2022-2023学年广东省深圳市福田区黄埔中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳市福田区黄埔中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中，不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如果，那么下列不等式中不成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  把点向下平移个单位长度后，再向右平移个单位长度，此时它的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列说法中，正确的结论有个．(    )
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等；
“对顶角相等”的逆命题是真命题；
反证法证明“一个三角形中最小角不大于”应先假设这个三角形中最小角大于．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7.  如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，，，的垂直平分线分别交与于点和点若，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共个，购买资金不超过元若每个篮球元，每个足球元，则篮球最多可购买个．(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，给出下列四个结论：
；
；
是的中点；
．
其中正确的结论共有个．(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式： ______ ．

12.  已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是______ ．

13.  等腰三角形的一边为，另一边为，则这个三角形的周长为______ ．

14.  如果不等式组的解集是，那么的取值范围是______．

15.  如图，中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到，可得到点，此时；将位置的三角形绕点顺时针旋转到位置，可得到点，此时；将位置的三角形绕点顺时针旋转到位置，可得到点，此时；按此规律继续旋转，直到点为止，则等于______ ．

 

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

16.  分解因式：

 

四、解答题（本大题共6小题，共49.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式
；
，将解集在数轴上表示．

18.  本小题分
如图，三个顶点的坐标分别为，，
请画出将向左平移个单位长度后得到的图形；
请画出关于原点成中心对称的图形；
求的面积．

19.  本小题分
如图，和都是等腰三角形，且，，，，在同一条直线上．求证：．

20.  本小题分
某园林部门决定利用现有的盆甲种花卉和盆乙种花卉搭配、两种园艺造型共个，摆放在迎宾大道两侧．已知搭配一个种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆；搭配一个种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆．
某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；
若搭配一个种造型的成本是元，搭配一个种造型的成本是元，试说明中哪种方案成本最低，最低成本是多少元？

21.  本小题分
如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且，连结．
如图，当点、分别在边和上时，求证：．
探究：如图，当点、分别在边、的延长线上时，判断线段与的大小关系，并加以证明．
应用：如图，若，利用探究得到的结论，求的面积．

 

22.  本小题分
如图，点是等边内一点，，将绕点按顺时针方向旋转得，连接．
求证：是等边三角形；
当时，试判断的形状，并说明理由；
探究：当为多少度时，是等腰三角形？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、均能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形，故不符合题意；
选项B不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，故符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，A正确，不符合题意；
，等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，B正确，不符合题意；
，不等号两边同时乘以或除以一个小于零的数，不等号方向改变，C错误，符合题意；
，不等式两边同时乘以或除以一个大于零的数，不等号方向不变，D正确，不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质对选项逐个判断即可．
此题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的有关性质．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，选项错误，不符合题意；
B、，选项正确，符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；
故选：．
根据公式法、十字相乘法进行因式分解依次判断即可．
题目主要考查因式分解，熟练掌握公式法、十字相乘法进行因式分解是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系的第三象限内，
，
解得：，
在数轴上表示为：

故选：．
根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
本题考查了点坐标特点、一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识点，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：点向下平移个单位长度后变为，
将再向右平移个单位长度变为，
故选：．
根据平面直角坐标系中，点的平移规律进行平移即可．
本题考查了点的平移，属于简单题，熟悉点的坐标的平移规律是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，说法正确；
三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，说法正确；
“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，则这两个角为对顶角，此命题为假命题，本小题说法错误；
反证法证明“一个三角形中最小角不大于”先应假设这个三角形中最小角大于，说法正确；
故选：．
根据角平分线的性质，垂直平分线的性质、命题及逆命题的判断、反证法判断即可．
本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质、命题及逆命题的判断、反证法，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
 

7.【答案】 

【解析】解：直线：与直线：相交于点，
，
解得：，
观察图象可知：关于的不等式的解集为．
故选：．
首先将已知点的坐标代入直线：求得的值，然后观察函数图象得到在点的左边，直线：都在直线：的下方，据此求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象，比较函数值的大小，确定对应的自变量的取值范围，解此题需要有数形结合的思想．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，，，
．
是线段的垂直平分线，
，，
，
．
又，，
．
在直角三角形中，，，
，
，
．
故选：．
由是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理得到，根据等边对等角可得的度数，进而得出的度数，再由角平分线上的点到角的两边的距离相等得出由角所对的直角边等于斜边的一半，可得的长，再由勾股定理求出的长，进而求出的长．
本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握这些性质定理，注意角所对的直角边等于斜边的一半这个性质是在直角三角形中．
 

