北京市西城区北京师范大学附属中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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班级：______ 姓名：______ 学号：______
考生须知
1．本试卷有三道大题，共8页．考试时长100分钟，满分100分．
2．考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效．
3．考试结束后，考生应将答题纸交回．
一、选择题（本大题共10小题，共20分）
1. 下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角的定义判断即可．
【详解】解：A、的两边不是的两边的反向延长线，与不是对顶角，故该选项不合题意；
B、的两边分别是的两边的反向延长线，与是对顶角，故该选项符合题意；
C、与没有公共顶点，与不是对顶角，故该选项不合题意；
D、与没有公共顶点，与不是对顶角，故该选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角的定义．有一个公共点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．
2. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了实数比较大小，实数与数轴．根据数轴上点的位置得到，再推出即可得到答案．
【详解】解：
由数轴得，，
∵，
∴，
∴数轴上点M表示的数可能是，
故选：C．
3. 在下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，算术平方根的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了二次根式的性质，算术平方根，正确的计算是解题的关键．
4. 我们可以用两个相同的三角尺作出平行线，其中的道理是（ ）
A. 同位角相等，两直线平行B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角相等，两直线平行D. 垂直于同一直线的两条直线平行
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理解答．
【详解】解：用两个相同的三角尺作出平行线，其中的道理是内错角相等，两直线平行，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行，熟记判定定理是解题的关键．
5. 如图，将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主语考查了平移的性质，根据平移的性质得到，，再由三角形周长公式得到，则可得四边形的周长．
【详解】解：由平移的性质可得，，
∵三角形的周长为，
∴，
∴四边形的周长，
故选：C．
6. 下列说法：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④内错角相等．其中错误的有( )
A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④
【答案】D
【解析】
【详解】试题解析：①对顶角相等，正确，是真命题；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确，是真命题；
③相等的角是对顶角，错误，是假命题；
④同位角相等，错误，是假命题.
故选D.
7. 下列各数中，，无理数的个数有
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数．
【详解】解：，
∴由定义可知无理数有：0.131131113…，﹣π，共两个．
故选B．
8. 如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为（﹣2，2），“马”的坐标为（1，2），则棋子“炮”的坐标为（ ）
A. （3，2）B. （3，1）C. （2，2）D. （﹣2，2）
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
棋子“炮”的坐标为（3，1）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查点的坐标，根据题意建立平面直角坐标系是关键．
9. 如图所示，给出下列条件：①∠1＝∠B；②∠EFD＋∠B＝180°；③∠B＝∠D；④∠E＝∠B；⑤∠BFD＝∠B．其中，一定能判断AB∥CD的条件的个数为（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定条件进行判断即可．
【详解】解：①当∠1＝∠B时，根据同位角相等，两直线平行可得AB∥CD，故①符合题意；
②当∠EFD＋∠B＝180°时，
∵∠BFC＝∠EFD，
∴∠BFC＋∠B＝180°，
∴AB∥CD，故②符合题意；
③当∠B＝∠D时，无法判断AB∥CD，故③不符合题意；
④当∠E＝∠B时，无法判断AB∥CD，故④不符合题意；
⑤当∠BFD＝∠B时，根据内错角相等，两直线平行得AB∥CD，故⑤符合题意．
则符合题意的有①②⑤，共3个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件．
10. 如图，点，点，点，点，按照这样的规律下去，点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给点的坐标结合图形发现点坐标的变化规律是解题的关键．
根据所给的点的坐标，发现的坐标规律，即可解决问题．
【详解】解：由题知，
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
点的坐标为；
，
由此可见，点的坐标为，点的坐标为为正偶数）；
当时，
，
，
所以点的坐标为．
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，共20分）
