2022-2023学年吉林省四平一中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年吉林省四平一中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=m(m−1)+mi为纯虚数，则实数m的值为( )
A. −1B. 1C. 1或−1D. −1或0
2.已知AB=(−2,1)，则下面说法正确的是( )
A. A点的坐标是(−2,1)B. 当A是原点时，B点的坐标是(−2,1)
C. 当B是原点时，A点的坐标是(−2,1)D. B点的坐标是(−2,1)
3.设e为单位向量，|a|=2，当a，e的夹角为π3时，a在e上的投影向量为( )
A. −12eB. eC. 12eD. 32e
4.复数z=cs67.5°+isin67.5°，则 |z|2z2=( )
A. 22− 22iB. − 22+ 22iC. − 22− 22iD. 1
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=30，b=25，A=42°，则此三角形解的情况为( )
A. 无解B. 有两解C. 有一解D. 有无数解
6.定义：若z2=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)，则称复数z是复数a+bi的平方根.根据定义，则复数−3+4i的平方根是( )
A. 1−2i或−1+2iB. 1+2i或−1−2iC. −7−24iD. 7+24i
7.在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是AE的中点，则CF=( )
A. 12AD−34AB
B. −12AD−34AB
C. 34AD−12AB
D. −34AD−12AB
8.已知e1，e2是单位向量，且e1，e2的夹角为θ，若|e1+te2|≥12(t∈R)，则θ的取值范围为( )
A. [π3,2π3]B. [π4,π2]C. [π6,5π6]D. [0,π6]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 零向量与任一向量平行B. 方向相反的两个非零向量不一定共线
C. 单位向量是模为1的向量D. 方向相反的两个非零向量必不相等
10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )
A. 若a>b，则sinA>sinB
B. 若sinA>sinB，则AcsB
11.已知向量a=(1, 3)，b=(t,1)，则下列说法错误的是( )
A. 若a/​/b，则t= 33
B. 若a⊥b，则t=−1
C. 若a与b的夹角为120°，则t=0或t=−3
D. 若a与b的夹角为锐角，则t>− 3
12.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sinA+sinB)2=(2sinB+sinC)sinC，且sinA> 33，则下列结论正确的是( )
A. c−a=acsCB. a>cC. c>aD. C>π3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复数的三角形式cs2π5+isin2π5的辅角主值为______．
14.设a，b为单位向量，且|a+b|=1，则a⋅b= ______．
15.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC=135°.若山高AD=150m，汽车从C点到B点历时25s，则这辆汽车的速度为______m/s．
16.在△ABC中，G满足GA+GB+GC=0，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若AM=mAB(m>0)，AN=nAC(n>0)，则3m+n的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z1=a+i，z2=1−ai，(a∈R,i是虚数单位)．
(1)若z1−z2在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；
(2)若z1是实系数一元二次方程x2−2x+2=0的根，求实数a的值．
18.(本小题12分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acsB+ 33asinB−c=0．
(1)求A；
(2)若a=2，且△ABC的面积为 3，求b，c．
19.(本小题12分)
如图，在等腰梯形ABCD中，AB/​/CD，|AB|=2|DC|=2，∠BAD=π3，E是BC边的中点．
(1)试用AB，AD表示AE，BC；
(2)求DB⋅AE的值．
20.(本小题12分)
已知向量a=(3,1)，b=(−1,−2)，c=(4,1)．
(1)若(a+kc)⊥(a+b)，求实数k；
(2)设d满足(d−c)//(a−b)，且|d−c|=1，求d的坐标．
21.(本小题12分)
如图，在平面四边形ABCD中，AB=2 3,∠ADC=∠CAB=90°，设∠DAC=θ．
(1)若θ=60°，AB=2CD，求BD的长度；
(2)若∠ADB=∠ABC=30°，求tanθ．
22.(本小题12分)
在直角梯形ABCD中，AB/​/CD，∠DAB=90°，AB=2，AD= 3，P是线段AD上(包括端点)的一个动点．
(1)若CD=1时，
①求AC⋅AB的值；
②若PB⋅PC=54，求|AP|的值；
(2)若AP= 3CD，求|2PB−PC|的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为z是纯虚数，
所以m(m−1)=0m≠0，解得m=1．
故选：B．
根据纯虚数的定义求解．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由AB=(−2,1)，不能得出点A的坐标是(−2,1)，选项A错误；
当A是原点时，B点的坐标是(−2,1)，选项B正确；
当B是原点时，A点的坐标是(2,−1)，选项C错误；
B点的坐标不一定是(−2,1)，选项D错误．
故选：B．
根据平面向量的坐标表示，判断即可．
本题考查了平面向量的坐标表示应用问题，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题意可知：a⋅e=2×1×12=1，
则a在e上的投影向量为a⋅e|e|e|e|=e，
故选：B．
由平面向量数量积运算，结合投影向量的概念求解即可．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了投影向量的概念，属基础题．
4.【答案】C
【解析】解：z=cs67.5°+isin67.5°，∴|z|= cs267．5°+sin267．5°=1，
则 |z|2z2=1cs135∘+isin135∘=cs(−135°)+isin(−135°)=− 22− 22i，
故选：C．
利用模的计算公式、复数三角形式的运算法则即可得出．
本题考查了模的计算公式、复数三角形式的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，由正弦定理有asinA=bsinB，sinB=bsinAa，sinB=56sinA，sin30°2RsinB，所以a>b，所以A>B，故B项错误；
对于选项C，若acsA=bcsB，由正弦定理可得sinAcsA=sinBcsB，
即sin2A=sin2B，所以2A=2B即A=B或2A+2B=π，即A+B=π2，
所以△ABC为等腰角三角形或直角三角形，故C项错误；
对于选项D，若△ABC为锐角三角形，则A+B>π2，∴π2>A>π2−B>0，
又正弦函数在(0,π2)为单调增函数，∴sinA>sin(π2−B)，即sinA>csB，故D项正确．
故选：AD．
根据三角形的基本性质及正弦定理，正弦函数的单调性，逐项分析即可．
本题考查正弦定理，三角函数性质，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由a//b，得1− 3t=0，解得t= 33，故A正确；
由a⊥b，得a⋅b=t+ 3=0，解得t=− 3，故B错误；
当a与b的夹角为120°时，cs120°=t+ 32× t2+1=−12，解得t∈⌀，故C错误；
当a与b的夹角为锐角时，有a⋅b>0，且a,b不共线，则t+ 3>01− 3t≠0解得t>− 3且t≠ 33，故D错误．
故选：BCD．
根据向量平行时的坐标关系即可判断A正确；根据向量垂直的充要条件即可判断B错误；根据向量夹角的余弦公式即可判断C错误；根据向量夹角为锐角时满足a⋅b>0，且a,b不共线即可求出t的范围，从而判断D错误．
本题考查了向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
12.【答案】ACD
【解析】解：由正弦边角关系知：(a+b)2=(2b+c)c，则a2+2ab+b2=2bc+c2，
所以a2+b2−c2=2b(c−a)，而csC=a2+b2−c22ab>0，则c−a=acsC，A正确；
由上知：c−aa>0，即c>a，B错误，C正确；
由c−a=acs C知：sinC−sinA=sin AcsC，则sinA=sinC1+csC=2sinC2csC22cs2C2=tanC2> 33，
又0