湖南省长沙市雅礼教育集团2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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考生注意：本试卷共三道大题， 25 道小题，满分120分，时量120分钟
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列四个实数中，无理数是（ ）
A. B. C. 3.14D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，如开方开不尽的数的方根、π．根据无理数的定义判断即可；
【详解】解：A．是无理数，符合题意；
B．是有理数；
C．3.14，是有理数；
D．是有理数；
故选：A．
2. 在平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查点的坐标特点，掌握四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负是解题的关键．
【详解】解：∵点P横坐标为负，纵坐标为正，
∴点在第二象限，
故选B．
3. 如图所示，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的知识点是平行线的性质及对顶角相等，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质，先求出，根据平行线的性质得出，进而求出结论．
【详解】解：如图：
，
，
，
，
故选：C．
4. 下列等式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，解题的关键是掌握所学的知识进行判断．
根据平方根、算术平方根和立方根的运算法则即可求出答案．
【详解】解：A、，故A错误．
B、，故B错误．
C、，故C错误．
D、，故D正确．
故选：D．
5. 如图，下列条件中，能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：由，可以判定（内错角相等，两直线平行），故A符合题意；
由，不能判定，故B不符合题意；
由，能判定（同位角相等，两直线平行），不能判定，故C符合题意；
由，可以判定（同旁内角互补，两直线平行），不能判定，故D不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．
6. 一块含角的直角三角板，按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若直线，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质，含角的直角三角板，即可求解，
本题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟练掌握平行线的性质定理．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
7. 是关于x，y的二元一次方程，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．利用二元一次方程的定义解答即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程，
∴，
解得：，
故选：C．
8. 用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查加减消元法解方程组．利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：若消去，
则得：；
若消去，
则得：；
故选：A．
9. 我国明代《算法统宗》一书中有如下的类似问题：“一支竿子一条索，索比竿子长两托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长10尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．如果此题中设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．本题要注意前后两次绳和杆的数量关系．设竿长x尺，绳索长y尺，根据第一次用绳索去量竿，绳索比竿长10尺，第二次将绳索对折去量竿，就比竿短5尺，则可得方程组．
【详解】解：设竿长x尺，绳索长y尺，
由题意可得：，
故选：B．
10. 下列命题中：①5的平方根是；②负数没有立方根；③的相反数是；④负数没有平方根；⑤立方根是本身的数有、0、1．是真命题的有（ ）个．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的含义和求法．根据平方根、算术平方根、立方根的含义和求法，逐一判断即可．
【详解】解：①5的平方根是，正确；
②负数有立方根，原说法错误；
③的相反数是，原说法错误；
④负数没有平方根，正确；
⑤立方根是本身的数有−1、0、1，正确；
综上，正确的有①④⑤，共3个．
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 在方程中，用含y的代数式表示x，得________．
【答案】
【解析】
【分析】移项即可．
【详解】移项得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程，等式的性质，用一个含未知数的代数式表示另一个未知数是代入消元法解二元一次方程组中的必要变形．
12. 已知点，则P点到x轴距离是__________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查点到坐标轴的距离，掌握到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值是解题的关键．
【详解】解：点到x轴的距离是，
故答案为：2．
13. 已知方程组的解满足，则__________．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，根据方程组的特点灵活求解是关键．
观察方程组，可知两个方程相加后，继而可得关于的方程，解方程即可．
【详解】，
，得
，
由，
得，
即，
解得，
故答案为7．
14. 如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF的度数等于__.
【答案】
【解析】
【详解】解：∵把长方形ABCD沿EF对折，
∴AD∥BC，∠BFE=∠2，
∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，
∴∠BFE==65°，
∵∠AEF+∠BFE=180°，
∴∠AEF=115°．
故答案为：115°．
15. 已知的整数部分是1，则小数部分是；若的小数部分为a，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知的整数部分为3，则小数部分为，
本题考查了无理数整数、小数部分的相关问题，解题的关键是：求出无理数的取值范围，从而确定取值．
【详解】解：∵，
∴的整数部分是3，
∴的小数部分为：，
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点， ， ， ，…那么点的坐标为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察可得每四次移动为一个循环，每个循环横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0依次出现，据此规律求解即可．
【详解】解：， ， ， ，…
以此类推可知，每四次移动为一个循环，每个循环横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0依次出现，
∵，
∴的坐标为，即，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据算术平方根的定义、立方根的定义计算即可；
【详解】解：原式
．
18. 解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是：
（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【小问1详解】
解：
把①代入②，得，
解得，
把代入①，得，
∴方程组的解为；
【小问2详解】
解：，
，得，
解得，
把代入②，得，
解得，
∴方程组的解为．
19. 如图，，，，试说明．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
解：，（已知）
__________．（_______________________________________）
．（_______________________________________）
，（已知）
．（等量代换）
．（_______________________________________）
__________．（两直线平行，同位角相等）
，（已知）
．（_______________________________________）
．（等量代换）
【答案】；同位角相等，两直线平行； 两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；；垂直的定义
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．根据平行线的性质与判定条件以及垂线的定义进行证明即可．
【详解】解：，（已知）
．（同位角相等，两直线平行）
．（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
．（等量代换）
．（同旁内角互补，两直线平行）
．（两直线平行，同位角相等）
，（已知）
．（垂直的定义）
．（等量代换）
故答案为：；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；；垂直的定义．
20. 已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同．
（1）求a，x的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1），25
（2）6
【解析】
【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．
（1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可；
（2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可．
小问1详解】
解：依题意，得，
解得，
，，
．
即a，x的值分别为，25．
【小问2详解】
负数y的立方根与它本身相同，
；
当，时，，
的算术平方根为6．
21. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，线段的位置如图所示，其中点M的坐标为，点N的坐标为．
（1）将线段平移得到线段，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B，则点B的坐标为__________；
（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为，连接，，求的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为6，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）点P坐标为或
【解析】
【分析】本题考查作图一平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
（1）利用平移的性质画出图形即可解决问题；
（2）利用分割法求三角形面积即可；
（3）设，由题意解方程即可．
【小问1详解】
解：由题意得：平移后点的对应点为A，
∴先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，
∴点平移后得到；
【小问2详解】
解：如下图：

