北京市日坛中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间90 分钟 满分 100 分）
一、选择题（每题3分，共24分）
1. 如图，利用工具测量角，则的大小为（ ）

A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】A
【解析】
【分析】利用对顶角相等求解．
【详解】解：量角器测量的度数为30°，
由对顶角相等可得，．
故选A．
【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．
2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点位于第二象限．
故选：B．
【点睛】本题主要考查点的坐标，熟练掌握点的坐标象限的符合特征：第一象限为“”，第二象限为“”，第三象限为“”，第四象限为“”是解题的关键．
3. 如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=110°，则∠2等于（ ）
A. 65°B. 70°C. 75°D. 80°
【答案】B
【解析】
【分析】根据“两直线平行，同旁内角互补”和“对顶角相等”来求∠2的度数．
【详解】解：如图，∵AB∥CD，∠1=110°，
∴∠1+∠3=180°，即100+∠3=180°，
∴∠3=70°，
∴∠2=∠3=70°．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质．平行线性质定理：
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
4. 下列实数： （每相邻两个之间依次增加一个）， ， ． 中，无理数的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数的认识，根据整数和分数统称有理数，无限不循环小数是无理数判断即可．
【详解】，，（每相邻两个1之间依次增加一个0），是无理数，共4个，
，是有理数，
故选D．
5. 如图，数轴上，下列各数是无理数且表示的点在线段上的是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算、立方根，先根据数轴可得在线段上的点所表示的无理数的取值范围为大于且小于，再根据无理数的估算、立方根的性质逐项判断即可得．
【详解】解：由数轴可知，在线段上的点所表示的无理数的取值范围为大于且小于．
A、0是有理数，则此项不符题意；
B、是无理数，且，则此项符合题意；
C、是无理数，但，则此项不符题意；
D、是无理数，但，则此项不符题意；
故选：B．
6. 下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根和立方根的性质，即可．
【详解】∵，
∴，
∴A错误，不符合题意；
∵，
∴B正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴C错误，不符合题意；
D、，
∴D错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查平方根和立方根的知识，解题的关键是掌握平方根和立方根的性质．
7. 点 的位置如图所示，则下列关于点的位置叙述正确的是（ ）

A. 北偏西方向 处B. 距点 处
C. 在点 北偏西 方向处D. 在点 北偏西方向处
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有序数对表示位置，先求出的余角，再根据方向角的定义，即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
点在点北偏西方向处，
故选：C．
8. 将一副三角板按如图放置，其中，，，则下列结论正确的有（ ）

①；
②如果与互余，则；
③如果，则有；
④如果，必有.
A. ①③④B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可．
【详解】解：如图，点在的延长线上，

