2023-2024学年广东省广州大学附中等三校高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州大学附中等三校高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设m，n为非零向量，则“m⋅n<0”是“存在负数λ，使得m=λn”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2.已知α终边经过点P(sinπ6,−csπ6)，则α可能是( )
A. 5π6B. π6C. −π3D. π3
3.某圆锥的侧面积为16π，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为( )
A. 2B. 4C. 2 2D. 4 2
4.在四边形ABCD中，AC=(3,6),BD=(−4,2)，则四边形ABCD的面积为( )
A. 3 5B. 2 5C. 30D. 15
5.魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正4576边形，求出圆周率π约355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才给打破.若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则1−2cs27°π 16−π2的值为( )
A. −18B. −8C. 8D. 18
6.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=5，AB=5，BC=12，AC=13，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是( )
A. 16πB. 24πC. 25πD. 36π
7.对任意实数x，规定y取4−x，x+2，13(6−x)三个值中的最小值，则函数y( )
A. 有最大值2，无最小值B. 有最大值2，最小值1
C. 有最大值1，无最小值D. 无最大值，无最小值
8.已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx−π4)在区间(π2,π)上单调递减，则实数ω的取值范围是( )
A. [12,54]B. [32,74]C. (0,34]D. (0,2]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足z(1−i)=2，则( )
A. |z|= 2B. z−=−1+iC. z2=2+2iD. z⋅z−=2
10.若x，y满足x2+y2−xy=3，则( )
A. x+y≤3B. x+y≥−2 3C. x2+y2≥2D. x2+y2≤6
11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，f(1)=−2，且f(x)在[1,+∞)上单调递增，下列结论正确的是( )
A. 函数f(x−1)的图象关于直线x=2对称
B. 函数y=f(3−x)+f(x−1)的图象关于直线x=2对称
C. 函数y=2f(x)+2f(x−1)的最小值为12
D. 若方程2f(x)+2f(x−1)=1有两个解x1，x2，则x1+x2=3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(−1,1),b=(2,0)，向量a在向量b上的投影向量c= ______(用坐标表示)．
13.某数学兴趣小组成员为测量某古塔的高度，如图，在塔底O的同一水平面上的A，B两点处进行测量，已知在A处测得塔顶P的仰角为60°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，AB=25米，∠AOB=30°，则该塔的高度OP= ______．
14.函数f(x)= 2cs(ωx+φ)(ω>0,π2<|φ|<π)的部分图象如图所示，直线y=m(m<0)与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，则cs(x1−x2−2x3)= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a∈R，复数z1=a−1+i，z2=1−a+2ai,z3=−1在复平面上对应的点分别为A、B、C，O为坐标原点．
(1)求|z1+z2|的取值范围；
(2)当A、B、C三点共线时，求三角形AOB的面积．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=−4x+m⋅2x+1，x∈[−2,1]．
(1)当m=1时，求函数f(x)的值域；
(2)设函数g(x)=−(12)2x2−4x+3，若对任意x1∈[−2,1]，存在x2∈[−1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数m的取值范围．
17.(本小题15分)
在等腰△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中B为钝角，b− 3asinA=bcs2A．
