2024年中考数学复习探究性试题---因式分解

这是一份2024年中考数学复习探究性试题---因式分解，共41页。试卷主要包含了阅读材料，仔细阅读下面例题，解答问题，材料一，例如，用含t的式子表示6p﹣63q等内容，欢迎下载使用。
1．阅读材料：教科书中提到a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．
例如：（1）分解因式：x2﹣2x﹣3．
x2﹣2x﹣3
＝x2﹣2x+1﹣1﹣3
＝（x﹣1）2﹣4
＝（x﹣1）2﹣22
＝（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）
＝（x+1）（x﹣3）．
（2）求代数式x2﹣2x﹣3的最小值．
x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4
∵（x﹣1）2≥0，
∴当x＝1时，代数式x2﹣2x﹣3有最小值﹣4．
结合以上材料解决下面的问题：
（1）若二次三项式x2﹣kx+9恰好是完全平方式，k的值是 ；
（2）分解因式：x2﹣8x+15；
（3）当x为何值时，x2﹣8x+15有最小值？最小值是多少？
2．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
【问题探究】
探究1：如图1所示，大正方形的边长是（a+b），它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出（a+b+c）2 的结果．
【形成结论】
（1）探究2中（a+b+c）2＝ ；
【应用结论】
（2）利用（1）问所得到的结论求解：已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，求ab+bc+ca的值；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，求a2b2+b2c2+c2a2a2+ab+b2的值．
3．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
①ax+by+bx+ay
＝（ax+bx）+（ay+by）
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy+y2﹣1+x2
＝x2+2xy+y2﹣1
＝（x+y）2﹣1
＝（x+y+1）（x+y﹣1）
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣22
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；
（3）多项式x2﹣6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？
4．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值．
5．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴n+3=-4m=3n
解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
（2）已知二次三项式6x2+4ax+2有一个因式是（2x+a），a是正整数，求另一个因式以及a的值．
6．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
7．材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），十位和千位数字相同，个位和百位数字相同，则称该数为“双生数”．例如：3131、4646都是“双生数”．
材料二：将一个四位正整数M的百位和十位交换位置后得到一个四位数N，规定F(M)=M-N9．例如：若M＝1234，则N＝1324，F(M)=1234-13249=-10；若M＝1226，则N＝1226，F(M)=1226-12269=0．
（1）填空：F（1756）＝ ；
（2）证明任意”双生数“M的F（M）一定能被10整除；
（3）若一个”双生数”t＝1000a+100（b+5）+10a+b+5（1≤a≤8，0≤b≤6，且a，b为整数），当t能被7整除时，求满足条件的所有t中F（t）的最小值．
8．阅读下列材料，并用材料中的知识解决后面的问题．
今年7月8日﹣9日，国际生态文明论坛在我国贵阳举办，论坛以“共谋人与自然和谐共生现代化——推进绿色低碳发展”为主题．我们知道，n个相同的因数a相乘记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，我们将3叫做2关于8的“绿色发展数”，记为L2（8）（即L2（8）＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0，n为正整数），则n叫做a关于b的“绿色发展数”，记为La（b）（即La（b）＝n）．
（1）计算以下列“绿色发展数”的值：
L3（3）＝ ，L3（27）＝ ，L3（81）＝ ．
（2）观察（1）中L3（3）、L3（27）、L3（81）三数及其计算结果，猜想La（b1）+La（b2）与La（b1•b2）（a＞0且a≠1，b1＞0，b2＞0）之间的关系，并证明你的猜想．
（3）如果我们将题目中n的范围由“正整数”拓宽为“正数”，且（2）中的结论也仍然成立，已知6关于x（x＞0）的“绿色发展数”为p（p＞0），216关于y（y＞0）的“绿色发展数”为q（q＞0），且|p﹣2+3q|+（x+y﹣t）2＝0．用含t的式子表示6p﹣63q．
9．综合与实践
如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝ ，S2＝ ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： （用式子表达）．
（2）依据这个公式，康康展示了“计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）”的解题过程．