解：由（1）可知点的坐标为，
；
【小问3详解】
解：，由题意得，，
解得和6，
∴或．
22. 北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天载人飞船模型和4件B种航天载人飞船模型的进价共计140元；3件A种航天载人飞船模型和2件B种航天载人飞船模型的进价共计130元．
（1）求A，B两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？
（2）若该超市计划正好用240元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．
【答案】（1）A种飞船模型每件进价30元，B种飞船模型每件进价20元；
（2）①购进6件A型飞船模型和3件B型飞船模型；
②购进4件A型飞船模型和6件B型飞船模型；
③购进2件A型飞船模型和9件B型飞船模型．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键．
（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意可得关于x、y二元一次方程组，解之即可；
（2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据总价=单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案．
【小问1详解】
解：（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，
根据题意，得，
解得，
答：A种飞船模型每件进价30元，B种飞船模型每件进价20元；
【小问2详解】
设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据题意，
得，
，
，b均为正整数，
当时，；
当时，；
当时，，
所有购买方案如下：
①购进6件A型飞船模型和3件B型飞船模型；
②购进4件A型飞船模型和6件B型飞船模型；
③购进2件A型飞船模型和9件B型飞船模型．
23. 三角形中，D是上一点，交于点E，点F是线段延长线上一点，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接，若，，求的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段长线上一点，若，平分，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，平角的定义，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
（1）根据平行线的判定与性质即可完成证明；
（2）过过点E作，可得，再根据平行线的性质即可得结论；
（3）设，则，，然后根据，求出x的值，进而可得结果．
【小问1详解】
证明：，
，
又，
．
；
【小问2详解】
解：如图2，过点E作，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
平分，
，
，
设，
则，
，
，，
，
，
解得，
，
，
．
24. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，就称这个方程组为“好友方程组”，点为“好友点”．例如方程组的解为，满足，则方程组为“好友方程组”，点为“好友点”．
（1）下列方程组中，为“好友方程组”的是__________．（直接填序号）
①． ②． ③． ④．
（2）已知关于x，y的二元一次方程组，请判断此方程组是否为“好友方程组”，若是，请求出m的值；若不是，请说明理由．
（3）已知是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于x，y的二元一次方程组（Ⅰ）的解，当点为“好友点”时，请求出n的值；此时，请证明关于x，y的二元一次方程组（Ⅱ）为“好友方程组”，并求出“好友点”．
【答案】（1）②④ （2）此方程组不是“好友方程组”，见解析
（3）证明见解析，“好友点”为
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义，二元一次方程组的解，考查了学生的阅读理解能力、知识的迁移能力以及计算能力．
（1）分别计算出方程组的解，根据好友方程组定义判断即可；
（2）解出方程组，根据定义判断即可；
（3）先解方程组（Ⅰ），根据点为“好友点”求出n的值，代入方程组（Ⅱ）解出即可；
【小问1详解】
解：①解得，
，故不是好友方程组，
②解得，
，故是好友方程组，
③解得，
，故不是好友方程组，
④解得，
，故是好友方程组，
故答案为：②④；
【小问2详解】
解：此方程组不是“好友方程组”，理由如下：
整理原方程组得：，
解得：．
若原方程组为“好友方程组”，则即，
此方程无解．
即找不到m值使原方程组为“好友方程组”．
【小问3详解】
解：解得方程组（Ⅰ）有，
当点为“好友点”时，即满足，
，
，
整理原方程（Ⅱ）得：，
由方程组（Ⅰ），有．
将代入得，
，
，
关于x，y的二元一次方程组（Ⅱ）为“好友方程组”．“好友点”为．
25. 溪悦荟灯光秀是圭塘河的亮丽风景，假定河两岸，桥长20米，横跨河两岸，为了强化灯光效果，在桥头A、O安置了可旋转探照灯．灯A射线从开始绕点A顺时针旋转至立即回转，灯O射线从开始绕点O顺时针旋转至立即回转，两灯不停旋转交叉照射．如图1建立平面直角坐标系，若灯A、灯O转动的速度分别是a度/秒、b度/秒，且满足．

