备战2024年广东省广州市中考数学复习训练试卷（解析版）

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选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.）
1. 两千多年前，中国人就开始使用负数.某班期末考试数学的平均成绩是83分，
小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（ ）分．
A．86B．83C．87D．80
【答案】D
【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义．由正负数的概念可计算．
【详解】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，
则
表示得了80分，
故选：D．
2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
3 .下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D．，故不正确；
故选C．
4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B. 该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集在数轴上表示为
故选：C
6 .某学校将国家非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间，
某同学“抖空竹”的一个瞬间如图所示，若将左图抽象成右图的数学问题：
在平面内，，的延长线交于点F；若，
则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形外角性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
7 .如图，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，其中点B与点E是对应点，点C与点D是对应点，
且DC∥AB，若∠CAB=65°，则∠CAE的度数为（ ）

A．10°B．15°C．20°D．25°
【答案】B
【分析】根据旋转的性质可得，，结合已知条件DC∥AB，∠CAB=65°，可得，再由三角形的内角和定理可知，即可得出．
【详解】解：由旋转的性质可得，，
∵DC∥AB，∠CAB=65°，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
8 .赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.
如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知，，，主桥拱半径R，
根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．
【详解】解：如图，
由题意可知，，，主桥拱半径R，
，
是半径，且，
，
在中，，
，
解得：，
故选B
9 . 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，
两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．
若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）

A．B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
10 . 两块等腰直角三角形纸片AOB和COD 按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，
其中AB=3，CD=6．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转α（0°<α<90°），
如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，tanα的值等于（ ）

A． B．C．D．
【答案】C
【分析】当BD与CD在同一直线上时，根据三角形AOB和COD是等腰直角三角形，可得OA＝OB，OC＝OD，由旋转可得∠AOC＝∠DOB，证明△AOC≌△BOD，可得AC＝BD，在RtACB中，设AC＝x，则BD＝x，根据勾股定理列出方程求出x的值，可得tan∠ABC＝＝．再根据∠DBO＋∠DOB＝∠DBO＋∠ABC证明∠ABC＝α，进而求出α的正切值．
【详解】解：当BD与CD在同一直线上（如图3）时，
∵三角形AOB和COD是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OC＝OD，
由旋转可知：
∠AOC＝∠DOB=α，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，
∵∠DBO＋∠ABC+∠BAO＝90°，
∴∠CAO+∠OAB+∠ABC=90°
∴∠ACB=90°
在RtACB中，设AC＝x，则BD＝x，
∴BC＝CD＋BD＝6＋x，
∵AB=3，
∴根据勾股定理，得x2＋（6＋x）2＝（3）2，
解得x＝3或x＝−9（舍去）．
∴AC＝3，BC＝9，
∴tan∠ABC＝＝．
三角形AOB和COD是等腰直角三角形，
∴∠CDO＝∠ABO＝45°，
∴∠DBO＋∠DOB＝∠DBO＋∠ABC，
∴∠ABC＝∠DOB，
由旋转可知：
∠AOC＝∠DOB＝α，
∴∠ABC＝α，
∴tanα＝．
故选：C
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州举办．
约37600名志愿者用饱满的热情和周到的服务带给了所有人温暖和美好．
将数字37600用科学记数法表示为_____________
【答案】
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：
12 .已知点，在抛物线上，且，
则_________．（填“<”或“>”或“=”）
【答案】
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：的对称轴为y轴，
∵，
∴开口向上，当时， y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故答案为：．
13. 已知，是一元二次方程的两实数根，则 ．
【答案】4
【分析】先由根与系数的关系求出m•n及m＋n的值，再把化为的形式代入进行计算即可．
【详解】，是一元二次方程的两实数根，
，
.
故答案为：4
14 . 若购买荔枝所付金额y(元)与购买数量x(千克)之间的函数图像如图所示，
则购买3千克荔枝需要付 元．
【答案】
【分析】根据图像可得购买3kg荔枝需要付的钱即为当x=3时，y所对应的值，即求出AB段的函数解析式，将x=3代入即可．
【详解】解：设直线的解析式为：，
由图像可知：，
∴，
∴，
当时，，
故答案为：．
如图，半径为3的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，
则为 ．

【答案】
【分析】连接CD，根据90°圆周角所对的弦是圆的直径，确定CD，根据勾股定理计算DO，根据同弧上的圆周角相等，计算tan∠ODC即可
【详解】如图，连接CD，
∵∠DOC=90°，
∴CD是圆A的直径，
∵半径为3的经过原点和点，
∴CD=6，OC=2，
∴DO==，
∴tan∠ODC==,
∵∠ODC=∠OBC，
∴tan∠OBC=,
故答案为：．
16 .如图，二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，且经过点（﹣1，0），则下列结论：
①abc＜0：
②2a﹣b＝0；
③a＜﹣；
④若方程ax2+bx+c﹣2＝0的两个根为x1和x2，则（x1+1）（x₂﹣3）＜0，
其中，正确的有 （填序号）．
【答案】①③④
【分析】由图象可知，a＜0，c＞0，-=1＞0，b＞0，因此abc＜0，故①正确；-b=2a，2a-b=4a≠0，故②错误；当x=-1时，a-b+c=0，3a+c=0，c=-3a＞2，a＜-，故③正确；由对称轴直线x=1，抛物线与x轴左侧交点（-1，0），可知抛物线与x轴另一个交点（3，0），由图象可知，y=2时，x1＞-1，x2＜3，所以x1+1＞0，x2-3＜0，因此（x1+1）（x2-3）＜0．
【详解】解：由图象可知，a＜0，c＞0，
-=1＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵-b=2a，
∴2a-b=4a≠0，故②错误；
x=-1时，a-b+c=0，
即3a+c=0，
c=-3a＞2，
∴a＜-，故③正确；
由对称轴直线x=1，抛物线与x轴左侧交点（-1，0），可知抛物线与x轴另一个交点（3，0），
由图象可知，y=2时，x1＞-1，x2＜3，
∴x1+1＞0，x2-3＜0，
∴（x1+1）（x2-3）＜0．故④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 计算：．
【答案】7
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】原式=
=2+1﹣1+5
=7
18 . 解不等式组：，把解集表示在数轴上，并写出它的所有的整数解．