解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．
在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1．
（3）对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
10．【例题讲解】因式分解：x3﹣1．
∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，
∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立．
∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即a-1=0b-a=0-b=-1，
解得a=1b=1，
∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
（1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝ ；
（2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值及另一个因式．
11．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ ．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形图形，则x+y+z＝ ．
（4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接AG和GE，若两正方形的边长满足a+b＝12，ab＝20，你能求出阴影部分的面积吗？
12．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝18时，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到六位数的数字密码171920．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出三个）
（2）若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的五位数的数字密码（只需一个即可）；
（3）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求m、n的值．
13．阅读下列文字与例题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解．
例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法．
（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）；
（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x+y﹣1）
试用上述方法分解因式：
（1）a2+2ab+b2+ac+bc；
（2）4a2﹣x2+4xy﹣4y2．
14．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式： ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝20，ab+ac+bc＝100，则a2+b2+c2＝ ．
（3）小明同学用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，m张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出m的所有可能取值．
【知识迁移】
（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： ．
15．我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：k＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：f（k）=mn．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）=36=12．
【探索规律】
（1）f（20）＝ ；f（36）＝ ；
（2）若x是正整数，猜想f（x2+2x）＝ ；
【应用规律】
（3）若f（x2+2x）=20212022，其中x是正整数，求x的值；
（4）若f（x2﹣48）＝1，其中x是正整数，所有x的值的和为 ．
2024年中考数学复习探究性试题汇编之因式分解
参考答案与试题解析
一．解答题（共15小题）
1．阅读材料：教科书中提到a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．
例如：（1）分解因式：x2﹣2x﹣3．
x2﹣2x﹣3
＝x2﹣2x+1﹣1﹣3
＝（x﹣1）2﹣4
＝（x﹣1）2﹣22
＝（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）
＝（x+1）（x﹣3）．
（2）求代数式x2﹣2x﹣3的最小值．
x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4
∵（x﹣1）2≥0，
∴当x＝1时，代数式x2﹣2x﹣3有最小值﹣4．
结合以上材料解决下面的问题：
（1）若二次三项式x2﹣kx+9恰好是完全平方式，k的值是 6或﹣6 ；
（2）分解因式：x2﹣8x+15；
（3）当x为何值时，x2﹣8x+15有最小值？最小值是多少？
【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】（1）6或﹣6；
（2）（x﹣3）（x﹣5）；
（3）当x＝4时，代数式x2﹣8x+15有最小值﹣1．
【分析】（1）根据题意，即a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式，可以求出k的值；