（1）填空：__________，__________，A点坐标（__________，__________）；
（2）为确保“探照灯”顺利旋转，检修工人P从点G以每秒1米的速度向O点走去，到达O点便开始检修设备；检修工人Q从点F以每秒1.5米的速度向A点走去，到达F点便开始检修设备．其中，两人同时分别从点G、F出发，当检修工人走了多少秒时，有的面积等于的面积的2倍；
（3）①若灯A射线转动30秒后，灯O射线开始转动，在灯A射线第一次到达之前，O灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
②如图2，若两灯同时转动，在灯O射线第一次到达之前，两灯射出的光束交于点C．在射线上取一点D，且，则在转动过程中，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出实数k的值及的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）
（3）①或110，②存在，，
【解析】
【分析】（1）根据平方数与算术平方根的非负性，即可求出，，由桥长20米，为坐标原点，即可求解，
（2）设检修工人走了t秒，由，，当时，代入，即可求解，
（3）①设O灯转动了t秒．当时，，，
当时，，代入，即可求解，当时，其中当时，与必相交，当时，由有，代入，即可求解，当时，， ，当时，，代入即可求解，②由，，得到，结合，，得到，若为定值，则与t无关，即可求解，
本题考查了，平方数、算数平方根的非负性，平行线的性质，三角形的内角和，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，，
∴，，，
∵桥长20米，为坐标原点，
∴，
故答案为：；；．
【小问2详解】
解：设检修工人走了t秒，如图，

，
，
当时，，解得，
故答案为：，
【小问3详解】
解：①设O灯转动了t秒．（ⅰ）当时，如图（ⅰ），
，，
当时，，则，
即，则，解得，

（ⅱ）当时，其中当时，与必相交，
当时，如图（ⅱ），

由，有，
则，即，即，解得：（舍），
（ⅲ）当时，其中当时，如图（ⅲ），

，，，
当时，，则，
即，即，解得，
当时，与必相交．
综上，或110；
②存在；如图2，

，，
，
又，
，
又，
，
，
若为定值，则与t无关，
，此时，，
故存在， ．