河北省唐山市迁安市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷或答题卡相应位置上．
3．考生务必将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
一、选择题：（本大题有16个小题，每小题2分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1. 如图，同一平面内有两条直线和，则与的位置关系是（ ）
A. 平行B. 相交C. 垂直D. 都不是
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查同一平面内两直线的位置关系．掌握同一平面内两直线的位置关系是相交或平行是解题的关键．
根据图形直接判定即可．
【详解】解：由图可知，直线a与b的位置关系是相交．
故选：B．
2. 若，则“□”是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘除互化，由得到，从而得到答案．
详解】解：，
，
“□”是，
故选：B．
【点睛】本题考查同底数幂的乘除运算，根据条件将同底数幂的乘法转化为同底数幂的除法是解决问题的关键．
3. 如图，直线，相交于，所形成的，，，中是对顶角的一组是（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了对顶角，掌握对顶角概念：具有公共顶点，一角的两边是另一角两的延长线的两角叫对顶角是解题的关键．
根据对顶角概念判定出对楠顶角即可求解．
【详解】解：由图可知：和是对顶角，和是对顶角，
故选：D．
4. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 内错角相等B. 互为相反数的两数之和等于1
C. 两个偶数和一定能被4整除D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查判断命题的真假，根据平行线的性质，相反数的性质，整除，以及等式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，故选项为假命题；
B、互为相反数的两数之和等于0，故选项为假命题；
C、，2不能被4整除，因此，两个偶数和一定能被2整除，不一定能被4整除，故选项为假命题；
D、若，则，故选项为真命题；
故选：D．
5. 如图，直线截直线，，下列说法正确的是（ ）
A. 与是同旁内角B. 与是同旁内角
C. 与是同位角D. 与是内错角
【答案】A
【解析】
【分析】根据对顶角、邻补角、同位角、内错角对选项进行判断，即可求解，
此题主要考查了，邻补角、同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是：熟练掌握相关判定方法．
【详解】解：、与是同旁内角，该选项正确，符合题意；
、与是邻补角，该选项错误，不符合题意；
、与是内错角，该选项错误，不符合题意；
、与是同旁内角，该选项错误，不符合题意；
故选：A．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘除法，根据积的乘方，同底数幂的乘除法，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
7. 如图，，经过点，，则的度数（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂线，对顶角性质．根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
根据垂直定义可得，根据对顶角相等，得，从而求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
8. 若是方程的一个解，则的值（ ）
A B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，将方程的解代入原方程中，解关于的一元一次方程即可求解．
【详解】解：将代入得：
，
解得：，
故选：B．
9. 如图，已知且被直线所截，交点为、，，求的度数．对说理过程中的理由表述不正确的是（ ）
（①）
（②）
（③）
（④）
A. ①表示同位角相等B. ②表示对顶角相等
C. ③等量代换D. ④表示已知
【答案】A
【解析】
【分析】据对顶角以及平行线的性质，即可得出结论，
本题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟练掌握平行线的性质．
【详解】解：
（两直线平行，同位角相等）
（对顶角相等）
（等量代换）
（已知）
故选：．
10. 张大爷打算将长为米，宽为米的田地向外开垦一些，如图，使得长再增加米，宽再增加米，扩建后的田地的面积，表述正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据题意列出代数式即可求解．
【详解】解：依题意，扩建后的田地的长为，宽为，
∴扩建后的田地的面积为，
故选：C．
11. 已知，则的值是（ ）
A. B. 9C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【详解】解：，
∴，
．
故选：B．
12. 将一个含有的三角板按如图所示，摆放在一组平行线内，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线判定和性质，与三角板有关的计算，过直角顶点作直线，得到，推出，求解即可．
【详解】解：如图，过直角顶点作直线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
13. 解方程组的思路可用如图的框图表示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为( )
A. ①×2+②×3B. ①×2-②×3C. ①×3-②×2D. ①×3+②×2
【答案】C
【解析】
【分析】消去未知数x，变形思路是①×3-②×2，再得出选项即可．
【详解】解：，
①×3，得6x+9y=24③，
②×2，得6x-4y=-2④，
③-④，得（6x+9y）-（6x-4y）=24-（-2），
即变形的思路是①×3-②×2，
故选：C．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
14. 若算式，推测算式表示的意义是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查乘方的意义．掌握表示n个a相乘是解题的关键．
根据乘方的意义解答即可．
【详解】解：
故选：B．
15. 体育课上甲、乙、丙三位同学依次进行跳远测试，他们都从点起跳，落脚点分别为、、，且它们三点在同一直线上，且平行于起跳板，如图，则三位同学的成绩（ ）
A. 甲最好B. 乙最好C. 丙最好D. 一样好
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线间的距离，根据题意，它们三点在同一直线上，且平行于起跳板，则成绩一样，即可求解．
【详解】解：依题意，、、，且它们三点在同一直线上，且平行于起跳板，
∴三位同学的成绩一样，
故选：D．
16. 我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半响”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊只，则下列说法正确的是（ ）
A. 列方程：
B. 列方程组为：
C. 设乙有羊只，列方程组为：
D. 甲有羊27只，乙有羊18只
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找等量关系列出方程（组）是解题的关键．
设甲有羊只，乙有羊只，根据“乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”列出方程组为．可判定A、B错误，C正确，再解方程组求得x、y值，可判定D错误．
