'=60°，
∴∠BEA=90°，
设CE=a，
在Rt△CBE中，∠ABE=30°，
∴BC=2CE=2a，
在Rt△ABE中，
∴∠A=30°，
∴AC=2BC=4a，
∴AE=AC-BE=3a，
∴CEAE=13，
∴AEAC=34，
∴△ABE与△ABC的面积之比为34．
故选：D．
由旋转的性质得出BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=60°，则△BCC'是等边三角形，∠CBC'=60°，得出∠BEA=90°，设CE=a，则BE=3a，AE=3a，求出AEAC=34，可求出答案．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9.答案：B
解析：解：2x+mx-2+x-12-x=3，
去分母，得2x+m-x+1=3(x-2)．
去括号，得2x+m-x+1=3x-6．
移项，得2x-x-3x=-6-1-m．
合并同类项，得-2x=-7-m．
x的系数化为1，得x=7+m2．
∵关于x的方程2x+mx-2+x-12-x=3的解是正数，
∴x=7+m2>0且x=7+m2≠2．
∴m>-7且m≠-3．
故选：B．
先解分式方程，得x=7+m2.再根据分式方程的解的定义解决此题．
本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义、解一元一次不等式是解决本题的关键．
10.答案：D
解析：解：观察二次函数图象得：a>0,c>0,-b2a>0，
∴b<0，
∴一次函数过第一，三，四象限，反比例函数位于第一，三象限，
∴只有D选项符合题意．
故选：D．
观察二次函数图象得：a>0，c>0，b<0从而得到一次函数过第一，三，四象限，反比例函数位于第一，三象限，即可求解．
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象，得出a>0，c>0，b<0是解题的关键．
11.答案：C
解析：
解：①∵∠CAB=∠DAE=36°，
∴∠CAB-∠CAE=∠DAE-∠CAE，即∠DAC=∠EAB，
在△DAC和△EAB中有：AD=AE∠DAC=∠EABAC=AB，
∴△DAC≌△EAB(SAS)，
∴∠ADC=∠AEB，
故A选项不符合题意；
②∵∠CAB=∠DAE=36°，
∴∠ACB=∠ABC=(180°-36°)÷2=72°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°，
由①可知∠DCA=∠EBA=36°，∠CAB=36°，
∴CD//AB(内错角相等，两直线平行)，
故B选项不符合题意；
③假设DE=GE，则∠DGE=∠ADE=72°，∠DEG=180°-2×72°=36°，
∴∠AEG=∠AED-∠DEG=72°-36°=36°，
∵∠ABE=36°，∠AEG是△ABE的一个外角，
∴∠AEG=∠EAB+∠ABE
而事实上∠AEG≠∠EAB+∠ABE，
∴假设不成立，
故C选项符合题意；
④∵∠FAB=∠FBC=36°，∠ACB=∠ABC=72°
∴△ABC∽△BFC
∴BCFC=ACBC，即BC2=CF⋅AC，
∵BC=BF，
∴BF2=CF⋅AC，
故D选项不符合题意．
故选：C．
12.答案：A
解析：解：∵将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK，
∴MN=MK，∠NMK=60°，
∴△MNK是等边三角形，
∴MK=MN=NK，∠NMK=∠NKM=∠KNM=60°，
如图将△MOK绕点M顺时针旋转60°，得到△MQN，连接OQ，

∴△MOK≌△MQN，∠OMQ=60°，
∴OK=NQ，MO=MQ，
∴△MOQ是等边三角形，
∴∠QOM=60°，
∴∠NOQ=30°，
∵OK=NQ，
∴当NQ为最小值时，OK有最小值，
由垂线段最短可得：当QN⊥y轴时，NQ有最小值，
此时，QN⊥y轴，∠NOQ=30°，
∴NQ=12OQ=32，
∴线段OK长度的最小值为32．
故选：A．
由旋转的性质可得△MNK是等边三角形，可得MK=MN=NK，∠NMK=∠NKM=∠KNM=60°，如图③，将△MOK绕点M顺时针旋转60°，得到△MQN，连接OQ，可得∠OMQ=60°，OK=NQ，MO=MQ，则当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当QN⊥y轴时，NQ有最小值，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
13.答案：x1=2，x2=14
解析：解：4x(x-2)=x-2
4x(x-2)-(x-2)=0
(x-2)(4x-1)=0
x-2=0或4x-1=0
解得x1=2，x2=14．
故答案为：x1=2，x2=14．
根据因式分解法解一元二次方程即可．
本题考查了一元二次方程-因式分解法，解决本题的关键是掌握因式分解法．
14.答案：2.5
解析：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10．
又∵CD为中线，
∴CD=12AB=5．