11. 将点先向右平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点，则的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形平移变换，解题关键在于掌握左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
直接利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此可得．
【详解】解：将点先向右平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点，
则平移后点的坐标是，即，
故答案为：．
12. 已知点在轴上，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了坐标轴上的点的特点．根据轴上的点的坐标特点，即可确定的值，平面直角坐标系中轴上点的坐标特点：纵坐标为0．
【详解】解：点在轴上，
，
，
故答案为：2．
13. 如图，直线，平分，交于点，，那么的度数为________．
【答案】120°
【解析】
【分析】由，平分，得∠CBD=∠ABD=30°，进而即可得到答案．
【详解】∵，
∴∠ABD=，
∵平分，
∴∠CBD=∠ABD=30°，
∴=180°-30°-30°=120°．
故答案是：120°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与角平分线的定义以及三角形内角和定理，掌握“双平等腰”模型，是解题的关键．
14. 若，则______；若，则______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查利用平方根和立方根的定义解方程，先求出再两边同时开平方即可求解方程，两边同时开立方即可求解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
【详解】∵
∴
∴
∴；
∵
∴
故答案为：，．
15. A、B为数轴上两点，点表示的数为1，点到点的距离是，则点表示的数为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了实数和数轴，利用分类讨论的方法分点在点的右侧或点在点的左侧讨论解答，利用题意列出算式即可．正确利用数轴上的点的性质解答是解题的关键．
【详解】解：∵点A表示的数为1，点到点的距离是，
当点在点的右侧时，点表示的数为；
当点在点的左侧时，点表示的数为，
综上，点表示的数为或，
故答案为：或．
16. 比较大小：______，______1．（填“”或“”）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用平方法比较大小是解题关键．
根据无理数的估算求解即可．
【详解】∵
∴；
∵
∴
∴
∴．
故答案为：，．
17. 若关于x，y的二元一次方程组的解为，则______．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据二元一次方程组的解的定义，求得，再代入计算即可求解．
【详解】解：把代入得，
解得，
∴，
故答案为：16．
18. 已知a，b互为相反数，并且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程组，相反数的概念，解一元二次方程组的一般方法为代入消元法和加减消元法．
由题意可列出关于a，b的一元二次方程组，然后求解得到a，b的值，再代入式子求解即可．
【详解】依题意可得方程组
解得
则．
故答案为：．
19. 如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF= ______ 度．
【答案】70
【解析】
【详解】分析：根据平行线的性质和角平分线的定义求解．
详解：
∵AB∥CD，
∴∠EFD=180-∠FEB；
∵EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，
∴∠EFD=180°-50°-90°=40°，
∴∠EFP=20°；
∴∠EPF=180°-90°-20°=70°．
故答案为70．
点睛：考查平行线的性质，关键是根据：两直线平行，同旁内角互补解答．
20. 甲乙两人进行如下游戏：现有1、2、3、4、5、6、7、8共8个数，每人每次从中勾去2个数，两人轮流进行．经过3次勾数后，还剩两个数，这时所剩两数之差的绝对值即为先勾数的人所得的分数．若甲先开始且希望自己尽可能多地得分，则甲可以保证自己至少得______分．
【答案】5
【解析】
【分析】此题考查最佳对策问题，实数，注意比赛的规则和数据的特点，灵活选用适当的方法解答；
通过分析可知：，甲要划掉4个连续的自然数一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的得分高，就要划掉中间的．而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数．这样甲的得分就可以保证至少5分，
【详解】，甲要划掉4个连续的自然数．一开始可能会试着操作，但不管怎么样，甲想让自己的得分高，就要划掉中间的．
而乙不让他得分高，就要想办法划掉两侧的．但不管划掉哪一侧的，乙一定得划掉一串数的两端，至于哪一端，甚至哪一端的某几个数，最后乙划掉的这些数一定是整个数列的两端的数．
甲第一次勾掉这2个数，将剩下的数两两配对：，同一对两数之差为5．在每次勾掉2个数之后，甲的策略是甲勾掉的2个数与乙勾掉的2个数恰好组成上述3对数中的2对，这样一来，余下的两个数必须是上述3对数中的一对，这两个数之差必为5．可见甲可保证自己得5分．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共10小题，共60分）
21. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算．