【答案】1【分析】先求出不等式组的解集，再把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
【详解】解：
解不等式①得x＞1，
解不等式②得x≤4，
∴不等式组的解集是1不等式组的解集在数轴上表示如图，
∴不等式组的整数解为：2,3,4．
19. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交DA、BC延长线于点E、F．求证：AE＝CF．
【答案】见解析
【分析】利用平行四边形的性质得出AO＝CO，AD∥BC，进而得出∠EAO＝∠FCO，再利用ASA求出△AOE≌△COF，即可得出答案．
【详解】证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE＝CF．
20. 先化简，然后从，，，中选一个合适的数代入求值．
【答案】；
【分析】先对小括号里的通分，然后化除为乘，根据，，对式子化简，选择合适的数代入，即可．
【详解】∵，
，
，
，
，
∵，，
∴，，
∴，
∴当时，原式．
在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校初一（1）班同学们的阅读爱好，
要求所有同学从4类书籍中（：文学类；：科幻类；：军事类；：其他类），
选择一类自己最喜欢的书籍进行统计，根据统计结果，
绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息回答问题：
初一（1）班喜欢军事类（即类）的人数是______；
在扇形统计图中，的值为______；
若该校初一年级共有1200人，请你估算该校初一年级喜欢科幻类的人数有______人；
如果选择类书籍的同学中有2名女生，其余为男生，
现要在选择类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，
用树状图法或者列表法求出被抽到的两个学生恰好是一男一女去参加读书交流活动的概率．
【答案】(1)4；
(2)40；
(3)480；
(4)．
分析】（1）根据A类的人数与占比即可求得总人数，进而即可求得C类的人数，补全统计图；
（2）根据B的人数与总人数即可求解；
（3）根据B类的人数与样本容量的比值即可求解；
（4）运用画树状图或列表的方法求随机事件的概率的方法即可求解．
【详解】（1）解：向阳班人数：（人），
∴C类的人数为：（人），
故答案为：4．
（2）解：由题意知B的人数为16人，
，
，
故答案为： 40；
（3）解：由（2）知初一年级喜欢科幻类的百分比为，
（人），
故答案为：480．
（4）画树状图：

共有12种等可能性结果，其中一男一女的机会有8种，
记事件被抽到的两个学生恰好是一男一女为A，则
答：被抽到的两个学生恰好是一男一女的概率为．
列表如下：
记事件被抽到的两个学生恰好是一男一女为A，则
答：被抽到的两个学生恰好是一男一女的概率为．
22 . 如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），
其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．
可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，
台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取1.732）

【答案】
【分析】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解．
【详解】过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，
在中，，，
∵
∴(cm)，
在中，，，
∵，
∴(cm)，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴(cm)．
答：点与桌面的距离约为．
23. 如图，为的直径，C为上的中点，，垂足为的延长线交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了切线的判定以及圆周角定理和扇形的面积公式．
（1）连接，利用半径相等、圆周角定理求得，推出，从而得到，即可证明是的切线；
（2）设半径为r，利用勾股定理得到，解得，再计算出，然后根据扇形的面积公式，利用进行计算即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵，
∴，
∵C为上的中点，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点C在上，
∴是的切线；
（2）解：连接，设半径为r，
在中，∵，
∴，
解得，
∴，
则，即点B是斜边的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
24. 【问题发现】
（1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，
使，，连接，则和的数量关系为 ；
【拓展延伸】
如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），
在的右侧作等腰，使，，
连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，
请直接写出当时的长．
解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：相等；
（2）成立，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴∠；
（3）当点D在线段上时，如图2，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
当点D在线段的延长线上时，如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上可知，的长为2或6．
25. 已知点在函数的图象上．
（1）若，求n的值；
（2）抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），
与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
① m为何值时，点E到达最高处；
② 设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，
当时，是否存在四边形为平行四边形？
若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）的值为1；
（2）①；②假设存在，顶点E的坐标为，或．
【解析】
【分析】（1）把代入得，即可求解；
（2）①，得，即可求解；
②求出直线的表达式为：，得到点的坐标为；由垂径定理知，点在的中垂线上，则；由四边形为平行四边形，则，求出，进而求解．
【小问1详解】
解：把代入得；
故的值为1；
【小问2详解】
解：①在中，令，则，
解得或，
，，
点在函数的图象上，
，
令，得，
即当，且，
则，解得：（正值已舍去），
即时，点到达最高处；
②假设存在，理由：
对于，当时，，即点，
由①得，，，，对称轴为直线，
由点、的坐标知，，
作的中垂线交于点，交轴于点，交轴于点，则点，
则，
则直线的表达式为：．
当时，，
则点的坐标为．
由垂径定理知，点在的中垂线上，则．
四边形为平行四边形，
则，
解得：，
即，且，
则，
∴顶点E的坐标为，或．
男1
男2
女1
女2
男1
（男1，男2）
（男1，女1）
（男1，女2）
男2
（男2，男1）
（男2，女1）
（男2，女2）
女1
（女1，男1）
（女1，男2）
（女1，女2）
女2
（女2，男1）
（女2，男2）
（女2，女1）