（2）根据因式分解的一般步骤求解即可；
（3）将x2﹣8x+15转化为（x﹣4）2﹣1，当x＝4时，即可求出最小值．
【解答】解：（1）∵a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式，
而x2﹣kx+9恰好是完全平方式，
同时x2﹣kx+9可以整理为x2﹣kx+32，
∴k＝6或﹣6，
故答案为：6或﹣6．
（2）x2﹣8x+15＝x2﹣8x+42﹣1＝（x﹣4）2﹣1＝（x﹣4）2﹣12＝（x﹣4+1）（x﹣4﹣1）＝（x﹣3）（x﹣5）；
（3）x2﹣8x+15＝（x﹣4）2﹣1，
∵（x﹣4）2≥0，
∴当x＝4时，代数式x2﹣8x+15有最小值﹣1．
【点评】本题考查了因式分解的应用和非负数的性质，解题的关键是掌握完全平方式的概念和因式分解的一般步骤．
2．数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
【问题探究】
探究1：如图1所示，大正方形的边长是（a+b），它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出（a+b+c）2 的结果．
【形成结论】
（1）探究2中（a+b+c）2＝ a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；
【应用结论】
（2）利用（1）问所得到的结论求解：已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，求ab+bc+ca的值；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，求a2b2+b2c2+c2a2a2+ab+b2的值．
【考点】因式分解的应用；完全平方公式的几何背景．
【专题】因式分解；面积法；几何直观；应用意识．
【答案】（1）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）ab+bc+ca＝﹣2；
（3）a2b2+b2c2+c2a2a2+ab+b2的值为2．
【分析】（1）等式左边是从整体看大正方形的面积等于边长的平方，那么所求的等式右边应该表示出组成大正方形的各个部分的面积的和；
（2）把（1）中得到的等式进行整理，可得：ab+bc+ca=(a+b+c)2-(a2+b2+c2)2，代入计算即可；
（3）按照（2）的方法可得分子的值；根据a+b+c＝0可得c＝﹣a﹣b，代入a2+b2+c2＝4中可得分母的值，相除即可求得所求分式的值．
【解答】解：（1）∵等式左边是从整体看大正方形的面积等于边长的平方，
∴等式右边应该表示出组成大正方形的各个部分的面积的和．
∵组成大正方形的各个部分的面积分别为：a2，ab，ac，ab，b2，bc，ac，bc，c2，
∴它们的和为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
故答案为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
∴2（ab+bc+ca）＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）．
∴ab+bc+ca=(a+b+c)2-(a2+b2+c2)2．
∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，
∴ab+bc+ca＝﹣2；
（3）由（1）得：（ab+bc+ca）2＝a2b2+b2c2+c2a2+2ab2c+2abc2+2a2bc，
∴a2b2+b2c2+c2a2＝（ab+bc+ca）2﹣2ab2c﹣2abc2﹣2a2bc
＝（﹣2）2﹣2abc（a+b+c）
＝4﹣2abc×0，
＝4．
∵a+b+c＝0，
∴c＝﹣a﹣b．
∵a2+b2+c2＝4，
∴a2+b2+（﹣a﹣b）2＝4．
即 2a2+2b2+2ab＝4
∴a2+b2+ab＝2
∴原式=42=2．
【点评】本题考查完全平方式及因式分解的应用．根据面积的不同表示方法得到（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac是解决本题的关键．解决本题的难点是：灵活应用得到的等式．
3．先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
①ax+by+bx+ay
＝（ax+bx）+（ay+by）
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy+y2﹣1+x2
＝x2+2xy+y2﹣1
＝（x+y）2﹣1
＝（x+y+1）（x+y﹣1）
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：
x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣22
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；
（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2；
（3）多项式x2﹣6x+1有最小值吗？如果有，当它取最小值时x的值为多少？
【考点】因式分解的应用．
【专题】阅读型；因式分解；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（a﹣b）（a+b+1）；（2）（a+5b）（a﹣b）；（3）当x＝3时，取最小值为﹣8．
【分析】（1）仿照题中的方法，利用分组分解法，分别将各项分解即可；
（2）仿照题中的方法，利用十字相乘法，分别将各项分解即可；
（3）仿照题中的方法，拆项法，得到多项式的最小值．
【解答】解：（1）a2﹣b2+a﹣b
＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）
＝（a﹣b）（a+b+1）；