(1)求B；
(2)如图，点D与点B在直线AC的两侧，且CD=3AD=3，设∠ADC=θ，求△BCD的面积的最大值和此时θ的值．
18.(本小题17分)
一正三棱台木块ABC−A1B1C1如图所示，已知2AC=3A1C1=6，AA1=2，点O在平面ABC内且为△ABC的重心．
(1)过点O将木块锯开，使截面经过A1C1平行于直线AC，在木块表面应该怎样划线，并说明理由；
(2)求该三棱台木块被问题(1)中的截面分成的两个几何体的体积之比；
(3)在棱台的底面A1B1C1上(包括边界)是否存在点M，使得直线OM/​/平面ACC1A1？若存在，求OM长的取值范围；若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)−1(A>0,ω>0,0<φ<π)的最大值为1，其图象相邻对称轴之间的距离为π2.若将f(x)的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知常数λ∈R，n∈N*，且函数F(x)=f(x)−λsinx在(0,nπ)内恰有2024个零点，请求出所有满足条件的λ与n．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：若m，n为非零向量，且m⋅n=|m||n|cs<0，则cs<0，即π2<(m,n)≤π，
当π2<(m,n)<π时，不存在负数λ，使得m=λn，充分性不成立；
若m，n为非零向量，且存在负数λ，使得m=λn，则由λ<0，得m⋅n=λn2=λ|n|2<0，必要性成立．
反之，综上所述“m⋅n<0”是“存在负数λ，使得m=λn”的必要不充分条件．
故选：B．
由平面向量的数量积与夹角知识和充分必要条件的判断分析即可得到答案．
本题考查平面向量的计算与充分必要条件的判断，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：α终边经过点P(sinπ6,−csπ6)，
∴α终边经过点P(12,− 32)，
∴α在第四象限，且tanα=− 3212=− 3，
∴α可能是−π3．
故选：C．
推导出α在第四象限，且tanα=− 3，由此能求出结果．
本题考查任意角三角函数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则πrl=16π2πr=πl，
解得r=2 2l=4 2，
即该圆锥的底面半径长为2 2．
故选：C．
根据圆锥的结构特征求解．
本题主要考查了圆锥的结构特征，考查了圆锥的侧面积公式，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为AC=(3,6),BD=(−4,2)，
所以AC⋅BD=3×(−4)+6×2=0，
所以AC⊥BD，即四边形ABCD的对角线互相垂直，
设AC，BD相交于点O，
所以S=S△ABD+S△CBD=12|AO||BD|+12|CO||BD|
=12|BD|(|AO|+|CO|)=12|BD||AC|
=12× 32+62× (−4)2+22
=15．
故选：D．
由平面向量的数量积运算可得AC⊥BD，再由三角形的面积公式计算即可．
本题考查平面向量垂直和模的求法，四边形的面积，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：将π=4sin52°代入1−2cs27°π 16−π2中，
得1−2cs27°π 16−π2=−cs14°4sin52° 16−16sin252=−cs14°16sin52∘cs52∘=−cs14°8sin104∘=−cs14°8sin(90∘+14∘)=−cs14°8cs14∘=−18．
故选：A．
将π=4sin52°代入1−2cs27°π 16−π2中，结合三角恒等变换化简可得结果．
本题主要考查三角恒等变换的化简求值，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC，所以三角形ABC是直角三角形，
设△ABC的内切圆半径为r，则S△ABC=12(5+12+13)r=12×5×12,r=2，
2r=4则最大球的表面积是4π×22=16π．
故选：A．
通过内切圆、内切球等知识进行分析，从而确定正确答案．
本题考查了三棱柱内能放置最大球的表面积计算，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：令4−x≤x+24−x≤13(6−x)，解得x≥3；
令x+2≤4−xx+2≤13(6−x)，解得x≤0；
令13(6−x)<4−x13(6−x)所以y=x+2,x≤013(6−x),0作出函数的图象，如图所示：
由此可得函数只有最大值2，无最小值．
故选：A．
将函数写成分段函数，作出图象，结合图象即可得答案．
本题考查了一次函数的性质及数形结合思想，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为ω>0，函数f(x)=sin(ωx−π4)在区间(π2,π)上单调递减，
所以πω≥π−π2=π2，
所以0<ω≤2，