，
，
又，
，
又，
，
即，
故①正确，符合题意；
与互余，
，
，
，
，
与不平行，
故②错误，不符合题意；
，
，
，
，
故③正确，符合题意；
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确，符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9. 81的平方根是_____．
【答案】±9
【解析】
【分析】直接根据平方根的定义填空即可．
【详解】解：∵（±9）2＝81，
∴81的平方根是±9．
故答案为：±9．
【点睛】本题考查了平方根，理解平方根的定义是解题的关键．
10. 比较大小：_____2（填“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的大小比较，知道即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
即，
故答案为：．
11. 对于命题“若 则”举出能说明这个命题是假命题的一组，的值，则___， ___．
【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】考查了命题与定理的知识，判断一个命题是假命题的时候可以举出反例．根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可．
【详解】解：当，时，，但是，
故答案为：，（答案不唯一）．
12. 在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据点到x轴的距离为即可解答．
【详解】解：点到x轴的距离为．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了点的坐标的性质，掌握点到x轴的距离为是解答本题的关键．
13. 如图，①；②；③；④；以上四个条件中能判定的有___．
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①；
②；
③；
④
能判定的有①④
故答案为：①④．
14. 如图是中国象棋棋盘的一部分、建立如图所示的平面直角坐标系，已知“車”所在位置的坐标为，则“炮”所在位置的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标确定位置，直接利用“車”位于点，得出原点的位置，进而得出答案．
【详解】解：如图所示：“炮”所在位置的坐标为：．
故答案为：．
15. 街心公园里有一块草坪，长米，宽米，草坪中间修有米宽的小路，将草坪分成两块（如图）则草坪面积（阴影部分）是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了生活中的平移现象，草坪的面积，由此计算即可．
【详解】解：依题意，草坪的面积，
故答案为：．
16. 小明自主创业，在网络平台上经营一家水果店，销售的盒装水果共有草莓、蜜瓜、香梨三种，价格依次为40元盒、50元/盒、80元/盒，为增加销量，小明对这三种水果进行优惠促销，其促销海报如下：
根据平台规定，每笔订单支付成功后，小明会得到支付款的作为货款．
（1）顾客一笔订单购买了草莓、蜜瓜、香梨各一盒，小明收到的货款是 _____元；
（2）若小明在两笔订单中共售出原价220元的水果，则他收到的货款最少是 _____元．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据小志收到的货款=（100+超出100元的部分×0.5）×80%，即可得出结论；
（2）设两次共售出盒草莓，盒蜜瓜，盒香梨，根据总价=单价×数量以及“每笔订单限购3盒水果”即可得出关于的三元一次方程，结合均为非负整数，即可得出的可能值，再分各种出售方式求出小志收到的货款，比较后即可得出结论．
【详解】（1）（元）．
故答案为：．
（2）设两次共售出盒草莓，盒蜜瓜，盒香梨，
依题意，得：，
解得：
，，均非负整数，
，，
当，，时，两次共售出1盒草莓，2盒蜜瓜，1盒香梨，分以下几种情况考虑：
①一笔订单售出1盒草莓，2盒蜜瓜，另一笔订单售出1盒香梨，此时小明收到的货款是（元）；
②一笔订单售出1盒草莓，1盒蜜瓜，另一笔订单售出1盒香梨，1盒蜜瓜，此时小明收到的货款是（元）；
③一笔订单售出1盒草莓，另一笔订单售出1盒香梨，2盒蜜瓜，此时小明收到的货款是（元）；
④一笔订单售出1盒草莓，1盒香梨，另一笔订单售出2盒蜜瓜，此时小明收到的货款是（元）；
⑤一笔订单售出1盒草莓，1盒香梨，1盒蜜瓜，另一笔订单售出1盒蜜瓜，此时小明收到的货款是（元）；
当，，时，两次共售出3盒草莓，2盒蜜瓜，分以下几种情况考虑：
①一笔订单售出3盒草莓，另一笔订单售出2盒蜜瓜，此时小明收到的货款是（元）；
②一笔订单售出2盒草莓，另一笔订单售出2盒蜜瓜，1盒草莓，此时小明收到的货款是（元）；
③一笔订单售出2盒草莓，1盒蜜瓜，另一笔订单售出1盒蜜瓜，1盒草莓，此时小明收到的货款是（元）；
综上所述，小明收到的货款最少是元．
故答案为：．
【点睛】本题考查了应用类问题以及三元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据促销方案，求出小志收到的货款；（2）找准等量关系，正确列出三元一次方程．
三、解答题（17-24每题5分， 25、26题每题6分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先算算式平方根，立方根以及绝对值，再算加减法，即可求解．
【详解】原式=
=．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握算式平方根，立方根以及绝对值的概念，是解题的关键．
18. 如图，点P为内一点，根据下列语句画图并回答问题：

（1）画图：①过点P画边的垂线，垂足为点M；
②过点P画边的平行线，交于点N；
（2）连接，则线段与的大小关系是 ________，依据是 _______．
【答案】（1）见解析 （2），垂线段最短
【解析】
【分析】（1）①根据画垂线的方法画出垂线即可；②根据平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，过P作的垂线即可；
（2）根据垂线段最短可得结论．
【小问1详解】
解：①直线即为所求作；
②直线即为所求作；
【小问2详解】
根据垂线段最短可知：．
故答案为：，垂线段最短．
【点睛】本题考查作图-作垂线、垂线段最短、平行线性质，理解题意，熟练掌握基本作图方法是解答的关键．
19. 已知点 ，解答下列各题：
（1）点在 轴上，求出点的坐标；
（2）若点在第二象限，且它到轴的距离与轴的距离相等，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查坐标系,象限内点的符号特征，坐标轴上点的特征以及点到坐标轴的距离．
（1）根据轴上的点的纵坐标为0，列出方程求出的值，即可；
（2）根据第二象限的点的符号特征，结合点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，列出方程，求出的值，再进行计算即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵点在第二象限，
∴，
∵它到轴的距离与轴的距离相等，
∴，
∴，
∴，
∴．
20. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是， ， ，三角形中任意一点，经平移后对应点 将三角形作同样的平移得到三角形． 点， ， 对应点分别为
（1）点的坐标为 ；
（2）①画出三角形；
②三角形的面积为 ；
【答案】（1）
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题考查平移作图，平移的性质、坐标与图形，三角形的面积；
（1）根据平移方式，可直接得出答案．
（2）①由题意可得出，，点的坐标，再描点连线即可．
②利用割补法求三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：∵三角形中任意一点，经平移后对应点
∴平移方式为向左平移5个单位再向上平移4个单位，
∵， ，
∴，，
故答案为：．
【小问2详解】
①如图，三角形即为所求．
②三角形的面积为．
故答案为：7．
21. 如图， 已知，，，求的度数．阅读下面的解答过程，并填空：
解：∵ (已知)，
(两直线平行，内错角相等)；
(已知)，
(等式的性质)，
(等量代换)，
( )，
( )，
．
【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；
【解析】
【分析】本题考查了利用平行线的判定与性质求角度，先由平行线的性质得出，从而推出，判定出，再由平行线的性质即可得出答案，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）；
∵（已知），
∴（等式的性质），
∴（等量代换），
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴，
故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；．
22. 有一块面积为400平方厘米的正方形纸片．
（1）该正方形纸片的边长为______；
（2）小明想沿着边的方向，裁出一块面积为360平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为，他不知道能否裁得出来，聪明的你帮他想想，他能裁得出来吗？
【答案】（1）
（2）裁不出来，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平方根的定义，算数平方方根的定义的实际应用；
（1）由正方形的面积，利用算术平方根，即可求解；
（2）设长为，宽为，可求出长方形的长，再与正方形的边长比较，即可求解；
理解定义：“()的平方根为，算术平方根为． ” 是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意得
()，
故答案：；
小问2详解】
解：不能裁出来，理由如下
设长为，宽为，由题意得
，
整理得：，
解得：，(舍去)，
长方形的长为，
，
裁不出来．
23. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，，，．试说明：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，(垂直的定义）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴．（两直线平行，内错角相等）
∵．
∴（等量代换）．
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）．
24. 阅读学习，解决问题：
小高在学习中遇到一有趣个问题：如何比较与的大小
请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题
（1）我们知道：；，……
由此可归纳出结论1：若，则
（2）
……
由此可归纳出结论2：______．
（3）根据上面的结论计算：
∵
∴
类似的：
∵
∴______
由此可归纳出结论3：______（n为正实数）
（4）请你根据以上总结的结论，比较与的大小
【答案】（1）
（2）
（3）；
（4）
【解析】
【分析】（1）根据有理数大小比较，即可求解；
（2）根据平方差公式进行计算即可求解；
（3）根据因式分解进行计算即可求解；
（4）先分母有理化，然后根据（1）的结论即可求解．
【小问1详解】
若，则，
故答案为：．
【小问2详解】
解：，
故答案为：．
【小问3详解】
解：，
故答案为：，．
【小问4详解】
解：∵，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，实数的大小比较，读懂并理解示例是解题的关键．
25. 平面内有两个锐角与，点B在直线的上方．保持不动，且的一边，另一边与直线相交于点F．

