山东省淄博市张店区淄博市张店区第六中学2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题

这是一份山东省淄博市张店区淄博市张店区第六中学2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“4的算术平方根”用数学式子表示正确的是（ ）
A.±4 B.4 C.±2 D.2
2.下列运算正确的是（ ）
A.2+3＝23 B.6-3＝3 C.3×2＝6 D.6÷2＝3
3.下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B.
4.如果关于x的一元二次方程cx2-ax-b＝0(c≠0)能用公式法求解,那么必须满足的条件是（ ）
A.b2-4ac≥0 B.a2+4bc≥0 C.a2-4bc＞0 D.c2-4ab＜0
5.关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根分别为2和-3，则分解因式ax2+bx+c等于（ ）
A.(x-2)(x+3) B.(ax-2)(x+3) C.a(x-2)(x+3) D.(x+2)(x-3)
6.如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，求x的值.根据题意，下列方程正确的是（ ）
A.36×25-36x-25x＝840 B.36x+25x＝840 C.(36-x)(25-x)+x2＝840 D.(36-x)(25-x)＝840

第6题图 第7题图 第8题图
7.我们知道:四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为（ ）
A.（2，3） B.（2，2） C.（1，3） D.（3，1）
8.利用图形的分、和、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法.如图1， BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝7，b＝3，则矩形ABCD的面积是（ ）
A.42 B.363 C.253 D.21
9.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图① 所示菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图② 所示正方形，并测得对角线AC＝ 20cm，则图① 中对角线BD的长为（ ）
A.10cm B.103cm C.106cm D.20cm
10.如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE⊥BD交AD于点E，已知AB＝5，△DOE的面积为152，则DE的长为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.52
二、填空题（本题共5小题，请将结果填在答题纸指定位置）
12.已知菱形的两条对角线长分别为4cm，8cm，则它的面积是________cm2.
13.已知α、β是方程x2-2x-2024＝0的两个实数根，则a2-4a-2β-2的值是________.
14.如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，连接AE，则∠BAE的度数为________°;

第10题图 第14题图 第15题图
15.如图，在Rr△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝15，P为边BC上一动点，PE⊥ AB于E,PF⊥AC于F,连接EF,则EF的最小值为_________________.
三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上）

17.解方程:（1）x2+6x+8＝0; （2）3x（x-1）＝2-2x.
18.已知关于x的一元二次方程x2-2x-3m2＝0.
（1）求证:方程总有两个不相等的实数根;
（2）若方程的两个实数根分别为a，β，且a+2β＝5，求m的值.
19.观察下列运算:

(1)通过观察，将你发现的规律用含有n的式子表示出来，并注明n的取值;
20.如图1，平行四边形ABCD各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.
（1）求证:四边形EFGH为矩形;
（2）如图2，当平行四边形ABCD为矩形时.
① 求证:四边形EFGH为正方形;② 若AD＝14，四边形EFGH的面积为18，求AB的长.
21.（1）观察与发现:小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图① ）;在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到四边形AEDF（如图② ）.小明认为四边形AEDF是菱形，你同意吗？请说明你的理由.
（2）实践与运用将矩形纸片ABCD（AB＜BC）沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③ ）;再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为 EG（如图④ ）;再展平纸片（如图⑤ ）.猜想△EBG的形状，证明你的猜想，并求图⑤ 中∠FEG的度数
22.阅读材料，解答问题:
材料1：为了解方程（x2)2-13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2-13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1＝2，x2＝-2，x3＝3，x4＝一3.我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法.
材料2：已知实数m，n满足m2-m-1＝0，n2-n-1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2- x-1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝-1.
根据上述材料，解决以下问题:
（1）直接应用:方程x4-5x2+6＝0的解为____________________;
（2）间接应用:已知实数a，b满足:2a4-7a2+1＝0，2b4-7b2+1＝0且a2≠b2，求a4+b4的值;
（3）拓展应用:已知实数m，n满足:1m4+1m2＝7，n2-n＝7且n＞0，求1m4+n2的值.
23.如图1，边长为22的正方形ABCD中，点P为边BC上一个动点，连接AP，作MN ⊥AP于点E,交边AB于M,交边CD于N.
（1）求证:MN＝AP;
（2）如图2，连接BD，线段MN交BD于点F，点E为AP的中点.
① 当BP＝1时，求EF的长;
② 线段EF是否存在最小值和最大值，若存在，请直接写出线段EF的最小值和最大值;若不存在，请说明理由.
2023-2024学年 张店六中/铁山/五中 第二学期期中
初二数学试题 答案及评分标准
选择题（每小题4分，共40分） 1-5 B C D B C 6-10D A A C B
二、填空题 （每小题4分，共20分）11. x<12 12.16 13.2018 14.67.5 15. 12017
三、解答题（共8小题，共90分）
16.（本题共10分）
（1）原式＝（6×62-5×22）（14×22+63）······2分
＝（36-522）（122+63）·········3分
＝33+6-52-533··············4分
=433+72．················5分
（2）解：∵x＝2+3，y＝2-3，
∴x+y ＝（2+3）+（2-3）＝4，··········6分
xy ＝（2+3）（2-3）＝1，···········7分
∴x2+xy+y2x+y
=(x+y)2-xyx+y ·················9分
=154 ·················10分
17.（本题共10分）
（1）解：x2+6x+8＝0，
（x+2）（x+4）＝0，·················3分
∴x+2＝0或x+4＝0；·················4分
∴x1＝﹣2，x2＝﹣4．··················5分
（2）解： 3x（x﹣1）＝2﹣2x，
3x（x﹣1）+2x﹣2＝0，
3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，·················7分
（x﹣1）（3x+2）＝0，·················8分
x﹣1＝0或3x+2＝0，·················9分
∴x1＝1，x2=-23；··················10分
18.（本题共10分）
解：（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，·················1分
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2）·················3分
＝4+12m2＞0，·················4分
∴方程总有两个不相等的实数根；·················5分
（2）解：由题意得：
α+β=2α+2β=5，··7分 解得：α=-1β=3，····8分
∵αβ＝﹣3m2， ∴﹣3m2＝﹣3，··9分 ∴m＝±1 .···10分
19.（本题共10分）
解：（1）1n2+1-n·················1分
= （n2+1+n）（n2+1-n）（n2+1+n）··············3分
=n2+1+n（n为正整数）···········5分
（2）原式＝（2-1）+（3-2）+（4-3）+…+（2024-2023）·····8分
=2-1+3-2+4-3+⋯+2024-2023 =2024-1．···10分
20.（本题共12分）
（1）证明：∵FA平分∠BAD，HB平分∠ABC， ∴∠EAB=12∠BAD，∠EBA=12∠ABC，···1分
在▱ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠GAB+∠GBA=12（∠DAB+∠ABC）＝90°，即∠AEB＝90°，·········2分
同理可得，∠F＝90°，∠H＝90°···············3分
∴∠AEB＝∠F＝∠H＝90°∴四边形EFGH是矩形；···4分
（2）①证明：如图2，∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD＝90°，
∵矩形ABCD的各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，
∴∠EAB＝∠FAD=12∠BAD＝45°，∠EBA＝∠HBC=12∠ABC＝45°，
∠BCH＝∠GCD=12∠BCD＝45°，∠ADF＝∠GDC=12∠ADC＝45°，·············5分
∴△ABE≌∠CDG（ASA），△ADF≌△BCH（ASA），·
∴AE＝BE＝DG＝CD，AF＝DF＝HB＝HC，·············6分
∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，··········7分
∵∠AEB＝90°＝∠HEF，∴四边形EFGH为正方形；··············8分
②解：∵四边形EFGH为正方形，四边形EFGH的面积为18，
∴EF＝FG＝GH＝HE=18=32，··············9分
∵△ADF是等腰直角三角形，AD＝14，
∴根据勾股定理得：AF＝72，·············10分
∴AE＝AF﹣EF＝42，·············11分
∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB=8．·····12分
21.（本题共12分）
（1）解：（1）同意．
由第一次折叠可知：AD为∠CAB的平分线，∴∠1＝∠2，·····1分
由第二次折叠可知：∠CAB＝∠EDF，AE＝ED，AF＝FD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，·········3分
在△AED与△AFD中，
∠1=∠2AD=AD∠3=∠4，
∴△AED≌△AFD（ASA），∴AE＝AF，DE＝DF，·········5分
∴AE＝AF=DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形．···········6分
（2）△EBG的形状是等腰三角形．················7分
理由如下：由折叠知，四边形ABFE是正方形，∠AEB＝45°，····8分
∴∠BED＝180°﹣45°＝135°．又由折叠知，∠BEG＝∠DEG=12∠BED＝67.5°，····9分
又∵AD∥BC，∴∠BGE＝∠BEG，∴BG＝BE，即△EBG为等腰三角形．······10分
又∵∠BEF＝45°，∴∠FEG＝67.5°﹣45°＝22.5°．········12分
22.（本题共13分）
解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0，················1分
∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，∴y1＝2，y2＝3，·······2分
∴x2＝2或3，∴x1=2，x2=-2，x3=3，x4=-3；·3分
（2）令a2＝m，b2＝n．∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，···5分
∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，
∴m+n=72mn=12， ···············7分
∴ a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn=454，···············9分
（3）令1m2=a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，···············10分
∵n＞0，∴1m2≠-n，即a≠b，∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，··11分
∴a+b=-1ab=-7，···············12分
故1m4+n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15．···············13分
23.（本题共13分）
（1）证明：过点B作BG∥MN，交AP于点H，交CD于点G，·········1分
∵四边形ABCD是正方形，∴BG＝MN，BG⊥AP，∴∠BAP+∠ABH＝90°，
∵∠CBG+∠ABH＝90°，∴∠BAP＝∠CBG，······2分
在△BAP和△CBG中，
∠BAP=∠CBGAB=BC∠ABP=∠BCG=90°，
∴△BAP≌△CBG（ASA），········3分
∴AP＝BG，∴AP＝MN；········4分
（2）解：（1）连接AF，CF，PF．············5分
∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠ADF＝∠CDF＝45°，
∵DF＝DF，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴FA＝FC，∠DAF＝∠DCF，··6分
∵EF垂直平分线段AP，
∴FA＝FP，∴FP＝FC，∴∠FPC＝∠FCP，∴∠FPC＝∠FAB，····7分
∵∠FPC+∠FPB＝180°，
∴∠FAB+∠FPB＝180°，
∴∠AFP+∠ABP＝180°，
∵∠ABP＝90°，∴∠AFP＝90°，·········8分∴EF=12AP，
∵AP=AB2+BP2=8+1=3，∴EF=12AP=12×3=32；···9分
②EF存在最小值和最大值，EF的最小值为2，最大值为2. ·····13分