山东省淄博市张店区张店区实验中学2023-2024年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每题4分，共48分）
1. 下列事件是随机事件的为（ ）
A. 地球围绕太阳转
B. 早上太阳从西方升起
C. 一觉醒来，天气晴朗
D. 口袋中有8个白球，从口袋中任取一球，会摸到黑球
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了随机事件．熟练掌握随机事件的定义是解题的关键．
根据随机事件的定义判断作答即可．
【详解】解：由题意知，地球围绕太阳转是必然事件，故A不符合要求；
早上太阳从西方升起是不可能事件，故B不符合要求；
一觉醒来，天气晴朗是随机事件，故C符合要求；
口袋中有8个白球，从口袋中任取一球，会摸到黑球是不可能事件，故D不符合要求；
故选 ：B．
2. 下列方程中，二元一次方程的个数有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的定义．熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
根据二元一次方程的定义判断作答即可．
【详解】解：①中是二元一次方程，故符合要求；
②中不是整式方程，不是二元一次方程，故不符合要求；
③中最高次数为二，不是二元一次方程，故不符合要求；
④中是二元一次方程，故符合要求；
⑤中最高次数为二，不是二元一次方程，故不符合要求；
⑥中不是整式方程，不是二元一次方程，故不符合要求；
故选：B．
3. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 相等的角是对顶角B. 若实数，满足，则
C. 同旁内角互补D. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
【答案】D
【解析】
【分析】根据对顶角的含义可判断A，根据平方根的含义可判断B，根据平行线的性质可判断C，根据三角形的外角的性质可判断D，从而可得答案．
【详解】解：、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题，不符合题意；
B、若实数，满足，则，故错误，是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意；
D、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，正确，是真命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是对顶角的含义，平行线的性质，三角形的外角的性质，平方根的含义，命题真假的判断，熟记基本概念是解本题的关键．
4. 如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握内错角相等，同位角相等，同旁内角互补，两直线平行．据此逐个判断即可．
【详解】解：A．根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证；
B．根据内错角相等，两直线平行即可证得；
C．根据内错角相等，两直线平行即可证得，不能证；
D．根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得，不能证．
故选：B．
5. 在下列条件：①；②；③；④中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的定义以及三角形内角和定理．利用三角形的内角和定理，逐一进行判断，进而得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，，则为直角三角形，①能确定为直角三角形；
∵，，
∴，，
∴不是直角三角形，②不能确定为直角三角形；
∵，，
∴，，
∴，
则为直角三角形，③能确定为直角三角形；
∵，则令，
∴，，
∴，
则为直角三角形，④能确定为直角三角形．
故能确定为直角三角形的共有3个．
故选：B．
6. 如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，，，，．为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，并延长至点M，在中，利用三角形内角和定理，可得出的度数，结合对顶角相等，可得出的度数，利用三角形外角的性质，可得出，，二者相加后，可求出的度数，即可求出结论．
【详解】解：连接，并延长至点M，如图所示．

在中，，，
∴，
∴．
∵，，
∴， 即，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，根据各角之间的关系，找出与之间的关系是解题的关键．
7. 已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（ ）
A. a=-3，b=-14B. a=3，b=-7C. a=-1，b=9D. a=-3，b=14
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据二元一次方程组有无数多个解的条件得出，由此求出a、b的值.
详解：∵方程组有无数多个解，
∴ ，
∴a=-3，b=-14．
故选A.
点睛：本题考查了对二元一次方程组的应用，注意：方程组中，当时，方程组有无数解.