∵F为DE中点，BE=BC即点B是EC的中点，
∴BF是△CDE的中位线，则BF=12CD=2.5．
故答案为2.5．
利用勾股定理求得AB=10；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF=12CD．
本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线．
15.答案：-3
解析：
解：∵m是一元二次方程x2+2x-1=0的根，
∴m2+2m-1=0，
∴m2+2m=1，
∵m、n是一元二次方程x2+2x-1=0的两个实数根，
∴m+n=-2，
∴m2+4m+2n=m2+2m+2m+2n=1+2×(-2)=-3，
故答案为：-3．
16.答案：x<-1或0解析：解：由图象可知，当x<-1或0y1>y2，
所以若y3>y1>y2，则自变量x的取值范围是x<-1或0故答案为：x<-1或0根据图象，找出双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方的部分对应的自变量x的取值范围即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
17.答案：③④
解析：解：①由图象可知：a<0，c>0，对称轴为直线x=1，
∴abc<0，故①错误，不符合题意；
②由于图象过点(-1,0)，且对称轴为直线x=1，
∴图象也过点(3,0)，
∴x=2时，y>0，
即4a+2b+c>0，故②错误，不符合题意；
③由于图象过点(-3,n)，
由对称性可知：图象也过(5,n)，
令y=n，
∴ax2+bx+c=n有两个解，分别是-3，5，
故③正确，符合题意；
④∵-b2a=1，
∴b=-2a，
∵图象过点(-1,0)，
∴a-b+c=0，
∴c=-3a，
∴5a+c=5a-3a=2a<0，
故⑤正确，符合题意；
故答案为：③④．
根据开口方向，与y轴交点的位置，对称轴的位置确定a<0，b>0，c>0，可判断①不正确；根据x=2，y>0确定②不正确；由对称性可知图象经过(-3,0)和(5,n)，可判断③正确；根据b=-2a，c=-3a，代入5a+c中可判断④正确．
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
18.答案：34×24044
解析：解：由直线y=33x，设B1(m,33m)，
过点B作B1H⊥y轴于点H，则OH=33m，B1H=m，
∴tan∠HOB1=m33m=3，
∠HOB1=60°，
∴∠B1OA1=90°-60°=30°，
∵A1(1,0)，
∴OA1=1，
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴∠B1A1A2=∠A1B1A2=60°，
∴∠OB1A1=∠B1OA1=30°，A1B1=A2B1=A1A2，
∴A1B1=A2B1=A1A2=OA1=1，
同理可得，OA2=A2B2=A3B2=A2A3=2，OA3=A3B3=A3A4=B3A4=4，
∴S1=34×12，S2=34×22，S3=34×42，…，Sn=34×22n-2，
∴S2023=34×24044．
故答案为：34×24044．
先由直线y=33x得到∠B1OA1=30°，再由A1(1,0)得到OA1=1，由△A1B1A2得到∠B1A1A2=∠A1B1A2=60°，从而得到∠OB1A1=30°，∠A2B1B2=90°，然后求出A1B1=A2B1=A1A2，再求出OA2=A2B2，从而得到B1B2，最后求得S1，接下来依次按照上述方法求得S2，S3，…，Sn，最后得到S2021．
19.答案：解：(1)2-1+|6-3|+23sin45°-(-2)2023⋅(12)2023
=12+3-6+23×22+22023⋅(12)2023
=12+3-6+23×22+(2×12)2023
=12+3-6+23×22+12023
=12+3-6+23×22+1
=12+3-6+6+1
=92；
(2)(3a+1-a+1)÷a2-4a2+2a+1
=3-(a-1)(a+1)a+1⋅(a+1)2(a+2)(a-2)
=3-a2+1a+1⋅(a+1)2(a+2)(a-2)
=(2+a)(2-a)a+1⋅(a+1)2(a+2)(a-2)
=-(a+1)
=-a-1，
∵当a=-1，2，-2时，原分式无意义，
∴a=3，
当a=3时，原式=-3-1=-4．
解析：(1)先算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、有理数的乘方、去绝对值，再算乘法，然后算加减法即可；
(2)先算括号内的式子，然后算括号外的除法，再从-1，2，3中取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.答案：解：∵BH=0.6米，sinα=35，
∴AB=BHsinα=0.635=1米，
∴AH=0.8米，
∵AF=FC=2米，
∴BF=1米，
作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，
∠EKF=∠FJB=∠AHB=90°，∠EFK=∠FBJ=∠ABH，BF=AB
