2023-2024学年广东省深圳市福田区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市福田区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 斐波那契螺旋线B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图D. 科克曲线
2.若a>b，则下列式子一定成立的是( )
A. a+1b−2C. −2a>−2bD. a385
7.A，B，C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A. △ABC三条中线的交点处B. △ABC三条边的垂直平分线的交点处
C. △ABC三条高线的交点处D. △ABC三条角平分线的交点处
8.如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P(a,2)，则关于x的不等式x+1≤mx+n的解集为( )
A. x≤1
B. x≥1
C. x≤2
D. x≥2
9.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠ADO的度数为( )
A. 30°
B. 60°
C. 75°
D. 80°
10.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=58°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与O点恰好重合，则∠OEC的度数为( )
A. 132°
B. 130°
C. 112°
D. 116°
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.已知x−y=5，(x+y)2=49，则x2+y2的值等于______．
12.如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(−4,2)、(−2,2)，右图中左眼的坐标是(3,4)，则右图案中右眼的坐标是______，左图内有一点p(a,b)经过上述平移后，对应点坐标为______．
13.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4.点E在边AD上，且ED=3，M、N分别是边AB、BC上的动点，且BM=BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN.若PM+PN=4.则线段PC的长为______．
14.如图1所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，将△ABC沿着AC翻折得到△ADC，如图2，将△ADC绕着点A旋转到△AD′C′，连接CD′，当CD′//AB时，四边形ABCD的面积为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
若关于x的不等式(3−a)x>2可化为x−1，并把其解集表示在数轴上．
18.(本小题10分)
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的位置如图所示，先作与△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2．
(1)作出△A1B1C1和△A2B2C2；
(2)△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是______．
19.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．
(1)求∠BDC的度数；
(2)求BD的长．
20.(本小题10分)
开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．
(1)请问购进了A种笔记本多少本？
(2)在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．
21.(本小题10分)
学习了乘法公式(a+b)2=a2±2ab+b2后，老师向同学们提出了如下问题：
①将多项式x2+4x+3因式分解；
②求多项式x2+4x+3的最小值．
请你运用上述方法解决下列问题：
(1)将多项式x2+4x−5因式分解；
(2)求多项式m2+8m−6的最小值；
(3)若多项式P=x2−x，Q=x−2比较多项式P，Q的大小．
22.(本小题10分)
(1)操作发现：
如图①，在五边形ABCDE中，AB=AE，∠B=∠BAE=∠AED=90°，∠CAD=45°，试猜想BC、CD、DE之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：
将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B=∠AED=90°，得∠DEF=180°，即点D、E、F三点共线，易证△ACD≌______，故BC、CD、DE之间的数量关系是______；
(2)类比探究：
如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC+∠D=180°，点E、F分别在边CB、DC的延长线上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明；
(3)拓展延伸：
如图③，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=2，CE=3，请在图中作出辅助线，并直接写出DE的长：______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1、不等式的两边都加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；②不等式的性质2、不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3、不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】
解：A.a>b，不妨设a=4，b=1，
则a+1>b+2，故本选项不符合题意；
B.∵a>b，
∴a−2>b−2，故本选项符合题意；
C.∵a>b，
∴−2ab，
∴a3>b3，故本选项不符合题意；
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：A、4a2+2a=2a(2a+1)是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项符合题意；
B、x2−xy=x2(1−yx)中含有分式，此选项不符合题意；
C、(a+3)(a−3)=a2−9不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项不符合题意；
D、x2+x−5=(x−2)(x+3)+1不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，此选项不符合题意．
故选：A．
根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
本题考查分解因式的定义，解题的关键是掌握分解因式的定义．
4.【答案】B
【解析】解：用数轴表示解集为：
故选：B．
分别求出每个不等式的解集，在数轴上表示出来即可．
本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x>较小的数、2可化为x3．
【解析】依据不等式的性质解答即可．
本题考查的是不等式的性质，熟知①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
16.【答案】解：(1)4x3y+4x2y2+xy3
=xy(4x2+4xy+y2)
=xy(2x+y)2；
(2)−(m−n)2−6(n−m)−9
=−[(m−n)2−6(m−n)+9]
=−(m−n−3)2．
【解析】(1)先提公因式，再根据完全平方公式分解因式；
(2)原式先提出负号，再把其余部分利用完全平方公式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，利用了提公因式法、公式分解因式，注意分解要彻底．
17.【答案】解：解不等式3−x≥2(x−3)，得：x≤3，
解不等式x−12−x+13>−1，得：x>−1，
则不等式组的解集为−10即P>Q．
【解析】(1)根据题意利用完全平方公式及平方差公式进行因式分解即可；
(2)先配方，再利用(a±b)2≥0即可解决问题；
(3)利用作差法及配方法求解即可．
本题主要考查了完全平方公式的应用，本题关键是利用二次项系数和一次项系数的特殊性，加上一次项系数一半的平方，可以构成完全平方公式，同时要减去加上一次项系数一半的平方，使整式的值不变．
22.【答案】△AFD CD=DE+BC 13
【解析】解：(1)BC，CD，DE之间的数量关系为：DF=DE+BC，理由是：
如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B=∠AED=∠AEF=90°，得∠DEF=180°，即点D，E，F三点共线，
∵∠BAE=90°，∠CAD=45°，
∴∠BAC+∠DAE=∠DAE+∠EAF=45°，
∴∠CAD=∠FAD，
∵AD=AD，
∴△ACD≌△AFD(SAS)，
∴CD=DF=DE+EF=DE+BC，
故答案为：△AFD，CD=DE+BC；
(2)如图2，EF，BE，DF之间的数量关系是EF=DF−BE．
证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE′，如图②，
则△ABE≌△ADE′，
∴∠DAE′=∠BAE，AE′=AE，DE′=BE，∠ADE′=∠ABE，
∴∠EAE′=∠BAD，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ADC=∠ABE，
∴∠ADE′=∠ADC，即E′，D，F三点共线，
又∠EAF=12∠BAD=12∠EAE′
∴∠EAF=∠E′AF，
在△AEF和△AE′F中，
AE=AE′∠EAF=∠E′AFAF=AF，
∴△AFE≌△AFE′(SAS)，
∴FE=FE′，
又∵FE′=DF−DE′，
∴EF=DF−BE；
(3)如图③，将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD′，使AB与AC重合，连接ED′，则CD′=BD=2，
由(1)同理得，△AED≌△AED′，
∴DE=D′E．
∵∠ACB=∠B=∠ACD′=45°，
∴∠ECD′=90°，
在Rt△ECD′中，ED′= EC2+D′C2= 22+32= 13，即DE= 13，
故答案为： 13．
(1)如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B=∠AED=90°，得∠DEF=180°，即点D，E，F三点共线，易证△ACD≌△AFD，可得结论；
(2)如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE′，证明△AFE≌△AFE′，据全等三角形的性质解答；
(3)将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD′，使AB与AC重合，连接ED′，根据全等三角形的性质、勾股定理计算．
本题是四边形的综合题，考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用旋转变换作图，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．①x2+4x+3=x2+4x+4−1=(x+2)2−1=(x+3)(x+1)=(x+2+1)(x+2−1)
②由①，得x2+4x+3=(x+2)2−1，因为(x+2)2≥0，所以(x+2)2−1≥−1.所以，当x=−2时，x2+4x+3的值最小，且最小值为−1．