（2）a2+4ab﹣5b2＝（a+5b）（a﹣b）；
（3）x2﹣6x+1
＝x2﹣6x+9﹣8
＝（x﹣3）2﹣8
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2﹣8≥﹣8，
∴当x＝3时，取最小值为﹣8．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．
4．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值．
【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】阅读型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，应用因式分解的方法，判断出（x﹣y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值各是多少，再把它们相乘，求出xy的值是多少即可．
（2）首先根据a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出△ABC的最大边c的值是多少即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+3＝0，
∴x＝﹣3，y＝﹣3，
∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，
即xy的值是9．
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，
∴a＝5，b＝6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
【点评】（1）此题主要考查了因式分解方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
（2）此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．
5．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴n+3=-4m=3n
解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：仿照以上方法解答下面问题：
（1）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
（2）已知二次三项式6x2+4ax+2有一个因式是（2x+a），a是正整数，求另一个因式以及a的值．
【考点】因式分解的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设另一个因式是（x+b），则（2x﹣5）（x+b）＝2x2+2bx﹣5x﹣5b＝2x2+（2b﹣5）x﹣5b＝2x2+3x﹣k，根据对应项的系数相等即可求得b和k的值．
（2）设另一个因式是（3x+m），利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出m、a的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）设另一个因式是（x+b），则
（2x﹣5）（x+b）＝2x2+2bx﹣5x﹣5b＝2x2+（2b﹣5）x﹣5b＝2x2+3x﹣k，
则2b-5=3-5b=-k，
解得：b=4k=20．
则另一个因式是：x+4，k＝20．
（2）设另一个因式是（3x+m），则
（2x+a）（3x+m）＝6x2+（2m+3a）x+am＝6x2+4ax+2，
则2m+3a=4aam=2，
解得a=2m=1或a=-2m=-1，
另一个因式是3x﹣1，a的值是﹣2（不合题意舍去），
故另一个因式是3x+1，a的值是2．
【点评】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键．
6．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），得出有关m，n的方程组求出即可；
（2）由把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．
【解答】解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），中，
分别令x＝0，x＝1，
即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5
（2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，
则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，
用上述方法可求得：a＝4，b＝4，
所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4），
＝（x+1）（x+2）2．
解法二：把x＝﹣2代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，
则多项式可分解为（x+2）（x2+ax+b）的形式，
用上述方法可求得：a＝3，b＝2，
所以x3+5x2+8x+4＝（x+2）（x2+3x+2），
＝（x+1）（x+2）2．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．
7．材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），十位和千位数字相同，个位和百位数字相同，则称该数为“双生数”．例如：3131、4646都是“双生数”．
材料二：将一个四位正整数M的百位和十位交换位置后得到一个四位数N，规定F(M)=M-N9．例如：若M＝1234，则N＝1324，F(M)=1234-13249=-10；若M＝1226，则N＝1226，F(M)=1226-12269=0．
（1）填空：F（1756）＝ 20 ；
