广东省惠州市龙门县永汉中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份广东省惠州市龙门县永汉中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷，共19页。
1．（3分）要使式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≤1B．x≤﹣1C．x≥0D．x＞﹣1
2．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．2+4＝6B．＝﹣3C．÷＝3D．＝2
3．（3分）下列二次根式中，不是最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）在三边分别为下列长度的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．3，4，5B．4，5，7C．2，3，D．1，，
5．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的菱形是正方形
6．（3分）直线y＝3﹣2x不经过的象限是（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
7．（3分）如图，已知△ABC的面积为48，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DE长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，连接AE若CD＝6，AE＝10，则AD的长为（ ）
A．12B．14C．16D．20
9．（3分）把图1的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图2），已知∠MPN＝90°，PM＝3，PN＝4，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．12B．C．D．
10．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①OG＝AB；
②与△DEG、全等的三角形共有5个；
③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
其中一定成立的是（ ）
A．①③④B．①②③C．①②④D．②③④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）计算＝ ．
12．（3分）如图，在数轴上方作边长为1的小正方形网格，以原点O为圆心，OB的长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数为 ．
13．（3分）已知|a﹣1|+＝0，则a+b＝ ．
14．（3分）▱ABCD中，∠BAC＝60°，AC、BD相交于点O，且∠BOC＝2∠ACB，若AB＝4，则BD的长为 ．
15．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE＝4，则线段BE的长为 ．
16．（3分）已知正方形ABCD中，CD＝6，点E在CD边上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．若∠BAG＝∠FAG，则三角形CEG的周长是 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）计算（﹣1）2+（﹣1）（+1）．
18．（8分）已知y与2x﹣1成正比例，当x＝2时，y＝6．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y＝﹣6时，求x的值．
19．（8分）如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC交AD于E，交BC于F，连接AF、EC．
（1）试判断四边形AFCE的形状，并证明你的结论；
（2）若CD＝4，BC＝8，求S四边形AFCE的值．
20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，1），若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（在平面直角坐标系中画出平行四边形并标上点D的坐标．）
21．（9分）在下面的△ABC中，请你按要求用尺规作出下列图形（保留作图痕迹）并填空．
（1）作出∠BAC的平分线交BC边于点D；
（2）作出AC边上的垂直平分线l交AD于点G；
（3）连接GC，若∠B＝55°，∠BCA＝60°，则∠AGC的度数为 ．
22．（9分）城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑梯的高AC长为2米，点D，B，C在同一水平地面上．求：
（1）改善后滑滑梯加长多少米？
（2）若滑滑梯的正前方有3米长的空地就能保证安全，原滑滑梯前有4.5米的空地，像这样的改造是否行？请说明理由．
23．（10分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
（1）求证：CE＝CF．
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）（2）解答中所累积的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一点，且∠GCE＝45°，BE＝4，求GE的长．
24．（12分）（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 ；
（2）如图2，在正△ABC中，AB＝4，P、M、N分别是BC、CA、AB上的动点，
