2023-2024学年广东省广州八十九中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州八十九中高一（下）期中数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足(−3i)z=4−5i，则z的虚部为( )
A. 4i3B. 43C. −43D. −4i3
2.平面向量a=(−2,k)，b=(2,4)，若a⊥b，则|a−b|=( )
A. 2 6B. 6C. 2 5D. 5
3.在△ABC中，若(a+b+c)(c+b−a)=bc，则A=( )
A. 5π6B. 2π3C. π3D. π6
4.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6,O′C′=2，则原图形OABC的面积为( )
A. 24 2B. 12 2C. 48 2D. 20 2
5.若圆锥高为3，体积为3π，则该圆锥的侧面积为( )
A. 4πB. 5πC. 6πD. 7π
6.如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，则AB的长为( )
A. 5 3B. 5 6C. 6 2D. 10
7.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB=mAM，AC=nAN(m,n>0)，则1m+4n的最小值为( )
A. 2
B. 3
C. 92
D. 5
8.“阿基米德多面体”这称为半正多面体(semi−regularslid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知AB=3 22，则该半正多面体外接球的表面积为( )
A. 18π
B. 16π
C. 14π
D. 12π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 复数2−2i对应的点在第二象限
B. 若i为虚数单位，则i2023=−i
C. 在复数集C中，方程x2+x+1=0的两个解分别为−12+ 32i和−12− 32i
D. 复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z所对应的点Z的集合是以点(0,1)为圆心，2为半径的圆
10.G是△ABC的重心，AB=2，AC=4，∠CAB=120°，P是△ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是( )
A. GA+GB+GC=0B. AB在AC上的投影向量等于−12AC
C. |AG|=2 33D. AP⋅(BP+OP)的最小值为−32
11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=2cm，且CD=2AB，下列说法正确的有( )
A. 该圆台轴截面ABCD面积为3 3cm2
B. 该圆台的体积为14π3cm3
C. 该圆台的侧面积为6πcm2
D. 沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将一个棱长为6的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积为______．
13.已知e1和e2是两个不共线的向量，a=e1−2e2，b=2e1+ke2，且a与b是共线向量，则实数k的值是______．
14.已知△ABC中，AB=2BC=2，AB边上的高与AC边上的中线相等，则tanB= ______．
四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(−1,2)，b=(3,−1)．
(1)若(a+λb)⊥a，求实数λ的值；
(2)若c=2a−b，d=a+2b，求向量c与d的夹角．
16.(本小题15分)
六角螺帽也叫做六角螺母，一般螺帽有很多种类，有六角螺帽，有圆螺帽，方型螺帽等等，而不同种类的螺帽也有不同的尺寸标准.已知某种六角螺帽是一个在正六棱柱内部挖去一个圆柱得到的几何体，它的尺寸(单位：cm)如图所示．
(1)求该六角螺帽的体积；
(2)求该六角螺帽的表面积．
17.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A+sinAsinB=cs2B−cs2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sinA=2sinB，c= 7，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
在①sinAsinB+sinBsinA+1=c2ab；②(a+2b)csC+ccsA=0；③ 3asinA+B2=csinA，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．
(1)求角C的大小；
(2)若c=4，求△ABC周长的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：复数z满足(−3i)z=4−5i，
则z=4−5i−3i=(−5−4i)i−3i=53+43i．
故z的虚部为43．
故选：B．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：已知平面向量a=(−2,k)，b=(2,4)，
∵a⊥b，
∴−2×2+4k=0，
∴k=1，
即a−b=(−4,−3)，
则|a−b|= (−4)2+(−3)2=5．
故选：D．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．
3.【答案】B
【解析】解：(a+b+c)(c+b−a)=bc，
则(b+c+a)(b+c−a)=(b+c)2−a2=b2+c2+2bc−a2=bc，
故a2=b2+c2+bc，
∵a2=b2+c2−2bccsA，
∴−2csA=1，解得csA=−12，
∵A∈(0,π)，
∴A=2π3．
故选：B．
根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．
本题主要考查余弦定理，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平面图形的直观图，属于较易题．
根据所给的数据求出直观图形的面积，根据直观图的面积：原图的面积= 2 ： 4得到原图形的面积是12÷ 24，得到结果．
【解答】
解：∵矩形O′A′B′C′是一个平面图形的直观图，其中O′A′=6,O′C′=2，
∴直观图的面积是6×2=12，
∵直观图的面积：原图的面积= 2 ： 4，
∴原图形的面积是12÷ 24=24 2．
故选A．
5.【答案】C
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，由已知可得，13πr2⋅3=3π，得r= 3．
可得圆锥的母线长l= h2+r2= 9+3=2 3．
∴圆锥的侧面积S=πrl=π× 3×2 3=6π，
故选：C．
由已知求出圆锥的底面半径，再求出母线长，即可求解圆锥的侧面积．
本题考查圆锥侧面积与体积的求法，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：在△ADC中，cs∠ADC=102+62−1422×10×6=−12，
因为0