广东省广州市天河区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

这是一份广东省广州市天河区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）要使有意义，x的取值范围是（ ）
A．x≥3B．x≤3C．x≥﹣3D．x≤﹣3
3．（3分）下列各式计算正确的是 （ ）
A．B．C．D．
4．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．等角对等边
B．全等三角形的对应角相等
C．直角三角形的两个锐角互余
D．平行四边形的两组对边分别相等
5．（3分）在▱ABCD中，若∠A+∠C＝140°，则∠A的大小是 （ ）
A．75°B．70°C．60°D．40°
6．（3分）已知菱形ABCD的对角线AC、BD长分别为8，6，则菱形的面积是（ ）
A．14B．48C．24D．36
7．（3分）如图，数轴上的点A表示的数是-1，点B表示的数是2，CB⊥AB于点B，且BC=2，以A点为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）
A．2.7B．C．D．
8．（3分）“方胜”是中国古代妇女的一种首饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A′B′C′D′，形成一个“方胜”图案，则点D，B′之间的距离为（ ）
A．1cmB．2cmC．（﹣1）cmD．（2﹣1）cm
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，CE的中点，连接AF，FG，若AF＝3，FG＝5，则矩形ABCD的面积是 （ ）
A．44B．46C．48D．50
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点P为BD延长线上任一点，连接PA．过点P作PE⊥PA，交BC的延长线于点E，过点E作EF⊥BP于点F．下列结论：
①PA＝PE；
②BD＝3PF；
③CE＝2PD；
④若BP＝BE，则PF＝（+1）DF．
其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）计算的结果是 ．
12．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件使▱ABCD成为矩形，这个条件可以是 ．
13．（3分）在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，则AB边的长是 ．
14．（3分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠A=45°，分别以点A，D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AB于点E，连接CE，则CE的长为 ．
15．（3分）对于任意的正数a、b，定义运算“•”为计算a•b＝，计算（5•2）×（8•20）的结果为 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF= ．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（4分）计算：
（1）；
（2）．
18．（4分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝，y＝﹣1．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE=DF．
求证：AF=CE．
20．（6分）如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：
（1）通过计算判断△ABC的形状；
（2）在图中确定一个格点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为平行四边形，并求出▱ABCD的面积．
21．（8分）如图，在△ABD中，∠D=90°，C是BD上一点，已知BC=9，AB=17，AC=10，求AD的长．
22．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE∥BD，BE与CE交于点E．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）当∠ABD=60°，AD=4时，求ED的长．
23．（10分）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式与，+1与﹣1，2与2﹣3
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与 互为有理化因式，将分母有理化得 ；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
24．（12分）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB=2，CE=，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
25．（12分）在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，A（a，0），C（0，c），且，点E从B点出发沿BC运动，点F从B点出发沿BA运动，点G从O点出发沿OC运动．
（1）直接写出a,c的值；
（2）如图1，将△AOF沿OF折叠，点A恰好落在点E处，求E，F两点的坐标；
（3）如图2，若E，F两点以相同的速度同时出发运动，使∠EOF=45°，设点E的横坐标为m,求m2+16m的值；
（4）如图3，已知点D（7.5，0），若F，G两点以相同的速度同时出发运动，连接FG，作AH⊥FG 于H，直接写出DH的最大值．
