11.1与三角形有关的线段(讲+练)-【重要笔记】2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练（人教版）

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11.1与三角形有关的线段一、单选题1．下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，7 D．4，5，10【答案】B【解析】【解答】解：A. ∵1+2=3，∴ 1，2，3不能组成三角形； B. ∵2+3>4, ∴ 2，3，4能组成三角形；C. ∵3+4=7，∴3，4，7不能组成三角形；D. ∵4+5a+6 ，解得：a＞﹣3【解析】【分析】根据三角形两边之和大于第三边可得得a+4+a+5＞a+6再解即可．15．如图，ABCD是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，求线段AD的取值范围．【答案】解：连接AC． ∵AB=2，BC=4，在△ABC中，根据三角形的三边关系，4﹣2＜AC＜2+4，即2＜AC＜6．∴﹣6＜﹣AC＜﹣2，1＜CD﹣AC＜5，9＜CD+AC＜13，在△ACD中，根据三角形的三边关系，得CD﹣AC＜AD＜CD+AC，∴1＜AD＜13．故AD的取值范围是1＜AD＜13．【解析】【分析】连接AC，将四边形的问题转化为三角形的问题，利用三角形的三边关系定理求出AC的取值范围，利用不等式的性质，就可推出 ﹣6＜﹣AC＜﹣2，1＜CD﹣AC＜5，9＜CD+AC＜13 ，再在△ACD中，利用三角形三边关系定理求出AD的取值范围。三角形的定义 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 注意：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．题型1：三角形相关概念1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　）【解答】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．故选：C．【点评】此题考查了三角形的定义．解题的关键是熟练记住定义．【变式1-1】已知△ABC的周长为18cm，AB边比AC边短2cm，BC边是AC边的一半，则AB= cm，BC= cm，CA= cm．【分析】由题意得：AC-AB=2，AC=2BC，AB+BC+AC=18．设AC为X，则有（X-2）+12X+X=18．解之即可．【解答】解：设AC为X，则AC=X-2，BC=12X，∵△ABC的周长为18，∴（X-2）+12X+X=18，解得：X=8，∴AB=6，BC=4，CA=8．故答案为6，4，8．【点评】此类题利用列方程的方式求解即可．【变式1-2】一个三角形有 条边， 个顶点， 个外角．【分析】根据三角形的概念知，一个三角形有3条边，3个内角，3个顶点，6个外角．【解答】解：一个三角形有3条边，3个内角，3个顶点，6个外角．【点评】三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．三角形的分类(1)按角分类：(2)按边分类：注意：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.题型2：三角形的分类2.用集合来表示“按边把三角形分类”，下面集合正确的是（　　）【解答】解：三角形根据边分类故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．【变式2-1】下列说法正确的是（　　）三角形分为等边三角形和三边不相等的三角形等边三角形不是等腰三角形等腰三角形是等边三角形D. 三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形【解答】解：A．三角形分为等腰三角形和三边不相等的三角形，故本选项错误，B．等边三角形是等腰三角形，故本选项错误，C．等腰三角形不一定是等边三角形，故本选项错误，D．三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，故本选项正确，故选：D．【点评】此题考查了三角形，用到的知识点是三角形的分类，关键是掌握等腰三角形与等边三角形之间的关系．【变式2-2】图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（　　）锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能【解答】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角．故选：D．【点评】此题考查了三角形的分类．题型3：三角形的计数问题3.课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形，其中三角形的个数为（ ）A.2 B.3 C.5 D.6【解答】解：图中三角形的个数是5个，故选：C．【点评】此题考查三角形，关键是根据图中图形得出三角形个数．【变式3-1】图中三角形的个数是（　　）A.8 B.9 C.10 D.11【解答】解：∵图中的三角形有：△AGD，△ADF，△AEF，△AEC，△ABC，△DGF，△DEF，△CEF，△CEB，∴共9个三角形．故选：B．【点评】此题考查了三角形，注意要不重不漏地找到所有三角形，一般从一边开始，依次进行．【变式3-2】如图，图中三角形的个数为（　　）A.6 B.15 C.18 D.21【分析】线段BH上有7个点，可以与点A组成7×（7-1）÷2=21个三角形．【解答】解：线段BH上有7个点，可以与点A组成7×（7-1）÷2=21个三角形，故选：D．【点评】本题考查了认识平面图形的知识，注意数三角形的个数，可以按照数线段条数的方法解答．题型4：三角形三边关系的应用4.已知三角形的两边长分别为2和7，则该三角形的第三边长可以为（　　）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【解析】【解答】解：∵三角形的两边长分别为2和7，设第三边为m，∴三角形的第三边取值范围为：7−29能组成三角形，∴周长=5+5+9=19.②5是底边时，三角形的三边分别为5、9、9，∵5+9>9能组成三角形，周长=9+9+5=23.综上所述，这个等腰三角形的周长为19或23.【解析】【分析】根据非负数之和为0，则每一个数都为0可得a-5=0，b-9=0，求出a、b的值，然后分5为腰；5为底边，由三角形三边关系判断是否能构成三角形，进而求出周长.【变式6-1】已知等腰△ABC的周长为20，求腰长的取值范围．【答案】解：设等腰△ABC的腰长为x，则底边长为20﹣2x，依题意有 2x>20−2xx+20−2x>x ，解得5＜x＜10．故腰长的取值范围是5＜x＜10．【解析】【分析】设等腰△ABC的腰长为x，则底边长为20﹣2x，根据题意列出不等式组，即可得出x的范围。【变式6-2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边长.【答案】解：如答图所示．设AD=DC=x，BC=y，由题意得x+2x=12，y+x=21，或x+2x=21，y+x=12，解得{x=4，y=17 或x=7，y=5.当时x=4，y=17，等腰三角形的三边为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系．当时x=7，y=5.，等腰三角形的三边为14，14，5，∴这个等腰三角形的底边长是5．【解析】【分析】作出图形，设AD=DC=x，BC=y，再分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可得解。三角形的稳定性  三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 题型7：三角形的稳定性7.