8. 在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x﹣y=( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（x-y）中即可求出结论．
【详解】依题意得：，
解得：，
∴x﹣y=8﹣2=6．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9. 在我国古典数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”翻译成现代汉语就是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问长木多少尺？如果设长木长尺、绳长尺，则可以列出方程组（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组应用．根据题意设长木长尺、绳长尺，再利用二元一次方程知识即可得到本题答案．
【详解】解：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，
∴，
将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，
∴
根据题意可列方程组，
故选：D．
10. 如图，中，、、分别是、、的中点．一个小球在区域内自由滚动，它恰好停在空白区域内的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中线分别求出，，，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：如图，连接、、

、、分别是、、的中点
在中得，
在中得，
同理得，，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的中线及概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
11. 已知直线与直线相交于点，那么关于x的方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先把代入直线，求出a的值，从而得到P点坐标，再把点P代入直线得出，代入方程即可求解．
【详解】直线经过点，
，
解得，
，
把点P代入直线，
，即，
方程，（）
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，解题关键是求出P点坐标．
12. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A. B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题（每题5分，共25分）
13. 将命题“同角余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式____________________．
【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
【解析】
【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论，即可求解．
【详解】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
14. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有___________个．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式求出总的情况，利用总的情况减去白球的即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
总的可能有：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查求简单概率，解题的关键是熟练掌握概率公式．
15. 已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，则这首歌的歌词的字数是______．
【答案】84
【解析】
【分析】设这首歌的歌词的字数的十位数字为x，个位数字为y，由题意：十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设这首歌歌词的字数的十位数字为x，个位数字为y，
由题意得：，
解得：，
即这首歌的歌词的字数为84，
故答案为：84．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
16. 将一副三角板按如图放置，小明得到下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，则∠4＝∠C；那么其中正确的结论有________
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理判断①；根据角的关系判断②即可；根据平行线的性质定理判断③；根据①的结论和平行线的性质定理判断④．
【详解】∵∠2=30°，
∴∠1=60°，
又∵∠E=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC//DE，故①正确；
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
即∠BAE+∠CAD=∠1+∠2+∠2+∠3=90°+90°=180°，故②正确；
∵BC//AD，
∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°，
又∵∠C=45°，∠1+∠2=90°，
∴∠3=45°，
∴∠2=90°−45°=45°，故③错误；
∵∠D=30°，∠CAD=150°，
∴∠CAD+∠D=180°，
∴AC//DE，
∴∠4=∠C，故④正确．
故答案为①②④
【点睛】此题考查平行线的判定定理和性质，角的关系，解题关键在于利用判定定理进行判断
17. 如图，长方形纸片，点E，F在边上，点G，H在边上，分别沿，折叠，使点D和点A都落在点M处，若，则的度数是______度．
【答案】
【解析】
【分析】利用长方形纸条对边平行进行角度转换，再利用折叠对应角相等和平角180°进行计算，得到中除外的两个角度和，最后有三角形内角和180°得到．
【详解】长方形纸条，
，
，，
由折痕，得到，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠图形中角度的计算，利用折叠对称的性质得到角度关系，计算时综合其他角度计算是常考题，解题时须注意对应关系和复杂计算，找到对应关系和正确的计算是解题的关键．
三、解答题（本题共8个题，满分77分）
18. 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由②①得：，可得：，再把代入①得即可；
（2）由①得：③，把③代入②得：，可得：，把代入③得：，从而可得答案．
【小问1详解】
解：，
②①得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为：；
【小问2详解】
，
由①得：③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴方程组的解为：．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入法，加减法解二元一次方程组是解本题的关键．
19. 北京时间2022年4月16日上午10时许，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，南开中学航天兴趣小组在学校随机调查了初一和初二两个年级的部分学生对中国航天事业的关注程度，并对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅不完整的统计图（图1，图2）．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为_______人，扇形统计图中D所对应的扇形圆心角的度数为_______°；