①PM+MN的最小值为 ；
②求PM+MN+NP的最小值．
（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是边AB和BC上的动点且始终满足AE＝BF，连结DE、DF，求DE+DF的最小值．
广东省惠州市龙门县永汉中学2022-2023学年八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：式子有意义，
则1﹣x≥0，
解得，x≤1，
故选：A．
2． 解：A、2+4，无法计算，故此选项错误；
B、算术平方根没有负的，故此选项错误；
C、÷＝3，此选项正确；
D、＝＝，故此选项错误；
故选：C．
3． 解：A、是最简二次根式，不合题意；
B、是最简二次根式，不合题意；
C、是最简二次根式，不合题意；
D、，不是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
4． 解：A、∵32+42＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴长为3，4，5的三边能组成直角三角形；
B、∵42+52＝41，72＝49，
∴42+52≠72，
∴长为4，5，7的三边不能组成直角三角形；
C、∵22+（）2＝9，32＝9，
∴22+（）2＝32，
∴长为2，3，的三边能组成直角三角形；
D、∵12+（）2＝3，（）2＝3，
∴12+（）2＝（）2，
∴长为1，，的三边能组成直角三角形．
故选：B．
5． 解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意．
故选：C．
6． 解：∵k＝﹣2＜0，b＝3，
∴直线y＝3﹣2x经过第一、二、四象限，
∴直线y＝3﹣2x不经过第三象限．
故选：B．
7． 解：连接AD，过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵△ABC的面积为48，AB＝AC＝8，
∴AB•CG＝48，
∴CG＝12，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△ABD的面积+△ACD的面积＝△ABC的面积，
∴AB•DE+AC•DF＝AB•CG，
∴DE+DF＝CG＝12，
∵DF＝2DE，
∴DE＝4，
故选：C．
8． 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC，∠ADC＝∠B＝90°＝∠C，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝45°，
∴∠CDE＝∠DEC＝45°，
∴CD＝CE＝6，
∵BE＝＝＝8，
∴AD＝BC＝BE+CE＝8+6＝14，
故选：B．
9． 解：由勾股定理得，MN＝5，
设Rt△PMN的斜边上的高为h，则矩形的宽AB也为h，
根据直角三角形的面积公式得，h＝PM•PN÷MN＝，
由折叠的性质知，BC＝PM+MN+PN＝12，
∴矩形的面积＝AB•BC＝．
故选：B．
10． 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS），
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝CD＝AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS），
在△BGA和△COD中，
，
∴△BGA≌△COD（SAS），
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确；
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：＝|﹣6|＝6．
故答案为：6．
12． 解：由图可知：OB＝，
∵OA＝OB，
∴OA＝，
∴A点表示的数为．
故答案为：．
13． 解：由题意得，a﹣1＝0，b+7＝0，
解得a＝1，b＝﹣7，
所以a+b＝1+（﹣7）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
14． 解：如图，作BE⊥AC于点E，延长CE到点C′，使EC′＝EC，连接BC′，
∴BE是CC′的垂直平分线，
∴BC＝BC′，
∴∠C′＝∠ACB，
∵∠BOC＝∠C′BO+∠C′，
∴∠BOC＝∠C′BO+∠ACB，
∵∠BOC＝2∠ACB，
∴2∠ACB＝∠C′BO+∠ACB，
∴∠ACB＝∠C′BO，
∴∠C′＝∠C′BO，
∴OB＝OC′，
设OE＝x，
∴C′E＝CE＝OE+OC＝x+OC，
∴CC′＝2CE＝2（x+OC）＝2x+2OC，
∵AC＝2OC，
∴AC′＝CC′﹣AC＝2x，
∴OC′＝AC′+OA＝2x+OC，
∴OB＝OC′＝2x+OC，
在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝AB＝2，BE＝2，
∴OB＝OC′＝2+3x，
在Rt△OBE中，根据勾股定理，得
OB2＝OE2+BE2，
∴（2+3x）2＝x2+（2）2，
解得x＝或x＝﹣2（舍去），
∴OB＝2+3x＝，
∴BD＝2OB＝7．
故答案为：7．
15． 解：设正方形边长为a，
∵S△ABE＝18，
∴S正方形ABCD＝2S△ABE＝36，
∴a2＝36，
∵a＞0，
∴a＝6，
在RT△BCE中，∵BC＝6，CE＝4，∠C＝90°，
∴BE＝＝＝2．
故答案为2．
16． 解：∵四边形ABCD是正方形，CD＝6，
∴BC＝CD＝6，∠B＝∠D＝90°，
由折叠得FE＝DE，∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFG＝∠B＝90°，
在△AFG和△ABG中，
，
∴△AFG≌△ABG（AAS），
∴FG＝BG，