令π2+2kπ<ωx−π4<3π2+2kπ，k∈Z，
则3π4ω+2kπωk=0时，一个单调递减区间为(3π4ω,7π4ω)，则3π4ω≤π27π4ω≥π0<ω≤2，解得32≤ω≤74，
k=1时，一个单调递减区间为(11π4ω,15π4ω)，则11π4ω≥π215π4ω≤π0<ω≤2，ω不存在，
当k≥2或k<0时，ω也不存在．
故选：B．
由已知结合正弦函数的单调性求出单调递减区间，结合已知函数在(π2,π)上单调递减可得出ω的不等式组，即可求解．
本题主要考查了正弦函数单调性的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：由z(1−i)=2，得z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，
∴|z|= 2，z−=1−i，z2=2i，z⋅z−=2．
故选：AD．
直接利用复数代数形式的乘除运算以及复数的基本概念求解即可．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：因为x2+y2−xy=3，可得x2+y2=3+xy≤3+x2+y22，当且仅当x=y时取等号，
解得x2+y2≤6，所以D正确；
x2+y2=3+xy≥3−x2+y22，
可得x2+y2≥2，所以C正确；
设t=x+y，则t2=x2+y2+2xy=3+3xy≤3+3⋅x2+y22=3+3×3=12，
所以−2 3≤t≤2 3，当且仅当x=y= 3即x=y=− 3时取等号，
即x+y的最大值为2 3，x+y的最小值为−2 3，
A不正确；B正确．
故选：BCD．
由基本不等式直接可得x2+y2的范围，判断出C，D的真假；设t=x+y，平方可得t2的表达式，由基本不等式可得t的范围，即求出x+y的范围，判断出A，B的真假．
本题考查基本不等式的性质的应用，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：因为f(x)=f(2−x)，所以f(x)的图象关于直线x=1对称，
对于A，函数f(x−1)的图象关于直线x=2对称，故A正确；
对于B，令g(x)=f(3−x)+f(x−1)，
则g(4−x)=f[3−(4−x)]+f(4−x−1)=f(x−1)+f(3−x)，
所以g(x)f(3−x)+f(x−1)的图象关于直线x=2对称，故B正确；
对于C，因为f(x)的图象关于直线x=1对称，f(1)=−2，且f(x)在[1,+∞)上单调递增，
所以f(x)≥−2，f(x−1)≥−2，
所以2f(x)≥14，当且仅当x=1时，等号成立，
2f(x−1)≥14，当且仅当x=2时，等号成立，
由于等号不能同时取到，故2f(x)+2f(x−1)>12，故C错误；
对于D，因为f(x)=f(2−x)，f(3−x)=f(x−1)，
令h(x)=2f(x)+2f(x−1)，
则h(3−x)=2f(3−x)+2f(3−x−1)=2f(x−1)+2f(x)=h(x)，
所以函数h(x)的图象关于直线x=32对称，
因为方程2f(x)+2f(x−1)=1有两个解x1，x2，
所以x1+x2=3，故D正确．
故选：ABD．
根据条件可知f(x)的图象关于直线x=1对称，从而可判断A；利用对称性的定义可判断B；根据函数的单调性和对称性，可求出函数f(x)，f(x−1)的最小值，但是等号不能同时取到，可判断C；对于D，根据对称性的定义可判断函数h(x)=2f(x)+2f(x−1)的图象关于直线x=32对称，从而判断D．
本题考查函数的对称性，属难题．
12.【答案】(−1,0)
【解析】解：向量a=(−1,1),b=(2,0)，
则a⋅b=−2，|b|=2，
故向量a在向量b上的投影向量c=a⋅b|b|×b|b|=−12b=(−1,0)．
故答案为：(−1,0)．
结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
13.【答案】25 3米
【解析】解：由题意可知，∠OAP=60°，∠OBP=45°，
设OP=h米，
在Rt△AOP中，OA=OPtan∠OAP=h 3= 33h米，
在Rt△BOP中，OB=OPtan∠OBP=h1=h米，
由余弦定理可得AB2=OA2+OB2−2OA⋅OBcs∠AOB，
即AB2=13h2+h2−2× 33h2× 32=13h2，解得h= 3AB，
因为AB=25米，所以h=25 3米．
故答案为：25 3米．
利用仰角的定义及锐角三角函数，结合余弦定理即可求解．
本题考查了仰角的定义和余弦定理的应用，属于中档题．
14.【答案】− 22
【解析】解：由图知f(5π4)= 2cs(5π4ω+φ)=1，f(5π8)= 2cs(5π8ω+φ)=0，
且点(5π8,0)位于减区间内，点(5π4,1)位于增区间内，
所以5π8ω+φ=π2+2kπ5π4ω+φ=7π4+2kπω>0π2<|φ|<π，k∈Z，解得ω=2+165k(k∈N)，φ=−3π4，
故f(x)= 2cs(2x−3π4)，
而T2<5π8，3T4>5π8，故85<ω<125，ω=2，
则f(0)= 2cs(−3π4)=−1,f(x)最小正周期为2π2=π，
