安徽省淮北市“五校联考”2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此求解即可．
【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
2. 若代数式有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
∴，
故选：C．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，直接根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故选：C．
4. 若关于一元二次方程有实数根，则实数 的值可能是（ ）
A. 10B. 8C. 5D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于的不等式是解答此题的关键．若一元二次方程没有实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
即且，
，且
故选：D．
5. 据统计，2021年和2023年我省粮食产量分别为亿斤和亿斤．设2021年至2023年我省粮食产量的年平均增长率为，依题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设2021年至2023年我省粮食产量的年平均增长率为，则2022年该省粮食产量为亿斤，则2023年该省粮食产量为亿斤，据此列出方程即可．
【详解】解：设2021年至2023年我省粮食产量的年平均增长率为，
由题意得，，
故选：B．
6. 将一元二次方程配方成的形式，则的平方根是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，求一个数的平方根，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此求出，则，再根据平方根的定义求出答案即可．
【详解】解：
，
∴，
∴，
∴的平方根是，
故选：B．
7. 如图，在平面直角坐标系中，点，， 以点为圆心，长为半径画弧，交 轴的正半轴于点，则点的横坐标介于（ ）

A. 和之间B. 和之间C. 和之间D. 和之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，先根据勾股定理求出的长，由于，故估算出的长，再根据点在轴的正半轴上即可得出结论．
【详解】解：∵点坐标为，
，
点、均在以点为圆心，以为半径的圆上，
，
∵,
∴，点在轴的正半轴上，
点的横坐标介于和之间．
故选：C．
8. 在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件不能说明是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，正确理解勾股定理的逆定理是解题的关键．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
【详解】A、，
，
，
，
，
是直角三角形，
故此选项正确，不符合题意；
B、设，则，，
，
是直角三角形，
故此选项正确，不符合题意；
C、，
，
，
是直角三角形，
故此选项正确，不符合题意；
D、，，，
，
不是直角三角形，
故此选项错误，符合题意．
故选D．
9. 国是较早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在西周 由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据图形面积之间的关系，逐项推理论证判断即可．
【详解】解：A．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意；
B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意；
D．图中图形面积等于边长为c的正方形面积，加上两个直角边分别为a、b的长方形面积，即其面积为：，也可看作是一个梯形面积加上一个等腰直角三角形的面积，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意；
故选：C．
10. 阿进同学有一块长， 宽的长方形纸板，他想制作一个有盖的长方体盒子．为了合理使用材料，他设计了如图所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形．如果裁剪并折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状相同），那么裁去的左侧正方形的边长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程实际应用，设裁去左侧正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可．
【详解】解：设裁去左侧正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为，
由题意得，
整理得：，
解得： (不合题意，舍去)
∴折成有盖盒子，裁去左侧的正方形边长是，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算：______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
12. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】设绳索长为尺，
可列方程：，
故答案为：．
13. 如图所示的是一块长方体木块，长，宽，高 ，棱 上的点处有一滴蜂蜜，，如果一只蚂蚁要从长方 体木块的顶点处，沿着长方体的表面爬行到点处吃蜂蜜，那么蚂蚁需要爬行的最短路径的长是 _________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用；要把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．
【详解】解：第一种情况：把我们所看到的上面和右面组成一个平面，

，，
，，
，，
则所走的最短路径的长是；
第二种情况：把我们看到的前面与右面组成一个长方形，

，，
，，
所以走的最短路径的长是；
第三种情况：把我们所看到的上面和后面组成一个长方形，

，，，
，
则所走的最短路径的长是；
，
所走的最短路径的长是．
故答案为：．
14. 定义：如果关于x 的一元二次方程有两个实数根为，且满足，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）方程 __________________ (选填“是”或“不是”)“倍根方程”．
（2）若是“倍根方程”，则_________
【答案】 ①. 是 ②. 或
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义：
（1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可；
（2）先解方程得到，再根据“倍根方程”的定义求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
解得，
∴，
∴方程 是 “倍根方程”．
故答案为：是；
（2）解方程得，
∵是“倍根方程”，
∴或，
故答案为：或．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算．
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握相关法则是解题的关键．
（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
16. 选择适当的方法解方程．
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可；
（2）先去括号，然后移项，合并同类项，进而利用配方法解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 2024年中央广播电视总台春节联欢晚会的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．某商场以80元/件的进价购进一款印有“龘”字图案的卫衣．试销发现：当售价为120元/件时，平均每天能卖出60件；若这种卫衣的售价每下降5元，则平均每天能多售出20件．该商场要使销售此款卫衣平均每天的利润为3000元，且尽可能让利于消费者，每件卫衣应降价多少元？
【答案】元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到关键描述语，找到等量关系，然后准确的列出方程是解决问题的关键．最后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．设每件的售价应降低元，那么就多卖出件，每件利润元，根据等量关系：每天盈利元，可列方程求解即可．
【详解】解：设每件的售价应降低元，
根据题意，得．
解得：，．
因为要尽可能让利于消费者，所以，
答：每件的售价应降低元．
18. 以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组．记为（3，4，5），类似地，还可得到下列勾股数组：（8，6，10），（15，8，17），（24，10，26）等．
（1）根据上述四组勾股数的规律，写出第六组勾股数；
（2）用含（且为整数）的数学等式描述上述勾股数组的规律，并证明．
【答案】（1）第六组勾股数为（48，14，50）；（2）规律： 第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；证明见详解．
【解析】
【分析】（1）先找出勾股数组中间数的规律，然后观察数组中两端数组相差2，利用方程求出第一个数，可得第六组勾股数为（48，14，50）
（2）先找出勾股数中中间数的规律，然后利用方程求出勾股数中的一个数与第三个数规律：第n组勾股数为第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；(n2-1)2+(2n)2= n4+2n2+1，(n2+1)2=n4+2n2+1，可得 (n2-1)2+(2n)2 =(n2+1)2．
【详解】（1）第一组中间数为4=2×2，第二组中间数为6=2×3，第三组中间数为8=2×4，第四组中间数为10=2×5，第五组中间数为12=2×6，第六组中间数为14=2×7，
两头的两数差二，设较小的数为x，另一个数为x+2
则（x+2）2-x2=142,
解得x=48
∴第六组勾股数为（48，14，50）；
（2）规律：中间数规律是2n（n≥2）
设第一个数为 x，第三个数为x+2
则，
解得，
第n组勾股数为（n2-1，2n，n2+1）；
证明：(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1，
(n2+1)2=n4+2n2+1，
∴(n2-1)2+(2n)2 =(n2+1)2．
【点睛】本题考查勾股数，方程，平方差公式，关键在于找出式子变化的规律．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，从一张面积为的正方形纸板的四个角上各剪掉一个面积为的小正方形，将剩余部分制作成一个无盖的长方体盒子．