（1）根据算术平方根、绝对值的性质化简，再求和即可求解；
（2）根据算术平方根、立方根的性质化简，再求和即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
22. 根据已知条件面出图形：
（1）作，内部有一点；
（2）过点作，交于点；
（3）过点作，交于点，交于点；
（4）过点作交于；
（5）根据所画图形，得______度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）150．
【解析】
【分析】（1）、（2）、（3）、（4）利用题中几何语言画出对应的几何图形；
（5）先根据垂直定义得到∠OFC=90°，再利用三角形外角性质可得到∠ACF的度数．
【详解】（1）如图，点P所；
（2）如图，点C为所；
（3）如图，点D、E为所作；
（4）如图，CF为所作；

（5）∵CF⊥OB，
∴∠OFC=90°，
∴∠ACF=∠O+∠CFO=60°+90°=150°，
故答案150．
【点睛】此题考查作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
23. 已知：如图，，求证：．
请补全证明过程，并在下列括号内填上相应步骤的理由．

证明：（已知），
______（______）．
又（已知），
（______）．
（______）．
（______）
【答案】；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质与判定条件结合已给推理过程进行证明即可．
【详解】证明：（已知），
（同位角相等，两直线平行）．
又（已知），
（内错角相等，两直线平行）．
（平行于同一直线的两直线平行）．
（两直线平行，同旁内角互补）
故答案为：；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
24. 在正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得A，B两点的坐标分别为，过点作轴于点．

（1）按照要求画出平面直角坐标系，写出点的坐标______；
（2）直接写出以A，B，C为顶点的三角形的面积______；
（3）平移三角形，使点的对应点是，点的对应点是，点的对应点是，画出平移后的三角形，并写出点的坐标______．
【答案】（1）图见解析，
（2）3 （3）图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了平移变换，平面直角坐标系．
（1）画出坐标系，根据点的位置写出点的坐标即可；
（2）根据三角形的面积公式求解即可；
（3）利用平移的性质画出平移后的三角形，根据点的位置写出点的坐标即可．
【小问1详解】
解：平面直角坐标系如图，点的坐标为；

故答案为：；
【小问2详解】
解：，
故答案为：3；
【小问3详解】
解：三角形如图所示，点的坐标为；
故答案：．
25. 已知，且与互为相反数，
（1）求的平方根；
（2）若的算术平方根为的立方根为，求．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根、立方根和相反数的定义．
（1）利用非负数的性质求得，，再利用平方根的定义求解即可；
（2）利用立方根的定义结合相反数的定义求得，再利用算术平方根、立方根的定义求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
解得，，
∴，
∴的平方根为；
【小问2详解】
解：∵与互为相反数，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
26. 列方程（组）解应用题
如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由（绣球花）、B（样云）两种图案组合而成．因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，造型3的成本是多少元？
【答案】造型3的成本是22元
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A、B两种图案的成本价分别为x元，y元，根据2个A和4个B的成本价为64元，1个A和3个B的成本价为42元列出方程组求出A、B的成本价，进而求出造型3的成本价即可．
【详解】解；设A、B两种图案的成本价分别为x元，y元，
由题意得，，
解得，
∴，
答：造型3的成本是22元．
27. 如图，在中，点，在边上，点在边上，，且．

（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
（1）根据平行线的性质可得，根据已知得出，即可得出，根据平行线的性质即可求解；
（2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义可得进而根据平行线的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
平分，
，
由（1）知，
．
28. 在数学中，由个数排成的行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵．记作：
其中，这个数称为矩阵A的个元素，数位于矩阵A的第行第列，的矩阵A也记作
例如：的矩阵，其中．
矩阵运算在科学计算中非常重要，矩阵的基本运算包括矩阵的加法，乘法，转置等．
加法：行数和列数分别相等的两个矩阵可以进行加法运算，将两个矩阵各个位置对应元素之和作为和矩阵的元素．如：
乘法：当第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时，两个矩阵可以进行乘法运算，将第一个矩阵的第行的各个元素与第二个矩阵的第列的对应元素的乘积之和作为乘积矩阵的第行第列的元素．
如：
转置：把矩阵的行和列互相交换位置所产生的矩阵称为的转置矩阵，如：
请根据以上材料回答下列问题：
（1）已知矩阵，求．
（2）已知矩阵，分别求．
（3）若实数x、y满足：，求x、y的值.