直线y=m(m<0)与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，
则由图可知x1+x22=5π8−π4=3π8，x2+x32=5π8+π4=7π8，
所以cs(x1−x2−2x3)=cs[(x1+x2)−2(x2+x3)]=cs(6π8−28π8)=cs3π4=− 22．
故答案为：− 22．
由图象求得参数，根据余弦函数的对称性，结合x1−x2−2x3=(x1+x2)−2(x2+x3)即可求值．
本题主要考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为z1+z2=a−2ai，a∈R，
所以|z1+z2|= a2+4a2≥ 2 a2×4a2=2，当且仅当a=± 2时等号成立，
故|z1+z2|的取值范围是[2,+∞)．
(2)由题意有A(a−1,1)，B(1,−1−2a)，C(−1,0)三点共线，
∴kAC=kBC，即1a=1+2a−2，解得a=−4，
∴A(−5,1)，B(1,−12)，即OA=(−5,1)，OB=(1,−12)，
所以cs∠AOB=OA⋅OB|OA||OB|=−112 26× 54=−11 26× 5，
∴sin∠AOB=3 26× 5，
所以S△AOB=12|OA||OB|sin∠AOB
=12× 26× 52×3 26× 5=34．
【解析】(1)由复数模的定义，结合基本不等式即可求出模的取值范围；
(2)首先根据复数的几何意义找出A，B，C三点坐标，根据三点共线求出参数a，再解出三角形的面积即可．
本题考查复数模的计算、基本不等式、三点共线以及求三角形面积等知识，属基础题．
16.【答案】解：(1)当m=1时，f(x)=−4x+2x+1，x=[−2,1]，
令2x=t，
因为x∈[−2,1]，则t∈[14,2]，
所以y=−t2+t+1=−(t−12)2+54，其中t∈[14,2]，
所以当t=12时，ymax=54；
当t=2时，ymin=−1，
即y∈[−1,54]，
所以f(x)的值域为[−1,54]；
(2)因为g(x)=−(12)2x2−4x+3，x∈[−1,2]，
设μ=2x2−4x+3=2(x−1)2+1，
则μ在[−1,1]单调递减，在[1,2]单调递增，
由复合函数单调性得g(x)在[−1,1]单调递减，在[1,2]单调递增，
故g(x)min=g(1)=−12，
因为对任意x1∈[−2,1]，存在x2∈[−1,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，
则f(x)min≥g(x)min=−12，
所以−4x+m⋅2x+1≥−12在x∈[−2,1]上恒成立，
令2x=s，
因为x∈[−2,1]，则s∈[14,2]，
即y=−s2+ms+32≥0在[14,2]上恒成立，
则m≥s−32s在s∈[14,2] 上恒成立，
而y=s−32s在s∈[14,2] 上单调递增，
故(s−32s)max=2−34=54，
所以m≥54，
即m∈[54,+∞)．
【解析】(1)将m=1代入，利用换元法求解即可；
(2)由题意可得f(x)min≥g(x)min=−12，利用换元法求出函数f(x)在[−2,1]上的最小值，代入求解即可．
本题考查了指数函数、二次函数的性质，考查了转化思想及利用换元法求函数的值域，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为b− 3asinA=bcs2A，
所以 3asinA=b(1−cs2A)=2bsin2A，
因为sinA≠0，所以 3a=2bsinA，
由正弦定理知， 3sinA=2sinBsinA，
所以 3=2sinB，即sinB= 32，
又B∈(π2,π)，所以B=2π3．
(2)在△ACD中，由余弦定理知，AC2=AD2+CD2−2AD⋅CDcs∠ACD=1+9−2×1×3×csθ=10−6csθ，
所以AC= 10−6csθ，
所以cs∠ACD=AC2+CD2−AD22AC⋅CD=(10−6csθ)+9−12 10−6csθ×3=3−csθ 10−6csθ，
由正弦定理知，ADsin∠ACD=ACsin∠ADC，
即1sin∠ACD= 10−6csθsinθ，
所以sin∠ACD=sinθ 10−6csθ，
由(1)知∠ABC=2π3，且AB=BC，
所以∠BAC=∠ACB=π6，
所以BC=1 3AC= 10−6csθ 3，
sin∠BCD=sin(π6+∠ACD)=12cs∠ACD+ 32sin∠ACD=12⋅3−csθ 10−6csθ+ 32⋅sinθ 10−6csθ，
所以△BCD的面积S=12BC⋅CDsin∠BCD=12× 10−6csθ 3×3×(12⋅3−csθ 10−6csθ+ 32⋅sinθ 10−6csθ)
= 34(3−csθ+ 3sinθ)= 34[2sin(θ−π6)+3]= 32sin(θ−π6)+3 34，
当θ−π6=π2，即θ=2π3时，S取得最大值 32+3 34=5 34，
故△BCD的面积的最大值为5 34，此时θ=2π3．
【解析】(1)结合二倍角公式与正弦定理化简已知等式，可得sinB= 32，再根据B为钝角，即可得解；