∴CE+EG+CG＝CE+FE+FG+CG＝CE+DE+BG+CG＝CD+BC＝6+6＝12，
∴△CEG的周长是12，
故答案为：12．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17． 解：（﹣1）2+（﹣1）（+1）
＝2﹣+1+2﹣1
＝4﹣．
18． 解：（1）设y＝k（2x﹣1），
把x＝2时，y＝6代入得：6＝3k，解得k＝2，
∴y＝2（2x﹣1），
即y＝4x﹣2；
（2）把y＝﹣6代入y＝4x﹣2得﹣6＝4x﹣2，
解得x＝﹣1．
19． 解：（1）菱形．
证明：∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，AE＝CE．
而∠AOE＝∠COF，
又∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE＝CF
又AE∥CF
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴▱AFCE是菱形．
（2）先设CF＝x，那么BF＝8﹣x，
由（1）知AF＝CF，
故CF＝x，
在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即（8﹣x）2+42＝x2，解得，x＝5，
所以S菱形AFCE＝CF×AB＝20．
20． 解：如图，
∵A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，1），
以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴点D的坐标为：（﹣5，﹣1）或（﹣1，5）或（3，﹣3）．
21． 解：（1）∠BAC的平分线AD如图所示；
（2）线段AC的垂直平分线l如图所示；
（3）∵∠B＝55°，∠BCA＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠BCA＝65°．
∵AD为∠BAC的平分线，
∴．
∵直线l为线段AC的垂直平分线，
∴AG＝CG，
∴∠ACG＝∠CAG＝32.5°，
∴∠AGC＝180°﹣∠ACG﹣∠CAG＝115°．
故答案为：115°．
22． 解：（1）∵AC⊥CD，∠D＝30°，AC＝2（米）．
在直角三角形ADC中，AD＝2×AC＝2×2＝4（米）．
在直角三角形ABC中，（米），
∴（米）．
答：改善后滑滑梯加长米．
（2）在直角三角形ADC中，∠D＝30°，AC＝2．AD＝2AC＝4（米）．
在直角三角形ABC中，∠ABC＝45°，AC＝2米，
∴BC＝2（米），
∴（米）．
那么预计滑板改善后前面留的空地的长度应该是．
因此，此方案是可行的．
23． （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠CDF＝90°，
在△CBE和△CDF中，
，
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE＝CF；
（2）解：GE＝BE+GD成立，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
由（1）知，△CBE≌△CDF，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠DCF，
∴∠DCF+∠ECD＝∠BCE+∠ECD＝∠BCD＝90°，
即∠ECF＝90°，
又∵∠GCE＝45°，
∴∠GCF＝∠GCE＝45°，
在△ECG和△FCG中，
，
∴△ECG≌△FCG（SAS），
∴GE＝GF，
∵GF＝DF+GD，DF＝BE，
∴GE＝DF+GD＝BE+GD；
（3）解：过C作CD⊥AG，交AG的延长线于D，如图2所示：
则∠CDA＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝90°，
∴∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝12，
∵BE＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝8，
由（2）得：GE＝BE+GD，
设GD＝x，则GE＝4+x，AG＝12﹣x，
在Rt△AEG中，由勾股定理得：AE2+AG2＝GE2，
即82+（12﹣x）2＝（4+x）2，
解得：x＝6，
∴GE＝4+6＝10．
24． 解：（1）作点C关于AB的对称点C'，连接C'D交AB于E'，此时CE+DE的最小值为C'D的长，
由对称性知，BC'＝BC＝4，∠ABC'＝∠ABC＝45°，
∴∠CBC'＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝2，
在Rt△DBC'中，由勾股定理得，C'D＝＝＝2，
∴CE+DE的最小值为2，
故答案为：2；
（2）①作点P关于AC的对称点P'，连接P'N，此时PM+MN的最小值为P'N的最小值，
由对称性知，∠P'CA＝∠ACB＝∠CAB＝60°，
∴CP'∥AB，
作CH⊥AB于H，
∴P'N的最小值为CH的长，
∵BH＝2，CB＝4，
∴CH＝＝＝2，
故答案为：2；
②如图，分别作点N关于AC，BC的对称点，作CH⊥AB于点H，
由对称可知，∠N1CN2＝2∠ACB＝120°，
∴MN+MP+NP＝N1M+MP+PN2≥N1N2＝CH＝6，
∴MN+MP+NP的最小值是6；
（3）连接CE，作点D关于点A的对称点D1，连接CD1交AB于点E'，
正方形ABCD中，∠DCB＝∠B＝90°，AB＝BC＝CD，
又∵AE＝BF，
∴BE＝CF，
在△BEC与△CFD中，
，
∴△BEC≌△CFD（SAS），
∴DF＝CE，
∴DE+DF＝DE+CE≥CE'+E'D1＝CD1＝＝4，
∴DE+DF的最小值是4．