2025版高考数学一轮总复习素养提升训练题第7章立体几何第3讲空间直线平面平行的判定与性质

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B．B1G∥平面A1EF
C．平面BDM∥平面A1EF
D．B1G∥A1F
[解析] 由MB1綉DG知B1GDM为平行四边形，∴B1G∥DM，选项A对；由A1M綉EB知MBEA1为平行四边形，∴BM∥A1E，从而可知A1E∥平面MBD，又EF∥BD知EF∥平面MBD.∴平面A1EF∥平面MBD，选项C对；又B1G∥平面MBD，B1G⊄平面A1EF，∴B1G∥平面A1EF，选项B对；B1G与A1F异面，选项D错，故选ABC.
2.(2022·安徽皖北联考)如图，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥平面ABC；
(2)线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，请找出点H并证明；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)证明：∵四边形ABED为正方形，F为BD的中点，
∴E、F、A共线，连接AE，又G为EC的中点，
∴GF∥AC，
又GF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
注：本题也可取BE的中点Q，连接GQ、FQ，通过证平面GFQ∥平面ABC来证；或取BC的中点M，AB的中点N，连GM、MN、NF，通过证四边形GMNF为平行四边形得GF∥MN来证．
(2)当H为BC的中点时，平面GFH∥平面ACD.
证明如下：∵G、H分别为EC、BC的中点，
∴GH∥BE，又BE∥AD，
∴GH∥AD，
又GH⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，
∴GH∥平面ACD，
又GF∥AC，GF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，
∴GF∥平面ACD，
又GF∩GH＝G，GF⊂平面GFH，GH⊂平面GFH，
∴平面GFH∥平面ACD.
[引申]ED上是否存在一点Q，使平面GFQ∥平面ACD.
[解析] 当Q为ED的中点时，平面GFQ∥平面ACD.
名师点拨：平行中的探索性问题
1．对命题条件的探索常采用以下三种方法：
(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；
(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；
(3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．
2．对命题结论的探索常采用以下方法：
首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．
【变式训练】
(2023·河南部分学校联考)如图，在矩形ABCD中，EC＝eq \f(1,3)DC，沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成四棱锥P－ABCE，若点F在线段AP上，且EF∥平面PBC，试确定点F的位置．
[解析] 如图，过点F作FG∥AB交PB于点G，连接CG，
因为FG∥AB∥EC，所以E，F，G，C四点共面，
若EF∥平面PBC，由EF⊂平面EFGC，平面EFGC∩平面PBC＝CG，
所以EF∥CG，所以四边形EFGC为平行四边形，FG＝CE＝eq \f(1,3)AB，
则eq \f(PF,PA)＝eq \f(FG,AB)＝eq \f(1,3)，
所以当且仅当点F为线段AP上靠近点P的三等分点时，EF∥平面PBC.