∴△EFK∽△FBJ∽△ABH，△FBJ≌△ABH，
∴EFAB=FKBH=EKAH，BJ=BH=0.6米，
即1.61=FK0.6=EK0.8
解得：EK=1.28
∴BJ+EK=0.6+1.28=1.88<2，
∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．
解析：根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数求出BM+EN的长度，再与2比较大小即可解答本题．
本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
21.答案：解：(1)由题意得：2000m=1600m-2，
解得：m=10．
经检验m=10是原分式方程的解．
答：m的值为10；
(2)设购进甲种绿色袋装食品x袋，则购进乙种绿色袋装食品(800-x)袋，
根据题意得：(20-10)x+(13-10+2)(800-x)≥4800
解得：x≥160．
答：该超市至少购进甲种绿色袋装食品160袋．
解析：(1)根据“用2000元购进甲种袋装食品的数量与用1600元购进乙种袋装食品的数量相同”列出方程并解答；
(2)设购进甲种绿色袋装食品x袋，表示出乙种绿色袋装食品(800-x)袋，然后根据总利润列出一元一次不等式组解答．
本题主要考查分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系列出方程．
22.答案：(1)证明：∵∠1=∠BAC，
∴∠1+∠PAC=∠BAC+∠PAC，
∴∠CAQ=∠BAP，
∵∠2=∠ABP，
∴△CAQ∽△BAP，
∴ACAB=AQAP，
∴AC⋅AP=AB⋅AQ．
(2)解：∠PQA=∠ACB，
理由：∵AC⋅AP=AB⋅AQ，
∴APAB=AQAC，
∵∠1=∠BAC，
∴△APQ∽△ABC，
∴∠PQA=∠ACB．
解析：(1)由∠1=∠BAC，得∠1+∠PAC=∠BAC+∠PAC，则∠CAQ=∠BAP，而∠2=∠ABP，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△CAQ∽△BAP，则ACAB=AQAP，所以AC⋅AP=AB⋅AQ；
(2)由AC⋅AP=AB⋅AQ，变形为APAB=AQAC，而∠1=∠BAC，即可由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△APQ∽△ABC，得∠PQA=∠ACB．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、等式的性质等知识，找到相似三角形的对应边和对应角并且证明△CAQ∽△BAP及△APQ∽△ABC是解题的关键．
23.答案：解：(1)将A(1,-k+4)代入y=kx得：
-k+4=k，
解得：k=2，
∴y=2x，A(1,2)，
将A(1,2)代入y=x+m得：
2=1+m，
解得：m=1，
∴y=x+1．
(2)∵y=x+1，令y=0，则x=-1，
∴C(-1,0)．
∴OC=1．
∴S△AOC=12×CO×yA=12×1×2=1，
∵S△BMN=52S△AOC，
∴S△BMN=52，
延长BM交y轴于D点，如图，

设直线BD的解析式为y=mx+b，
∵A(1,2)，∴M(-1,-2)，
∵y=x+1y=2x，
解得：x1=1y1=2，x2=-2y2=-1．
∴B(-2,-1)．
∴-m+b=-2-2m+b=-1，
解得：m=-1b=-3．
∴直线BD的解析式为y=-x-3．
令x=0，则y=-3，
∴D(0,-3)，
∴OD=3
∴S△BMN=12×ND×|xB-xM|=12×|yN-yD|×1=12×|yN+3|，
∵S△BMN=52，
∴|yN+3|=5，
yN=2或-8，
∴N(0,2)或(0,-8)；
(3)由图象可知：点A右侧的部分，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
在点B的右侧的部分，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴x≥1或-2≤x<0时，一次函数的函数值大于或等于反比例函数的函数值，
∴x≥1或-2≤x<0时，x+m≥kx．
解析：(1)利用待定系数法见点A坐标代入反比例函数y=kx中可求k值，则点A可求，再将A坐标代入一次函数y=x+m中可求m的值；
(2)延长BM交y轴于D点，利用待定系数法求得直线BD解析式，求得点D的坐标，利用S△BMN=52S△AOC列出方程即可求解；
(3)利用图象观察一次函数图象在反比例函数图象上方对应的x的值即可得出x的取值范围．
本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，一次函数图象的性质，反比例函数图象的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，利用数形结合法确定x的取值范围是解题的关键．
24.答案：OC=OD
解析：(1)解：猜想：OC=OD．