（1）若，，且位置如图1，当点E，O，D在同一条直线上（即点O与点F重合）时， ________°；
（2）若，，，当点E，O，D不在同一条直线上，画出图形并求度数（用含α，β的式子表示）．
【答案】（1）85 （2）或，图见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线性质和角的和差关系解出即可；
（2）分情况画出图形，利用平行线性质，三角形内角和性质，对顶角的性质，三角形外角的性质即可探究出结论．
【小问1详解】
∵，
∴，
∴，
故答案为：85；
【小问2详解】
①点在下方时，如图，设与交于点，

∵，
∴，
∴；
②点在下方时，如图，

过点向右作，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
③当点在下方时，设与交于点，如图，

∵，
∴，
又∵，
∴,
∵，
∴．
④点在左侧时，延长与交与点，过点作，如图：

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
⑤点在右侧时，与交于点，如图：

∵，
∴，
∴，
∴；
⑥点在下方时，与的延长线交于点，如图：

∵，
∴，
∴，
∴；
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，对顶角相等，三角形外角的性质，准确作出图形是解题的关键．
26. 对于平面直角坐标中的任意两点，，若点到两坐标轴的距离之和等于点到两坐标轴的距离之和，则称，两点为和合点，如图中的，两点即为“和合点”．
（1）已知点，，，．
①在上面四点中， 与点为“和合点”的是 ；
②若点， 过点 作直线轴，点在直线上， 、两点为“和合点”， 则点的坐标为 ；
③若点在第二象限，点在第四象限， 且、两点为“和合点”， 、两点为“和合点”， 求， 的值．
（2）如图2，已知点，，点是线段上的一动点， 且满足 过点作直线轴，若在直线上存在点，使得，两点为“和合点”，直接写出的最大值．
【答案】（1）①A，C；②或；③
（2）
【解析】
【分析】本题考查了坐标系中各象限点的坐标特征，“和合点”的定义，解二元一次方程组；
（1）①分别求出四点到两坐标轴的距离之和，然后根据“和合点”的概念求解即可；
②，然后根据A、G两点为“和合点”列方程求解即可；
③根据A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”列方程求解即可；
（2）首先求出点R到两坐标轴的距离之和，然后根据R，S两点为“和合点”求解即可．
【小问1详解】
①∵，，，
∴点A到两坐标轴的距离之和为，
点B到两坐标轴的距离之和为，
点C到两坐标轴的距离之和为，
点D到两坐标轴的距离之和为，
∵点到两坐标轴的距离之和为，
∴在上面四点中，与点为“和合点”的是A，C．
故答案为：A，C；
②∵点，过点F作直线轴，点G直线l上，
∴设
∴点G到两坐标轴的距离之和为
∵A、G两点为“和合点”
∴，解得
∴点G的坐标为或；
③∵点在第二象限，点在第四象限，
∴，，，，
∵A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，
∴，即
解得；
【小问2详解】
∵点是线段上的一动点，且满足，
∴
∴点R到两坐标轴的距离之和为
设
∵R，S两点为“和合点”，
∴
∴．
所以最大值为．优惠促销
•单笔订单总价超过100元时，超过100元的部分打5折．
•每笔订单限购3盒水果，种类不限．