（2）证明任意”双生数“M的F（M）一定能被10整除；
（3）若一个”双生数”t＝1000a+100（b+5）+10a+b+5（1≤a≤8，0≤b≤6，且a，b为整数），当t能被7整除时，求满足条件的所有t中F（t）的最小值．
【考点】因式分解的应用．
【专题】创新题型；能力层次；创新意识．
【答案】（1）.20，
（2任意“双生数”M的F（M）一定能被10整除；
（3）﹣80．
【分析】（1）根据定义可得：1756-15769=1809=20；
（2）设任意”双生数“M的千位数字为x，百位数字为y，则M＝1000x+100y+10x+y＝1010x+101y，N＝1000x+100x+10y+y＝1100x+11y，可得
F（M）=M-N9=90(y-x)9=10（y﹣x）讨论即可解决；
（3）”双生数”t＝1000a+100（b+5）+10a+b+5，当t能被7整除时，2a+3b+1为7的倍数，分两种情况：当0≤b≤4时．3≤2a+3b+1≤29，讨论即可；
当5≤b≤6时，又包括b＝5或b＝6两种情况讨论即可．
【解答】（1）解：根据定义可得：1756-15769=1809=20，
故答案为：20；
（2）证明：设任意”双生数“M的千位数字为x，百位数字为y，
根据题意可得：M＝1000x+100y+10x+y＝1010x+101y，
则N＝1000x+100x+10y+y＝1100x+11y，
∴M﹣N＝1010x+101y﹣1100x﹣11y＝90y﹣90x＝90（y﹣x），
∴F（M）=M-N9=90(y-x)9=10（y﹣x），
∵x、y为正整数，
∴y﹣x必为整数，
∴10（y﹣x）能被10整除，
即F（M）一定能被10整除；
（3）”双生数”t＝1000a+100（b+5）+10a+b+5（1≤a≤8，0≤b≤6，且a，b为整数），
则t＝1010a+101（b+5）＝1010a+101b+505，
当t能被7整除时，
则1010a+101b+5057=144a+14b+72+2a+3b+17 为整数，
∴2a+3b+1为7的倍数，
分两种情况：
当0≤b≤4时．
∵1≤a≤8，0≤b≤4，
∴3≤2a+3b+1≤29，
∴2a+3b+1＝7或14或21或28，
经讨论得a=3b=0，a=5b=1，a=2b=3，a=7b=2，a=4b=4，
∴t为3535或5656或7777或2828或9898或4949，
∴F（3535）＝20，
F（5656）＝10，
F（7777）＝0，
F（2828）＝60，
F（9898）＝﹣10，
F（4949）＝50，
∴F（t）min＝﹣10；
当5≤b≤6时，t＝1010a+101（b+5）＝1010a+101b+505 t＝a（b+5）a（b+5）＝1010a+101（b+5）＝1010a+101b+505，
若b＝5时则t＝1010a+1010＝1010（a+1），
∵t为“双生数”，各个数位上的数字不为0，
∴b≠5，
∴b＝6，
∴t＝1010a+1111，
由题：1010a+11117=144a+159+2(a-1)7 为整数，
∴a﹣1为7的倍数，
∵1≤a≤8，
∴0≤a﹣1≤7，
∴a﹣1＝0或7即a＝1或8，
∵F（t）＝10（b﹣5﹣a﹣1）＝10（6﹣a﹣6）＝﹣10a，
∴F（t）min＝﹣80，
又∵0＞﹣80，
∴满足条件的所有t值中F（t） 的最小值为﹣80．
【点评】本题考查数字的表示方法，理解题意，理清数量关系是解决问题关键．
8．阅读下列材料，并用材料中的知识解决后面的问题．
今年7月8日﹣9日，国际生态文明论坛在我国贵阳举办，论坛以“共谋人与自然和谐共生现代化——推进绿色低碳发展”为主题．我们知道，n个相同的因数a相乘记为an．如2×2×2＝23＝8，此时，我们将3叫做2关于8的“绿色发展数”，记为L2（8）（即L2（8）＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0，n为正整数），则n叫做a关于b的“绿色发展数”，记为La（b）（即La（b）＝n）．
（1）计算以下列“绿色发展数”的值：
L3（3）＝ 1 ，L3（27）＝ 3 ，L3（81）＝ 4 ．
（2）观察（1）中L3（3）、L3（27）、L3（81）三数及其计算结果，猜想La（b1）+La（b2）与La（b1•b2）（a＞0且a≠1，b1＞0，b2＞0）之间的关系，并证明你的猜想．
（3）如果我们将题目中n的范围由“正整数”拓宽为“正数”，且（2）中的结论也仍然成立，已知6关于x（x＞0）的“绿色发展数”为p（p＞0），216关于y（y＞0）的“绿色发展数”为q（q＞0），且|p﹣2+3q|+（x+y﹣t）2＝0．用含t的式子表示6p﹣63q．
【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方；列代数式．
【专题】创新题型；能力层次．
【答案】（1）1；3；4；
（2）证明见解析；
（3）6p﹣63q=t2-144或-t2-144．
【分析】（1）根据定义计算即可；
（2）设La（b1）＝m，La（b2）＝n，则b1•b2＝am+n，根据定义计算即可解决；
（3）由定义6p＝x，63q＝y，因为|p﹣2+3q|+（x+y﹣t）2＝0，则p+3q＝2，x+y＝t，可得xy＝36，6p﹣63q＝x﹣y，进行计算即可解决．
【解答】（1）解：∵31＝3，33＝27，34＝81，
∴L3（3）＝1，L3（27）＝3，L3（81）＝4，
故答案为：1；3；4；
（2）证明：设La（b1）＝m，La（b2）＝n，
∴am＝b1，an＝b2，
∴b1•b2＝am+n，
∴La（b1•b2）＝m+n，
∴La（b1）+La（b2）＝La（b1•b2）；
（3）∵6关于x（x＞0）的“绿色发展数”为p，216关于y（y＞0）的“绿色发展数”为q，
∴6p＝x，216q＝y，即63q＝y，
∴xy＝6p+3q，6p﹣63q＝x﹣y，
∵|p﹣2+3q|+（x+y﹣t）2＝0，
∴p﹣2+3q＝0，x+y﹣t＝0，
∴p+3q＝2，x+y＝t，
∴xy＝36，
当x＞y时，
∴6p﹣63q
＝x﹣y
=(x+y)2-4xy
=t2-144，
当x＜y时，
6p﹣63q
＝x﹣y
=-(x+y)2-4xy