理由：如图1中，∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∵点O是线段AB的中点，
∴OA=OB，
在△AOC与△BOD中，
∠ACO=∠BDO∠AOC=∠DOBOA=OB，
∴△AOC≌△BOD(AAS)，
∴OC=OD，
故答案为：OC=OD；
(2)解：“足中距”OC和OD数量关系依然成立．
理由：如图，过点O作直线EF//CD，交AC的延长线于点E，交BD于F，

∵EF//CD，
∴∠DCE=∠E=∠CDF=90°，
∴四边形CEFD为矩形，
∴∠OFD=90°，CE=DF，
由(1)同理得，OE=OF，
在△COE与△DOF中，
CE=DF∠CEO=∠DFOOE=OF，
∴△COE≌DOF(SAS)，
∴OC=OD；
(3)①解：“足中距”OC和OD的数量关系依然成立．
理由：如图3中，延长CO交DB的延长线于点E，

∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴AC//BD，
∴∠ACO=∠E，
∵点O为AB的中点，
∴AO=BO，
又∵∠AOC=∠BOE，
∴△AOC≌△BOE(AAS)，
∴CO=OE，
∵∠CDE=90°，
∴OD=12CE=OC；
②证明：如图3中，∵∠COD=60°，OD=OC，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC，∠OCD=60°，
∵∠CDE=90°，
∴tan60°=DECD，
∴DE=3CD，
∵△AOC≌△BOE，
∴AC=BE，
∴AC+BD=BD+BE=DE=3CD，
∴AC+BD=3OC．
(1)猜想：OC=OD.证明Rt△AOC≌△BOD(AAS)，可得结论．
(2)结论成立．过点O作直线EF//CD，交AC的延长线点E，证明△COE≌DOF(SAS)，可得结论．
(3)①结论成立．如图3中，延长CO交BD于点E，证明CO=OE，再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．
②利用等边三角形的判定和性质以及全等三角形的性质证明即可．
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25.答案：解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0)，B(3,0)，C(0,4)，
∴4a-2b+c=09a+3b+c=0c=4，解得a=-23b=23c=4，
∴抛物线的解析式为y=-23x2+23x+4．
(2)如图1，连接OP，设点P的坐标为(x,-23x2+23x+4)(0∵∠AOC=90°，OA=2，OC=4，
∴S△AOC=12×2×4=4，
∴S△APC=12S△AOC，
∴S△AOC+S△POC-S△AOP=S△APC=12S△AOC=2，
∴4+12×4x-12×2(-23x2+23x+4)=2，
整理得x2+2x-3=0，解得x1=1，x2=-3(不符合题意，舍去)，
∴点P的坐标为(1,4)．
(3)存在，
如图2，作BM平分∠ABC交y轴于点M，作MN⊥BC于点N，则∠CNM=90°，
∵BM是∠ABC的平分线，MO⊥BA，MN⊥BC，
∴NM=OM，
∵∠BOC=90°，OB=3，OC=4，
∴BC=OB2+OC2=32+42=5，
∵NMCM=OBBC=sin∠OCB=35，
∴CM=53NM=53OM，
∴53OM+OM=4，
∴OM=32，
∵∠MBA=∠MBC=12∠ABC，
∴当∠PAB=∠MBA时，2∠PAB=2∠MBA=∠ABC，
设AP交y轴于点Q，则∠AOQ=90°，
∴OQOA=tan∠PAB=tan∠MBA=OMOB=323=12，
∴OQ=12OA=12×2=1，
∴Q(0,1)，
设直线AP的解析式为y=kx+1，则-2k+1=0，解昨k=12，
∴直线AP的解析式为y=12x+1，
解方程组y=-23x2+23x+4y=12x+1，得x1=94y1=178，x2=-2y2=0(不符合题意，舍去)，
∴点P的坐标为(94,178).
解析：(1)将A(-2,0)，B(3,0)，C(0,4)代入y=ax2+bx+c，列方程组并且解该方程组求出a、b、c的值，即可求得抛物线的解析式为y=-23x2+23x+4；
(2)连接OP，设点P的坐标为(x,-23x2+23x+4)，由S△AOC+S△POC-S△AOP=S△APC=12S△AOC=2，得4+12×4x-12×2(-23x2+23x+4)=2，解方程求出符合题意的x值，再求出点P的坐标即可；
(3)作BM平分∠ABC交y轴于点M，作MN⊥BC于点N，则NM=OM，由勾股定理求得BC=OB2+OC2=5，可求得CM=53NM=53OM，于是得53OM+OM=4，则OM=32，当∠PAB=∠MBA时，2∠PAB=2∠MBA=∠ABC，设AP交y轴于点Q，由OQOA=tan∠PAB=tan∠MBA=OMOB=12，得OQ=12OA=1，则Q(0,1)，即可求得直线AP的解析式为y=12x+1，再将其与y=-23x2+23x+4联立方程组，即可通过解方程组求出点P的坐标．甲
乙
进价/(元/袋)
m
m-2
售价/(元/袋)
20
13