9.【答案】 

【解析】解：设购买篮球个，则购买足球个，
根据题意得：，
解得：．
为整数，
最大值为．
故选：．
设购买篮球个，则购买足球个，根据总价单价购买数量结合购买资金不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数即可．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量间的关系，解题的关键是正确列出一元一次不等式．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
恰好平分，
，
，
，
是的角平分线，
，，
，是的中点，故，正确，
在与中，
，
≌，
，，故正确；
，
，故错误．
故选：．
根据平行线的性质及角平分线得出，再由等角对等边确定，利用等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质依次判断即可．
题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：关于的不等式的解集为，
，
．
故答案为：．
根据不等式两边都除以，不等号的方向发生改变判断出，然后求解即可．
本题考查了解一元一次不等式，熟记不等式的基本性质并判断出的系数小于是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：当腰长为时，则三角形的三边长为：、、；
，
不能构成三角形；
因此这个等腰三角形的腰长为，则其周长．
故答案为：．
本题可先根据三角形三边关系，确定等腰三角形的腰和底的长，然后再计算三角形的周长．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，，
，
，
，
不等式组的解集是，
．
故答案为：．
先求出第一个不等式的解集，再根据“同小取小”解答．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解，
 

15.【答案】． 

【解析】解：根据题意可得：每三次旋转，三角形向右平移个单位
从到共平移次，
，
故答案为：．
由，分析出，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了规律型问题的解决方法．
 

16.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

17.【答案】解：，
去分母得：，
移项合并同类项得：，
系数化为得：；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：．
在数轴上表示出不等式的解集如下：

不等式组的解集为：． 

【解析】根据解不等式的一般步骤求解即可；
先求出每一个不等式的解集，然后再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示即可．
本题主要考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：如图，即为所求；

如图，即为所求；



． 

【解析】根据图形平移的性质画出即可；
分别作出各点关于原点的对称点，再顺次连接即可；
利用正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
本题考查的是作图旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．
 

19.【答案】证明：和都是等腰直角三角形
，，
又，，
，
在和中

≌，
． 

【解析】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出≌．
求出，，，根据证出≌即可．
 

20.【答案】解：设搭配种造型个，则种造型为个，
依题意得，
解这个不等式组得：，
是整数，
可取，，，
可设计三种搭配方案种园艺造型个，种园艺造型个；
种园艺造型个，种园艺造型个；
种园艺造型个，种园艺造型个．

方法一：由于种造型的造价成本高于种造型成本．所以种造型越少，成本越低，
故应选择方案，成本最低，最低成本为元，
方法二：方案需成本元；
方案需成本元；
方案需成本元，
应选择方案，成本最低，最低成本为元． 

【解析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出不等式组，属于中档题．
根据题意列出一元一次不等式组，直接解不等式组，然后取整数解即可得出答案；
根据中得出的三种方案，分别计算出三种方案的成本，选择成本最低的方案即可．
 

21.【答案】证明：如图，连结，

，，
，
为边的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
结论：，理由如下：
如图，连接，

，，
，
为中点，
，，
，
，
在和中，

≌，
；
解：≌，
，
，
，
，
． 

【解析】【试题解析】
本题为三角形综合应用，涉及知识点有等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及三角形的面积等．在探究中把问题转化为图中的问题是解题的关键，即构造三角形全等．
连接，可证明≌，可得出结论；
连接，同可证明≌，可证得；
由≌可证得，容易求得的面积．
 

22.【答案】解：证明：将绕点按顺时针方向旋转得，
，，
是等边三角形；
当时，是直角三角形．
理由是：将绕点按顺时针方向旋转得，
≌，
，
又是等边三角形，
，
，
，，，
，
不是等腰直角三角形，即是直角三角形；
要使，需，
，，
，
；
要使，需．
，
，
；
要使，需．
，
，
，
解得．
综上所述：当的度数为或或时，是等腰三角形． 

【解析】本题以“空间与图形”中的核心知识如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等，能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．
根据旋转的性质可得出，结合题意即可证得结论；
结合的结论可作出判断；
找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．