=-t2-144，
即6p﹣63q=t2-144或-t2-144．
【点评】本题考查新定义、理解新定义、应用新定义以及非负数的性质的应用，理解题意是解决问题的关键．
9．综合与实践
如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．
（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝ a2﹣b2 ，S2＝ （a+b）（a﹣b） ；写出利用图形的面积关系所得到的公式： a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） （用式子表达）．
（2）依据这个公式，康康展示了“计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）”的解题过程．
解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．
在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1．
（3）对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
【考点】因式分解的应用；平方差公式的几何背景．
【专题】整式；推理能力．
【答案】（1）a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）332；
（3）证明见详解．
【分析】（1）根据图形可知S1=a2-b2，S2＝（a+b）（a﹣b），根据两个面积相等即可求解；
（2）根据康康的演示，可知将2＝3﹣1代入，即可求解；
（3）根据（1）中结论，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意，S1=a2-b2，S2＝（a+b）（a﹣b），
∵S1＝S2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
（2）2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（32﹣12）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1＝（316﹣1）（316+1）+1＝332﹣1+1＝332，
故答案为：332．
（3）设一个奇数为2n﹣1，则另一个相邻的奇数为2n+1，
∴（2n﹣1）2﹣（2n+1）2＝[（2n﹣1）+（2n+1）][（2n﹣1）﹣（2n+1）]＝4n×（﹣2）＝﹣8n，
∴任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．
【点评】本题主要考查平方差公式的运算，掌握有理数的加减乘除混合运算法则是解题的关键．
10．【例题讲解】因式分解：x3﹣1．
∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，
∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立．
∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即a-1=0b-a=0-b=-1，
解得a=1b=1，
∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．
【方法归纳】
设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．
【学以致用】
（1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝ 1 ；
（2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值及另一个因式．
【考点】因式分解的意义；因式分解﹣分组分解法；同类项．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）1；
（2）k＝﹣5，另一个因式为x2+2x﹣5．
【分析】（1）根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；
（2）根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论．
【解答】解：（1）∵（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，
∴x2﹣mx﹣12＝x2﹣x﹣12，
∴﹣m＝﹣1，
∴m＝1，
故答案为：1；
（2）设另一个因式为（x2+ax+k），
（x+1）（x2+ax+k）＝x3+ax2+kx+x2+ax+k＝x3+（a+1）x2+（a+k）x+k，
∴x3+（a+1）x2+（a+k）x+k＝x3+3x2﹣3x+k，
∴a+1＝3，a+k＝﹣3，
解得a＝2，k＝﹣5，
∴另一个因式为x2+2x﹣5．
【点评】本题考查了因式分解的应用、多项式乘以多项式，解决本题的关键是理解并会运用待定系数法原理．
11．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：
若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝ 155 ．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形图形，则x+y+z＝ 9 ．
（4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接AG和GE，若两正方形的边长满足a+b＝12，ab＝20，你能求出阴影部分的面积吗？
【考点】因式分解的应用；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．
【专题】整式．
【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）155；（3）9；（4）42．