（2）补全条形统计图；
（3）在A、B两个等级中，有8人来自初一年级，现随机抽取一人参加中国航天主题分享活动，求抽中的学生来自初二年级的概率．
【答案】（1）50，36
（2）见解析 （3）抽中的学生来自初二年级的概率为．
【解析】
【分析】（1）由A的人数除以所占百分比得出调查的总人数；由360°乘以D部分所占的比例即可得出C部分所对应的扇形圆心角的度数；
（2）求出B部分的人数，补全条形统计图即可；
（2）先求得A、B两个等级中，初二年级的人数，再根据概率公式计算可得．
【小问1详解】
解：被调查的总人数为5÷10%=50（人），
扇形统计图中D部分所对应的扇形圆心角的度数为360°×=36°；
故答案为：50，36；
【小问2详解】
解：B类别人数为50-30-5-5=10（人），补全条形统计图如图所示：
；
【小问3详解】
解：A、B两个等级中人数为5+10=15（人），
∵有8人来自初一年级，
∴初二年级的人数为7人，
∴抽中的学生来自初二年级的概率为．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率公式的应用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20. 证明：三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查三角形外角，解题的关键是掌握三角形的外角和的性质．先假设结论的反面成立；然后利用已知条件、假设以及已有定理进行推理，得到新结论与原有条件或者已有定理、定义等矛盾，究其矛盾原因，由于假设造成，故假设不成立，原结论成立．
【详解】已知，如图，是的一个外角，求证：．
证明，如图：
假设三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即，
∵，，
∴，
∵，产生矛盾，
∴三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
21. 将一副三角板拼成如图所示图形，，，，，点D在上，与相交于点F．若．
（1）计算的度数；
（2）请写出图中与相等的角，并证明．
【答案】（1）；
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）由AE∥BC 可以得到∠EAF的度数，再根据三角形外角定理即可求得∠AFD的度数；
（2）根据对顶角相等和同角的余角相等可以得到答案．
【详解】（1）∵
∴
∵是的外角
∴
∴
（2）；
证明：∵和是对顶角，
∴
∵中，，
∴，
∵
∴
∴
【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握平行线的性质、三角形外角定理、对顶角性质和余角定理是解题关键．
22. 在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共花费1860元．
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打九折；方案二，购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？
【答案】（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元
（2）学校选用方案二更节约钱，节约122元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程的知识解答．
根据购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元．
根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．
【小问1详解】
每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是a元、b元，
，
解得：，
答：每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元．
【小问2详解】
方案一的花费为：（元），
方案二的花费为：（元），
（元），，
答：学校选用方案二更节约钱，节约122元．
23. 如图，直线与直线相交于点，与x轴交于A，B两点．

（1）求b，m的值，结合图象写出关于x，y的方程组的解；
（2）求的面积；
（3）垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段CD的长为3，直接写出a的值．
【答案】（1），，
（2）
（3）或
【解析】
【分析】由点在直线上, 利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线中，即可求出m值，从而求得P点的坐标，进而求得方程组的解；
先求出点A、B的坐标，然后根据计算面积；
(3)由点的横坐标，即可得出点的纵坐标，结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【小问1详解】
点在直线：上，
，
点在直线：上，
，
，
∴
关于x，y的方程组的解为；
【小问2详解】
解：令时，，解得，
∴点A的坐标为，
令时，，解得，
∴点B的坐标为，
∴；
小问3详解】
当时,当时,
∵,
∴,
解得： 或
∴a的值为或
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是待定系数法求函数解析式．
24. 在中，平分，．
（1）课本原题再现：如图1，若于点，，，求的度数．（写出解答过程）
（2）如图1，根据（1）的解答过程，猜想并写出、、之间的数量关系．
（3）小明继续探究，如图2在线段上任取一点，过点作于点，请尝试写出、、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），过程见解析
（2），理由见解析
（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）先求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，然后由，代入计算即可；
（2）先利用三角形的内角和以及角平分线的定义求得，再根据直角三角形的性质可得，然后由，代入计算即可；
（3）过作于，根据平行线的性质可得，由三角形的内角和定理及角平分线的定义可求得，再根据直角三角形的性质可得，然后由，代入计算可求解．
【小问1详解】
解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴的度数为．
【小问2详解】
．理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
即．
【小问3详解】
过作于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
即，
∴．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角平分线定义，直角三角形两锐角互余，平行线的判定和性质等知识，每个小题解答过程类似．解题的关键是结合图形并能运用定理和性质进行正确的推理．
25. 如图，、两点同时从原点出发，点以每秒个单位长度沿轴的负方向运动，点以每秒个单位长度沿轴的正方向运动．
（1）若，试分别求出秒钟后、两点的坐标；
（2）设的外角和的外角的平分线相交于点，问：点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．

【答案】（1），
（2）不发生变化，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质，二元一次方程组的应用，角的平分线，解题的关键是掌握相关知识．
（1）根据非负数的性质可得方程组，然后解方程组即可；
（2）根据角的关系计算出的度数为是一个固定的常数，所以的度数不发生变化．
【小问1详解】
解：，
，
解得：，
，；
【小问2详解】
不发生变化，
；
是一个固定的常数，
的度数不发生变化．