人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性C．两点确定一条直线 D．垂线段最短【答案】B【解析】【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加梯子的稳定性.故答案为：B. 【分析】三角形具有稳定性，据此解答即可.【变式7-1】下列图形中不具有稳定性的是（　　） A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：A选项图形中是两个三角形组成，具有稳定性；B选项图形中是四个三角形组成，具有稳定性；C选项图形中是三个三角形组成，具有稳定性；D选项图形中是四边形，不具有稳定性；故答案为：D.【分析】根据三角形的稳定性逐项判断即可。【变式7-2】小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理​【答案】解：如图所示：根据三角形具有稳定性．​【解析】【分析】根据三角形具有稳定性进行画图即可．三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.题型8：三角形的角平分线、中线和高8.如图， AD⊥BC 于点D， GC⊥BC 于点C， CF⊥AB 于点F，下列关于高的说法错误的是（　　） A．在 △ABC 中， AD 是 BC 边上的高B．在 △GBC 中， CF 是 BG 边上的高C．在 △ABC 中， GC 是 BC 边上的高D．在 △GBC 中， GC 是 BC 边上的高【答案】C【解析】【解答】解：A、在△ABC中， AD是BC边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；B、在△GBC △GBC 中，CF是BG边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意；C、在△ABC 中，GC不是BC边上的高，该说法错误，故本选项符合题意；D、在△GBC 中，GC 是BC边上的高，该说法正确，故本选项不符合题意.故答案为：C.【分析】过三角形一个顶点向其对边所在的直线引垂线，顶点与垂足间的线段就是三角形的高，利用三角形高线的定义，对各选项逐一判断即可.【变式8-1】如图，在 △ABC 中， BC 边上的高为（　　） A．CG B．BF C．BE D．AD【答案】D【解析】【解答】解：△ABC中， BC边上的高为：线段AD.故答案为：D.【分析】根据三角形高的定义求解即可。【变式8-2】下列说法中，①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点．正确的是（　　） A．① B．①④ C．②③ D．②④【答案】A【解析】【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故符合题意；②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故不符合题意；③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故不符合题意；④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故不符合题意．所以正确的有 ①．故答案为：A．【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形由两条高在边上。题型9：三角形的中线与周长问题9.如图，AD是 △ABC 的中线，已知 △ABD 的周长为25cm，AB比AC长6cm，则 △ACD 的周长为（　　） ​A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm【答案】A【解析】【解答】解：∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△ABD和△ACD周长的差=（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，∴△ACD周长为：25﹣6=19cm.故答案为：A.【分析】利用三角形的中线可得BD=CD，由于△ABD和△ACD周长的差=（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC=6，据此即可求出结论.【变式9-1】如图，AD为△ABC的中线，AB = 12cm，△ABD和△ADC的周长差是4cm，求△ABC的边AC的长(AC < AB). 【答案】解：∵AD为△ABC的中线， ∴BD = CD，∵△ABD和△ADC的周长差是4cm，∴AB + AD + BD – (AC + AD + CD) = AB + AD + BD – AC – AD – BD = AB – AC = 4cm，∵AB = 12cm，∴AC = AB – 4cm = 8cm.【解析】【分析】根据三角形中线的定义得出BD = CD， 再根据△ABD和△ADC的周长差是4cm列出等式，化简得出AB – AC = 4cm， 即可求出AC的长.【变式9-2】如图:在 ΔABC 中（ AC>AB ）， AC=2BC ， BC 边上的中线 AD 把 ΔABC 的周长分成 60cm 和 40cm 两部分，求边 AC 和 AB 的长. 【答案】解：∵AD 是 BC 边上的中线， AC=2BC ， ∴BD=CD ， 设 BD=CD=x ， AB=y ，则 AC=4x ，∵AC>AB ，∴AC+CD=60 ， AB+BD=40 ，即 4x+x=60 ， x+y=40 ，解得： x=12 ， y=28 ，即 AC=4x=48cm ， AB=28cm ．【解析】【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD=CD，设BD=CD=x，AB=y，则AC=4x，再分△ACD的周长是60与△ABD的周长是60两种情况讨论即可。题型10：三角形的中线与面积问题10.三角形一边上的中线把原三角形分成两个（　　）A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形C．直角三角形 D．周长相等的三角形【答案】B【解析】【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形.故答案为：B.【分析】根据等底同高，可知三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形.【变式10-1】如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，△ABC的面积为6cm2，则△BDE的面积为　 　．【答案】32【解析】【解答】解：∵D、E分别是BC，AD的中点，∴S△BDE= 12 S△ABD，S△ABD= 12 S△ABC，∴S△BDE= 14 S△ABC= 14 ×6= 32 ．故答案为 32 ．【分析】根据三角形中线的性质：将三角形的面积分成相等的两部分可得S△BDE= 12 S△ABD，S△ABD= 12 S△ABC，因此S△BDE= 14 S△ABC= 14 ×6，即可求出答案。【变式10-2】如图，在△ ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若△ ABC的面积为4cm2，则阴影部分的面积为 　 　cm2【答案】1【解析】【解答】解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE＝12S△ABD，S△ACE＝12S△ADC，∴S△ABE＋S△ACE＝12S△ABC＝12×4＝2cm2，∴S△BCE＝12S△ABC＝12×4＝2cm2，∵点F是CE的中点，∴S△BEF＝12S△BCE＝12×2＝1cm2．故答案为：1．【分析】利用三角形的角平分线、中线的性质，再根据三角形的面积公式计算即可。