【分析】（1）用两种方法分别求出大正方形的面积，即可得到等式；
（2）将（1）中的公式变形，然后代入已知条件即可；
（3）将（2a+b）（a+2b）用多项式乘以多项式运算法则展开即可求出x，y，z；
（4）将图中阴影部分的面积用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积表示，代入已知条件即可．
【解答】解：（1）∵大正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
又∵大正方形的面积＝（a+b+c）2，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）由（1）得a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2bc+2ac），
∵a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，
∴a2+b2+c2＝225﹣2×35＝155，
故答案为：155．
（3））∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，
∴x＝2，y＝2，z＝5，
∴x+y+z＝9，
故答案为：9．
（4）由图可知，S阴影＝S正方形ABCD+S正方形CEFG﹣S△ABG﹣S△EFG，
∴S阴影=a2+b2-12a(a+b)-12b2=12a2-12ab+12b2=12[(a+b)2-3ab]，
将a+b＝12，ab＝20代入，
得原式=12×(122-60)=42．
∴阴影部分的面积为42．
【点评】本题考查了完全平方式的几何背景，将完全平方公式灵活运用是解决本题的关键．
12．在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x＝18时，x﹣1＝17，x+1＝19，x+2＝20，此时可以得到六位数的数字密码171920．
（1）根据上述方法，当x＝21，y＝7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出三个）
（2）若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的五位数的数字密码（只需一个即可）；
（3）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求m、n的值．
【考点】因式分解的应用；因式分解的意义．
【专题】规律型；因式分解；推理能力．
【答案】（1）211428或212814或42128；
（2）60169；
（3）m、n的值分别是56、17．
【分析】（1）先分解因式得到x3﹣xy2＝x（x﹣y）（x+y），然后利用题中设计密码的方法写出所有可能的密码；
（2）利用勾股定理和周长得到x+y＝14，x2+y2＝100，再利用完全平方公式可计算出xy＝48，然后与（1）小题的解决方法一样；
（3）由x＝27时可以得到其中一个密码为242834，可得x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解为（x﹣3）（x+1）（x+7），再利用多项式的乘法法则展开，然后与x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21比较，即可求出m、n的值．
【解答】解：（1）x3﹣xy2＝x（x﹣y）（x+y），
当x＝21，y＝7时，x﹣y＝14，x+y＝28，
可得数字密码是211428；也可以是212814；142128；
（2）由题意得：x+y=17x2+y2=169，
解得xy＝60，
而x3y+xy3＝xy（x2+y2），
∴可得数字密码为60169．
（3）由题意得：x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝（x﹣3）（x+1）（x+7），
∵（x﹣3）（x+1）（x+7）＝x3+5x2﹣17x﹣21，
∴x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21＝x3+5x2﹣17x﹣21，
∴m-3n=5n=17，解得m=56n=17．
故m、n的值分别是56、17．
【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题；考查了用类比的方法解决问题；（2）小题中计算出xy的值为解决问题的关键；（3）小题中得出x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21可因式分解为（x﹣3）（x+1）（x+7）是解题的关键．
13．阅读下列文字与例题：
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法称作分组分解．
例如：以下两个式子的分解因式的方法就称为分组分解法．
（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）；
（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x+y﹣1）
试用上述方法分解因式：
（1）a2+2ab+b2+ac+bc；
（2）4a2﹣x2+4xy﹣4y2．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣分组分解法．
【专题】计算题；因式分解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）原式前三项结合，后两项结合，利用完全平方公式及提取公因式方法分解即可；
（2）原式后三项提取﹣1，利用完全平方公式及平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（a2+2ab+b2）+（ac+bc）＝（a+b）2+c（a+b）＝（a+b）（a+b+c）；