【详解】解：设甲有羊只，乙有羊只，根据题意，得，
故A、B选项错误，C选项正确；
解方程组得：，即甲有羊63只，乙有羊45只．故D错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共3小题，共10分；17、18题每空3分；19小题有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）
17. 如图是钓鱼马孔示意图，请根据图中标注的数据，求___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了对顶角相等，根据对顶角相等即可求解．
【详解】解：根据对顶角相等可得：
故答案为：．
18. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查有理数混合运算，逆用积的乘方法则简便计算是解题的关键．
先逆用积的乘方运算法则变形为，再计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
19. 规定：若整式A与满足（为整数）则称A与为关于的和谐整式．例如，若，我们称与为关于3的和谐整式 ．
（1）若与为关于1的和谐整式，的值____；
（2）若与为关于5的和谐整式，与为关于5的和谐整式，的值____．
【答案】 ①. ②. 1
【解析】
【分析】（1）读懂题意根据新定义列式求值即可；
（2）根据新定义列方程组，求出x、y值，再代入求代数式的值．
【详解】解：（1）根据题意可得：
解得：；
故答案为：．
（2）根据题意可得：，
解得：，
∴
故答案为：1．
【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程，解二元一次方程组，代数式求值．做题关键要读懂题意，按照新定义列出方程或方程组．
三、解答题（本大题共6个小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】本题考查实数混合运算，整式混合运算．熟练掌握零指数幂与负整指数幂运算法则和幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
21. 已知二元一次方程．
（1）请直接写出它的所有的自然数解；
（2）小红写出另一个二元一次方程，和已知方程具有相同的一组解，求两个方程相同的解．
【答案】（1），，，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程解为自然数解答即可；
（2）由（1）根据方程的解为自然数解答即可；
（2）由方程和已知方程组成方程组，然后利用加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
当时， ；
当时， ；
当时， ；
当时， ；
∴二元一次方程的自然数解是：
，，，；
【小问2详解】
解：由题意，得
∴
，得，
解得：，
把代入②，得，
∴．
22. 如图，三角形的三个顶点都在每格为1个单位长度的格点上，点是三角形内任意一点，．将三角形先向右平移四个单位长度得到三角形，再向下平移三个单位长度后得到三角形．
（1）画出平移后的三角形和三角形．
（2）连接，
①与形成的是__________
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角
②若点随的平移而平移，经过两次平移后，的对应点为，如果，则的长为__________；
③如果，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）①C；②5；③
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，平移的性质，平行线的性质；
（1）根据平移找到对应点，顺次连接对应点即可求解；
（2）①根据与的位置关系进行加判断，即可求解；
②根据平移的性质，即可求解；
③根据平移的性质可得，，进而根据平行线的性质即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，三角形和三角形即为所求；
【小问2详解】
①根据图形可得与是同旁内角，
故选：C．
②根据平移的性质可得，，
故答案为：．
③根据平移的性质可得，，
又∵，
∴
∴
23. 综合实践活动中，老师让学生观察日历探索数字间的规律．小红利用2024年4月份的日历（如图12），用方框任意圈出四个数，将4个位置上的数交叉相乘，再相减．例如：①；②；③．
【归纳总结】请你自己选择一组数字模仿示例写出算式并计算出结果：__________；
【推理验证】①设方框任意框住的四个数字最小的为，则框住部分最大数字为__________；
②请在①的基础上对你发现的规律加以证明．
【答案】【归纳总结】（答案不唯一）；【推理验证】①；②见解析
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算和列代数式；
[归纳总结]根据题意写出一个等式即可求解；
[推理验证] ①根据日历中的数字规律即可求解；
②根据整式乘法公式，把化简，即可证明．
【详解】解：[归纳总结] 根据题意，，
故答案为：（答案不唯一）．
[推理验证]①设方框任意框住的四个数字最小的为，则框住部分最大数字为，
故答案为：．
②设方框任意框住的四个数字最小的为，则其余三个数分别为，
依题意，
24. 如图，已知，且．

（1）求证：；
（2）若平分，且，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质，与角平分线相关的角的计算．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）利用补角的性质求，即可由平行线的判定定理得出结论；
（2）先证明，由平行线的性质得出，，再根据角平分线的定义求解即可．
小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵
∴
∵
∴
∴
∴，，
∵平分，
∴
∴．
25. 甲、乙两个玩具的成本共400元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定甲玩具按的利润率标价出售，乙玩具按的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价的9折出售，这样商店共获利158元．
（1）小丽按老师要求，勾画了两句等量关系句（题中带横线的句子），并把它们写成等量关系式表述正确的是（ ）
①甲玩具按的利润率标价：甲的标价=甲玩具成本价；
②乙玩具按标价的9折出售：乙玩具的售价=乙玩具的标价；
A．①正确，②不正确 B．①不正确，②正确 C．①②不正确 D．①②都正确
（2）甲的成本为元，乙的成本是元．用含，的代数式表示表格中字母处的代数式；
（3）在（2）的条件下，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元？
【答案】（1）B （2）；
（3）甲玩具的成本是200元，乙玩具的成本是200元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式，根据成本、利润，标价、售价的关系列出代数式是解题的关键．
（1）利用标价成本价利润率）及售价标价折扣率，即可用含，的代数式表示出甲、乙玩具的标价及售价，即可得出答案；
（2）根据甲的售价=甲玩具成本价利润率）折扣率，乙玩具的标价=乙玩具的成本价利润率），列式即可；
（3）根据“甲、乙两个玩具的成本共400元，两个玩具打折销售后共获利158元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
【小问1详解】
解：甲的售价=甲玩具成本价，故①错误，
乙玩具的标价=乙玩具的成本价，故②正确，
故选：B．
【小问2详解】
解：，
．
【小问3详解】
解：根据题意：得
解得：，
答：甲玩具的成本是200元，乙玩具的成本是200元．玩具类型
成本价
标价
售价
甲玩具
乙玩具