2023-2024学年广东省广州市天河区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【答案】A
【解答】解：A、是最简二次根式；
B、＝2；
C、＝，故C不符合题意；
D、＝，故D不符合题意；
故选：A．
2．【答案】A
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得x≥7．
故选：A．
3．【答案】C
【解答】解：A． 与不能合并；
B．8﹣3＝；
C． ×＝＝，所以C选项符合题意；
D． ÷3＝＝．
故选：C．
4．【答案】B
【解答】解：A．等角对等边，是真命题；
B．全等三角形的对应角相等，是假命题；
C．直角三角形的两个锐角互余，是真命题；
D．平行四边形的两组对边分别相等，是真命题；
故选：B．
5．【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
又∵∠A+∠C＝140°，
∴∠A＝70°，
故选：B．
6．【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，
∴S菱形ABCD＝AC•BD＝，
故选：C．
7．【答案】C
【解答】解：由图可得，
AB＝2﹣（﹣1）＝3+1＝3，BC＝7，
∵CB⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝，
∵AC＝AD，
∴AD＝，
∴点D表示的数是﹣1，
故选：C．
8．【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD为边长为2cm的正方形，
∴BD＝＝6，
由平移的性质可知，BB′＝1cm，
∴B′D＝（2﹣1）cm，
故选：D．
9．【答案】C
【解答】解：在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵F，G分别是BE，
∴AF＝BECE，
∴FG＝BC，
∵AF＝3，DG＝4，
∴BE＝5，CE＝8，
∵BE2+CE2＝36+64＝100，BC2＝100，
∴BE2+CE3＝BC2，
∴△BEC是直角三角形，∠BEC＝90°，
∴S△BEC＝＝＝24，
∴矩形ABCD的面积＝2S△BEC＝6×24＝48，
故选：C．
10．【答案】B
【解答】解：如图1，在EF上取一点G，连接BG，
∵EF⊥BP，
∴∠BFE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FBC＝∠ABD＝45°，
∴BF＝EF，
在△BFG和△EFP中，
，
∴△BFG≌△EFP（SAS），
∴BG＝PE，∠PEF＝∠GBF，
∵∠ABD＝∠FPG＝45°，
∴AB∥PG，
∵AP⊥PE，
∴∠APE＝∠APF+∠FPE＝∠FPE+∠PEF＝90°，
∴∠APF＝∠PEF＝∠GBF，
∴AP∥BG，
∴四边形ABGP是平行四边形，
∴AP＝BG，
∴AP＝PE；故①正确；
连接CG，
由（1）知：PG∥AB，PG＝AB，
∵AB＝CD，AB∥CD，
∴PG∥CD，PG＝CD，
∴四边形DCGP是平行四边形，
∴CG＝PD，CG∥PD，
∵PD⊥EF，
∴CG⊥EF，即∠CGE＝90°，
∵∠CEG＝45°，
∴CE＝CG＝；故③错误；
连接AC交BD于O，如图3：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOP＝90°＝∠PFE，
∵∠APO＝90°﹣∠OPE＝∠PEF，AP＝PE，
∴△AOP≌△PFE（AAS），
∴OA＝PF，
∵OA＝BD，
∴PF＝BD，故②错误；
设PF＝m，DF＝n，
∴BF＝BD+DF＝8m+n，BP＝BF+PF＝3m+n，
∵∠DBC＝45°，∠BFE＝90°，
∴BE＝BF＝4n，
若BP＝BE，则2m+n＝2n，
∴m＝n＝（，
即PF＝（+1）DF，
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．【答案】2．
【解答】解：法一、
＝|﹣2|
＝2；
法二、
＝
＝2．
故答案为：2．
12．【答案】AC＝BD（答案不唯一）．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴当AC＝BD时，四边形ABCD为矩形．
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．
13．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）当AC、BC为直角边时
AB＝＝＝13，
（2）当BC为斜边，AC为直角边时
AB＝＝＝，
故答案为：13或．
14．【答案】3．
【解答】解：延长CB交MN于F点，MN交AD于P点，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝6，AD∥BC，
∴∠EBF＝∠A＝45°，
由作法得MN垂直平分AD，
∴AP＝DP＝AD＝3，
∴PF⊥BC，
在Rt△APE中，∵∠A＝45°，
∴AE＝AP＝4，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2，
在Rt△BEF中，
∵∠EBF＝45°，
∴BF＝EF＝BE＝）＝3，
∴BF＝CB+BF＝7+3﹣7＝3，
在Rt△CEF中，CE＝．
故答案为：3．
15．【答案】﹣6．
【解答】解：原式＝（+）×（﹣）
＝（+）×（7）
＝3（+）×（﹣）
＝2×（8﹣5）
＝﹣6，
故答案为：﹣7．
16．【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接OP，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，AC＝＝，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，S△AOB＝S矩形ABCD＝12，OA＝OB＝2，