（2）原式＝4a2﹣（x2﹣4xy+4y2）＝4a2﹣（x﹣2y）2＝（2a+x﹣2y）（2a﹣x+2y）．
【点评】此题考查了分解因式﹣十字相乘法，以及分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝20，ab+ac+bc＝100，则a2+b2+c2＝ 200 ．
（3）小明同学用图3中2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，m张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出m的所有可能取值．
【知识迁移】
（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式： x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1） ．
【考点】因式分解的应用；展开图折叠成几何体；完全平方公式的几何背景；完全平方式．
【专题】几何综合题；开放型；推理能力．
【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（2）200，（3）m＝5或7，（4）x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．
【分析】（1）利用等面积法确定恒等式；
（2）利用（1）中结论求解；
（3）利用所拼成的长方形或正方形的面积从因式分解的角度进行解答；
（4）利用体积关系求关于x的恒等式．
【解答】
解：（1）∵边长为（a+b+c）的正方形的面积为：（a+b+c）2
分部分来看的面积为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
两部分面积相等．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）∵（a+b+c）2
＝（a+b+c）（a+b+c）
＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），
∵a+b+c＝20，ab+ac+bc＝100，
∴202＝a2+b2+c2+2×100，
∴a2+b2+c2＝400﹣200＝200，
故答案为：200．
（3）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：
2a2+3b2+mab
从因式分解的角度看，可分解为（2a+b）（a+3b）或（2a+3b）（a+b）
∴（2a+b）（a+3b）＝2a2+3b2+7ab或（2a+3b）（a+b）＝2a2+3b2+5ab
∴m＝5或7．
（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，
∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．
故答案为：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．
15．我们知道，任意一个正整数k都可以进行这样的分解：k＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在k的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是k的最佳分解，并规定：f（k）=mn．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）=36=12．
【探索规律】
（1）f（20）＝ 45 ；f（36）＝ 1 ；
（2）若x是正整数，猜想f（x2+2x）＝ xx+2 ；
【应用规律】
（3）若f（x2+2x）=20212022，其中x是正整数，求x的值；
（4）若f（x2﹣48）＝1，其中x是正整数，所有x的值的和为 28 ．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）45，1；
（2）xx+2；
（3）4042；
（4）28．
【分析】（1）将20，36分别进行最佳分解求解；
（2）根据最佳分解的定义求解；
（3）根据最佳分解的定义，列方程求解；
（4）根据最佳分解的定义，列方程求解；
【解答】解：（1）∵20＝1×20＝2×10＝4×5，
∵20﹣1＞10﹣2＞5﹣4，
∴4×5是20的最佳分解，
∴f（20）=45，
∵36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9＝6×6，
∵36﹣1＞18﹣2＞12﹣3＞9﹣4＞6﹣6，
∴6×6是36的最佳分解，
∴f（36）＝1，
故答案为：45，1；
（2）∵x2+2x＝x（x+2），x与x+2相差2是最小的，
∴x（x+2）是x2+2x的最佳分解，
∴f（x2+2x）=xx+2，
故答案为：xx+2；
（3）∵f（x2+2x）=xx+2，
∴f（x2+2x）=xx+2=20212022，
解得x＝4042，
经检验，x＝4042符合题意，
（4）∵f（x2﹣48）＝1．
∴设x2﹣48＝t2（t为正整数）．
∴（x+43）（x﹣43）＝t2．
∴x﹣43＜t＜x+43，x＞43，x是正整数，
①当t＝x﹣6时，x2﹣48＝（x﹣6）2，
解得：x＝7，符合题意，
②当t＝x﹣5时，x2﹣48＝（x﹣5）2，
解得：x＝7.3，不合题意舍去，
③当t＝x﹣4时，x2﹣48＝（x﹣4）2，
解得x＝8，符合题意，
④当t＝x﹣3时，x2﹣48＝（x﹣3）2，
解得：x＝9.5，不合题意舍去，
⑤当t＝x﹣2时，x2﹣48＝（x﹣2）2，
解得：x＝13，符合题意，
⑥当t＝x﹣1时，x2﹣48＝（x﹣1）2，
解得：x＝24.5，不合题意，舍去，
⑦当t＝x时，x2﹣48＝x2，
无解，
⑧当t＝x+1或x+2，或x+3，或x+4，或x+5，或x+6，时，
x2﹣48＝t2，
x的值都为负数，不合题意，
综上，x＝7或x＝8或x＝13，
7+8+13＝28，
故答案为：28．
【点评】本题考查了因式分解，根据最佳分解，表示出f（k），建立方程是求解本题的关键