（1）原来大正方形的边长为________；剪掉的四个小正方形的边长为________．（结果用最简二次根式表示）
（2）分别求这个长方体盒子的底面边长和体积．（结果精确到0.1，参考数据：，，）
【答案】（1）4，
（2）这个长方体盒子的底面边长为4.5cm，体积为
【解析】
【分析】本题考查二次根式的应用．
（1）利用正方形的面积公式和二次根式的性质，求出大正方形和小正方形的边长即可；
（2）用大正方形的边长减去两个小正方形的边长求出底面边长，利用长方体的体积公式求出体积即可．
掌握二次根式的性质和运算法则，是解题的关键．
【小问1详解】
解：大正方形的边长为；剪掉的四个小正方形的边长为cm．
故答案为：4，；
【小问2详解】
这个长方体盒子的底面边长为，
这个长方体盒子的体积为．
答：这个长方体盒子的底面边长为4.5cm，体积为．
20. 已知关于x 的方程．
（1）若原方程有两个不相等的实数根，求n 的取值范围．
（2）若n 为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的5倍，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程：
（1）根据根的判别式得到，解之即可得到答案；
（2）先求出，进而解原方程得到或，根据题意可得，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵方程，
∴，
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，n 为符合条件的最小整数，
∴，
∴原方程为，即，
∴，即，
解得或，
∵该方程的较大根是较小根的5倍，
∴，
∴．
六、（本题满分12分）
21. 如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题．
（1）若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ．
（2）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
（3）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；；；
（2）10 （3）方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据日历的特点先求出b、c、d，再根据当a越大时，b也越大，求出a的最大值即可求出的最大值；
（2）根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（3）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．
【小问1详解】
解：由题意得，；
∵a是正整数，
∴也是正整数，
∴当a越大时，b也越大，
根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24，
∴的最大值为；
故答案为：；；；；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
∴最小数是10；
【小问3详解】
解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下：
假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∵时，在最后一列，
假设不成立，
即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124．
七、（本题满分12分）
22 阅读下面材料，解答下列问题．
一般地，设平面内任意两点，，这两点之间的距离当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点之间的距离公式可简化为或．
（1）已知点 ，，求 ，两点之间的距离．
（2）已知点， 所在的直线平行于 轴，点的纵坐标为，，两点之间的距离为，求点的纵坐标．
（3）已知各顶点的坐标分别为，，，请判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）A，B两点间的距离为13
（2）A的纵坐标为6或
（3）为等腰直角三角形
【解析】
【分析】本题考查两点间的距离公式及勾股定理，熟记以上知识是解题的关键．
（1）直接利用两点间的距离公式计算；
（2）由于横坐标相同，所以、两点间的距离等于纵坐标差的绝对值；
（3）先根据两点间的距离公式计算出、、，然后根据勾股定理的逆定理进行判断．
【小问1详解】
解：，
即A，B两点间的距离为13．
【小问2详解】
∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，
∴A的纵坐标为或者．即点A的纵坐标为6或．
【小问3详解】
为等腰直角三角形．理由如下：
∵，
，
，
∴，且
∴为等腰直角三角形．
八、（本题满分14分）
23. 阅读下面计算过程：
；
；
.
解答下列问题．
（1）仿照上面的解题过程化简：
（2）请直接写出的化简结果： ．
（3）利用上面的规律，请化简 ．
（4）利用（2）中的结论比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算；
（1）根据例题进行计算即可求解．
（2）根据题中的算式，直接得出规律即可；
（3）利用（2）中规律展开，然后去括号合并即可．
（4）根据（2）的结论即可求解．
【小问1详解】
解：，
故答案为：，．
【小问2详解】
解：由题目计算过程可得：，
故答案为：；
【小问3详解】
解：原式
．
【小问4详解】
解：∵理由如下，
根据（2）中的规律可得：，，
∵，
∴，
∴．