∴S△AOB＝S△AOP+S△BOP＝OA•PE+OA（PE+PF）＝，
∴PE+PF＝；
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．【答案】（1）﹣；
（2）2﹣1+2．
【解答】解：（1）原式＝3﹣3
＝﹣；
（2）原式＝4﹣1+3
＝2﹣1+2．
18．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（﹣）÷，
＝[﹣]÷，
＝×，
＝，
当x＝+1﹣1时，
原式＝＝6﹣．
19．【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，AB∥CD
∵BE＝DF
∴AE＝CF
∵AB∥CD
∴四边形CEAF是平行四边形
∴AF＝EC．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可得，AB＝＝＝2＝5，
∵（）4+（2）7＝25＝52，即AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
（2）过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，格点D的位置如图，
∴▱ABCD的面积为：AB×AC＝×2．
21．【答案】见试题解答内容
【解答】解：在Rt△ABD中，9+CD＝，
和Rt△ACD中，CD＝，
∴9+＝，
两边平方得，81+182＝289﹣AD3，
∴＝6，
两边平方得，100﹣AD4＝36，
解得AD＝8．
22．【答案】（1）见解答；
（2）2．
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，CE∥BD，
∴BE∥OC，CE∥OB，
∴四边形OBEC为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝AB，OB＝OD，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD＝AD＝AB＝4，
∴OD＝OB＝2，
在Rt△AOD中，AO＝，
∴OC＝OA＝8，
∵四边形OBEC是矩形，
∴BE＝OC＝2，
∴ED＝＝6．
23．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）3﹣与3+，＝，
故答案为：3，；
（2）
＝﹣2
＝2﹣；
（3）∵，
∴（﹣1）a+，
∴﹣a+（a+）＝﹣1+2，
∴﹣a＝﹣1，a+，
解得，a＝6．
24．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中AB＝3，
∵EC＝，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形．
（3）①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，
则∠CDE＝90°﹣30°＝60°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，如图3所示：
∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD，
∴∠EFC＝∠CDE＝30°，
综上所述，∠EFC＝120°或30°．
25．【答案】（1）a＝10，c＝8；
（2）E（6，8），F（10，5）；
（3）96；
（4）2+．
【解答】解：（1）∵ 又 2≥7，
∴ （c﹣8）3＝0，
∴a＝10，c＝8；
（2）∵四边形OABC为矩形，A（10，C（7，
∴BC＝OA＝10，AB＝OC＝8，
由题意得：FE＝AF，OE＝OA＝10．
在Rt△OCF中，∠OCB＝90°，OE＝10，
∴，
∴BE＝BC﹣CE＝7，即E（6，
设FE＝AF＝x，则BF＝8﹣x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得，
BF6+BE2＝EF2 （7﹣x）2+44＝x2，
解得：x＝5，
∴AF＝8，
∴E（6，8），6）；
（3）设直线EF交y轴于H点，交x轴于G点，使OT＝OF、TE；
∵四边形OABC为矩形，∠OCB＝∠CBA＝∠COA＝∠OAB＝90°，
∴∠HCE＝∠FAG＝90°，
根据运动的特点可知：EB＝FB，∠FEB＝∠EFB＝45°，
∴∠CEH＝∠FEB＝45°∠AFG＝∠EFB＝45°，
∴△EFB，△CEH，△OHG都为等腰直角三角形，
∴OG＝OH，∠OHE＝∠OGF＝45°2＝2CE5，EF2＝2BE4，FG2＝2AF2，
∵∠HOG＝∠FOT＝90°，
∴∠HOT＝∠GOF＝90°﹣∠HOF，
在△OHT和△OGF中，
，
∴△OHT≌△OGF（SAS）．
∴∠OHT＝∠OGF＝45°，TH＝FG，
∴∠THE＝∠OHT+∠OHE＝90°，
∴TE2＝TH2+HE7＝FG2+HE2，
∵∠EOF＝45°，∠FOT＝90°，
∴∠EOF＝∠EOT＝45°，在△OEF和△OET中，
，
∴△OEF≌△OET（SAS）．
∴EF＝TE，
∴EF3＝TE2＝FG2+HE6，
∵EF2＝BE2+BF5＝2BE2，HE4＝CE2+CH2＝7CE2，FG2＝AF3+AG2＝2AF2，
∴2BE2＝7AF2+2CE8，
即 BE2＝AF2+CE8，
∵CE＝m，
∴BE＝BF＝10﹣m，AF＝AG＝m﹣2，
（10﹣m）2＝m2+（m﹣2）2，
∴m5+16m＝96；
（4）连接OB交GF于N点，取OA的中点M，连接MN、LD，
根据运动的特点可知：OG＝BF，在矩形OABC中，由勾股定理可得：，
又：∠ONG＝∠BNF，
∴△OGN≌△BFN（AAS），
∴GN＝FN，即N为OB的中点，，
∵OA的中点为M，
∴ ，
∵D（3.5，0），
∴OD＝8.5，
∴MD＝2.3＝AD，即点D为M的中点，
又∵NA的中点为L，，
在Rt△NHA中，，
又∵DH≤LD+LH，当且仅当L、D，，
即DH的最大值为4+．