【答案】（1）
（2）；
（3），
【解析】
【分析】本题考查了新定义．
（1）根据矩阵的转置定义计算即可；
（2）根据矩阵的加法，乘法法则计算即可求解；
（3）先转置，再根据矩阵的乘法法则计算，再列式计算即可求解．
小问1详解】
解：∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴；
；
【小问3详解】
解：
，
∴，，
解得，．
29. 平面直角坐标系中，已知，，将线段在坐标平面内进行平移．
（1）如图1，线段平移后得到线段C与对应，与对应），若点在轴上，点在轴上，直接写出点和点的坐标；
（2）如图2，线段平移后得到线段E与对应，与对应），若点在轴上，连接，若，求点的坐标；
（3）如图3，线段平移后得到线段G与对应，与对应），若点在轴上，连接，若，直接写出点的坐标．
【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为；
（2）点的坐标为或；
（3）点的坐标为．
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，坐标与图形的性质，一元一次方程的应用．
（1）利用平移性质求解即可；
（2）利用平移的性质求得点的纵坐标为4，再利用三角形的面积公式求得，然后分两种情况讨论求解即可；
（3）分两种情况讨论，画出图形，利用面积公式列式求解即可．
【小问1详解】
解：点向右平移6个单位，点在轴上，
点向上平移4个单位，点在轴上，
∴点是点向右平移6个单位，向上平移4个单位，点的坐标为，
点是点向右平移6个单位，向上平移4个单位，点的坐标为；
【小问2详解】
解：同（1）的方法，得到点的纵坐标为4，
∵，解得，
当点在点右边时，
∴点的坐标为，即点向右平移8个单位，向上平移4个单位，
∴点是点向右平移8个单位，向上平移4个单位，
∴点的坐标为；
当点在点左边时，
∴点的坐标为，即点向左平移12个单位，向上平移4个单位，
∴点是点向左平移12个单位，向上平移4个单位，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或；
【小问3详解】
解：设点的坐标为；
当点在轴的正半轴上，如图，
过点作轴的平行线，再分别过点作的垂线，垂足分别为，交轴于点，
由平移的性质得，，，，，
由题意得，
解得，
∴，
∴点的坐标为；
当点在轴的负半轴上时，如图，
过点作轴的垂线，再过点作的垂线，垂足分别为，此时，
由平移的性质得，，，，，
由题意得，
解得（不符合题意，舍去），
综上，点的坐标为．
30. 阅读资料：光遇到水面、玻璃以及其它许多物体的表面都会发生反射．经过入射点且垂直于反射面的直线叫做法线；入射光线与法线的夹角叫做入射角；反射光线与法线的夹角叫做反射角．
光的反射定律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线、入射光线分居法线两侧；反射角等于入射角．
如图，直线，点A在直线上，点C在直线上，光线被反射后再次被反射，入射光线经过两次反射的光线为，其中点在直线上．
（1）在图中画出光线，判断与的位置关系是______．
（2）若直线绕点顺时针旋转，要使光线与光线所在直线垂直，则为______度．
（3）直线绕点顺时针旋转，直线与相交于点，直接写出和旋转角之间的数量关系______．
（4）已知，直线绕点顺时针旋，要使光线能被反射，则的取值范围为______．
【答案】（1）
（2）
（3）或
（4）当或时，能够被反射
【解析】
【分析】（1）根据平行线的判断和性质，光的反射进行判断即可；
（2）先分两种情况：当在的左侧时，当在的右侧时，求出直线与相交于点时，与的关系，然后再根据时，求出的值即可；
（3）根据解析（2）可以得出答案；
（4）分两种情况：当在左侧时，且时，当在右侧时，且时，分别画出图形求出此时的度数，然后进行解答即可．
【小问1详解】
解：根据光的反射可知：，，
∵，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当在的左侧时，直线与相交于点，如图所示：
∵，
∴，
根据光的反射可知：，，，
∵，
∴，
根据三角形内角和可知：，
即，
∴，
，
即；
当在的右侧时，直线与相交于点，如图所示：
∵，
∴，
根据旋转可知：，
根据光的反射可知：,
，
∵，
∴，
根据三角形内角和可知：，
即，
∴，
整理得：；
综上分析可知：直线与的夹角或；
当光线被直线m反射后，反射光线向左，且正好与直线l平行时，如图所示：
∵，
∴，
根据反射可知：，
∵，
∴，
即此时，
∴要使光线被m反射后，反射光线能够再被直线l反射，，
从图上可知：，
∴，
∴当在左侧时，直线与的夹角，
∴此时光线与光线所在直线不可能垂直；
当在右侧时，当光线与光线所在直线垂直时，即时，，
解得：．
【小问3详解】
解：根据解析（2）可知：直线与的夹角或；
【小问4详解】
解：当在左侧时，且时，如图所示：
∵，
∴，，
∵，
∴，
根据光的反射可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴当时，能够被反射；
当在右侧时，且时，如图所示：
∵，，
∴，，
∵，
∴，
根据光的反射可知：，，
即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴当时，能够被反射．
综上分析可知，当或时，能够被反射．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，几何图形中角度的计算，旋转的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．