(2)在△ACD中，利用余弦定理表示出AC，并求出cs∠ACD，再利用正弦定理可得sin∠ACD，然后根据两角和的正弦公式，推出sin∠BCD，最后结合三角形的面积公式与辅助角公式，求解即可．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角恒等变换公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)如图，在平面ABC内过点O作直线DE/​/AC交BA于D，交BC于E，连接DA1，EC1，
则DE、DA1、EC1为截面与各木块表面的交线，理由如下：
由于DE//AC//A1C1，所以D、E、A1，C1四点共面，且平面BCC1B1∩平面A1C1ED=C1E，平面ABB1A1∩平面A1C1ED=A1D，
平面ABC∩平面A1C1ED=DE，所以DE、DA1、EC1为截面与各木块表面的交线．
(2)由于点O为重心，DE/​/AC，所以DE=23AC，
又因为2AC=3A1C1，所以DE=A1C1，所以几何体A1B1C1−DEB为棱柱，
设棱台的高为h，△A1B1C1的面积为S，所以VA1B1C1−DEB=S′⋅h，
又2AC=3A1C1，则SΔABC=94SΔA1B1C1，
由台体体积公式得，13(S+94S+ S⋅94S)h=1912S⋅h，
所以该三棱台木块被问题(1)中的截面分成的两个几何体的体积之比为712(答案为127也对)；
(3)分别取B1C1、A1B1的中点K、L，当点M∈KL时有OM/​/平面ACC1A1.证明如下：
由K、L为B1C1、A1B1的中点，得KL//A1C1，
又由于在正三棱台ABC−A1B1C1中，DE/​/AC，所以KL//DE，D、E、K、L四点共面．
又因为2AC=3A1C1，点O为重心，CE=13BC=13⋅32B1C1=12B1C1=C1K，
所以四边形CEMC1为平行四边形，所以EK//CC1，所以EK//平面ACC1A1，
又DE/​/平面ACC1A1，所以平面DEKL//平面ACC1A1，
所以当点M∈KL时，OM⊆平面DEKL，所以OM/​/平面ACC1A1，
在梯形DEKL中，由已知条件和前面的分析知：
KL=1，DE=2，DL=EK=2，OK=OL=2，
所以OM长度的取值范围是[ 152,2]．
【解析】(1)在平面ABC内过点O作直线DE/​/AC交BA于D，交BC于E，连接DA1，EC1，则DE、DA1、EC1为截面与各木块表面的交线，说明理由即可．
(2)判断两部分几何体分别为棱柱和棱台，计算两部分的体积，求比值即可．
(3)分别取B1C1、A1B1的中点K、L，当点M∈KL时，OM/​/平面ACC1A1，求出OM长度的取值范围即可．
本题考查了空间中的平行关系应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题．
19.【答案】解：(1)依题意，A−1=1，所以A=2，且T2=π2，T=π，
所以ω=2πT=2ππ=2，
将f(x)的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的函数为g(x)=2sin(2x+π2+φ)，
而g(x)的图象关于原点中心对称，
则有π2+φ=kπ，k∈Z．
而0<φ<π，所以φ=π2，
所以f(x)=2sin(ωx+φ)−1=2sin(2x+π2)−1=2cs2x−1；
(2)F(x)=2cs2x−1−λsinx=1−4sin2x−λsinx，
当λ=0时，F(x)=1−4sin2x，
令F(x)=0，则有sinx=±12，
所以在一个周期(0,2π)内有4个根，
又因为F(x)在(0,nπ)内的零点个数为2024个，
故共需要20244=506个周期，此时n=506×2=1012；
当λ≠0，由sinx≠0，F(x)=0，可得λ=1sinx−4sinx，
设h(t)=1t−4t，t∈[−1,0)∪(0,1]，
则h(t)在[−1,0)和(0,1]上递减，
又h(−1)=3，h(1)=−3，
因为t=sinx∈[−1,1]，
①若λ=3，由1sinx−4sinx=3，得sinx=−1或sinx=14，
则由3×(n−12)+2=2024n为奇数)，解得n=1347，或π2=201(n为得数)，解得n不是整数，舍去；
②若λ−3，由1sinx−4sinx=−31sinx−sinx=−3 37sinx=1或sinα=−14，sinα=−14则独3×(π−12)+1=2021(n为身数)或3π2=2021，解得n不是整数，舍去；
③若−3<λ<3且λ≠0，F(x)在(0,nx)内的零点个数为偶数；
④λ>3或λ<−3，F(x)在(0,mMr)内的零点个数为偶数．
综上λ=3，n=1347．
【解析】(1)依题意，可求得A，ω，φ，进而可得y=Asin(ωx+φ)的解析式；
(2)F(x)=2cs2x−1−λsinx=1−4sin2x−λsinx，通过对取值情况的讨论，结合题意，F(x)=f(x)−λsinx在(0,nπ)内恰有2024个零点，可求出所有满足条件的λ与n．
本题考查由三角函数性质求三角函数的解析式，考查方程根的个数问题，解题关键是把方程进行变形转化为能利用正弦函数的周期性确定解的个数，同时注意分离参数法的应用，属于难题．