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2022-2023学年广东省惠州市小金茂峰学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省惠州市小金茂峰学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省惠州市小金茂峰学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若二次根式 x−2有意义，则x的取值范围是( )
A. x<2 B. x≠2 C. x≤2 D. x≥2
2. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( )
A. 当AB=BC时，它是菱形
B. 当AC⊥BD时，它是菱形
C. 当AC=BD时，它是正方形
D. 当∠ABC=90°时，它是矩形
3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. 12 B. 5 C. 4 D. 0.8
4. 下列各组数中，以a、b、c为边长的三角形不是直角三角形的是( )
A. a=3，b=4，c=5 B. a=0.6，b=0.8，c=1
C. a=32，b=2，c=3 D. a=1，b=2，c= 5
5. 若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是( )
A. 30 B. 60 C. 32.5 D. 40
6. 如果x≥1，那么化简 −(1−x)3的结果是( )
A. (1−x) 1−x B. (x−1) x−1 C. (1−x) x−1 D. (x−1) 1−x
7. 顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是( )
A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形
8. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为( )
A. − 5 B. −1− 5 C. 1− 5 D. −1+ 5
9. 已知：如图菱形ABCD中，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是( )
A. 16 3
B. 16
C. 8 3
D. 8
10. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=10，则EF的长为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算：( 3)2= ______ ； 20= ______ ．
12. 有一个直角三角形的两边为4、5，要使三角形为直角三角形，则第三边等于______．
13. 如果最简二次根式 1+a与 4a−2是同类二次根式，那么a=______．
14. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是______．
15. 如图，将长8 cm，宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为________cm．
三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）
16. 已知x= 3+ 2，y= 3− 2，求x2+y2+2xy−2x−2y的值．
四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1)(3− 7)(3+ 7)+ 2(2− 2)；
(2)9×3−2+(π−3)0−|−2|+ 2× 8．
18. (本小题8.0分)
如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF.试判断四边形AECF的形状并加以证明．
19. (本小题8.0分)
某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口32小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
20. (本小题9.0分)
如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC.若BC=2 3，求AB的长．
21. (本小题9.0分)
如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？
22. (本小题12.0分)
如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN//BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
(1)求证：OE=OF；
(2)若CE=12，CF=5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
23. (本小题12.0分)
如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
(1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意得，x−2≥0，
解得，x≥2，
故选：D．
根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据菱形、矩形、正方形的判定逐个判断即可．
本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、 12= 22，不是最简二次根式，故此选项错误；
B、 5，是最简二次根式，故此选项正确；
C、 4=2，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、 0.8= 45，不是最简二次根式，故此选项错误．
故选：B．
直接利用最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案．
此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵32+42=52，故选项A中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
∵0.62+0.82=12，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
∵(32)2+22≠32，故选项C中的三条线段不能构成直角三角形，符合题意；
∵12+22=( 5)2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理，可以判断出各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
5.【答案】A
【解析】解：设另一直角边为x，
∵斜边的长为13，一条直角边长为5，
∴x= 132−52=12，
∴S=12×5×12=30．
故选：A．
设另一直角边为x，根据勾股定理求出x的值，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵x≥1，
∴1−x≤0，
∴ −(1−x)3= (x−1)3=(x−1) x−1．
故选：B．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出1−x的符号是解题关键．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了中点四边形，三角形中位线，矩形的判定方法.常用的方法有三种：
①一个角是直角的平行四边形是矩形．
②三个角是直角的四边形是矩形．
③对角线相等的平行四边形是矩形．
根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．
【解答】
解：如图，
AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF//AC，GH//AC，EH//BD，FG//BD(三角形的中位线平行于第三边)，
∴四边形EFGH是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，
∵AC⊥BD，EF//AC，EH//BD，
∴∠EMO=∠ENO=90°，
∴四边形EMON是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)，
∴∠MEN=90°，
∴四边形EFGH是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
故选：B．
8.【答案】B
【解析】解：∵BD= 22+12= 5，
∴BA= 5，
∴a=−1− 5，
故选：B．
根据勾股定理求出BD的长度，根据弧的半径相等得到BA的长度，从而求出a．
本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出BD的长度是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，OA=12AC=2，OB=12BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=4，
∴OB= AB2−OA2=2 3，
∴BD=2OB=4 3，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×4×4 3=8 3；
故选：C．
由菱形的性质得出AB=BC，OA=12AC=2，OB=12BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，再证明△ABC是等边三角形，得出AB=AC=4，根据勾股定理求出OB，得出BD，由菱形的面积=12AC⋅BD，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、菱形面积的计算；熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理求出OB是解决问题的关键．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，计算即可．
【解答】
解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC=5，
∵∠AFB=90°，D是AB的中点，
∴DF=12AB=3，
∴EF=DE−DF=2，
故选B．
11.【答案】3 2 5
【解析】解：( 3)2=3，
20= 4×5=2 5，
故答案为：3；2 5．
根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质计算即可．
本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式的性质，掌握二次根式的乘法法则、二次根式的性质是解题的关键．
12.【答案】3或 41
【解析】
【分析】
本题考查勾股定理，解题的关键是注意分情况讨论．
分两种情况讨论：①若4是直角边，5是斜边，②若4和5都是直角边，再利用勾股定理求出第三边．
【解答】
解：①若4是直角边，5是斜边，那么第三边= 52−42=3；
②若4和5都是直角边，那么第三边= 42+52= 41．
故答案是3或 41．
13.【答案】1
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义建立关于a的方程，求出a的值．
本题考查了同类二次根式，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
【解答】
解：∵最简二次根式 1+a与 4a−2是同类二次根式，
∴1+a=4a−2，
解得a=1．
故答案为1．
14.【答案】10cm
【解析】解：如图1所示：
AB= (3+3)2+82=10(cm)，
如图2所示：
AB= (3+8)2+32= 130(cm)．
∵10< 130，
∴蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
故答案为：10cm．
将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
此题考查了平面展开−最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．
15.【答案】2 5
【解析】解：连接AC，与EF交于O点，
∵E点在AB上，F在CD上，A、C点重合，EF是折痕，
∴AO=CO，EF⊥AC，
∵AB=8，BC=4，
∴AC= 82+42=4 5，
∵AE=CE，
∴∠EAO=∠ECO，
∴△OEC∽△BCA，
∴OE：BC=OC：BA，
∴OE= 5，
∴EF=2OE=2 5．
故答案为：2 5．
连接A、C，则EF垂直平分AC，推出△OEC∽△BCA，根据勾股定理，可以求出AC的长度，根据相似比求出OE，即可得出EF的长．
本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、折叠的性质；熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
16.【答案】解：∵x= 3+ 2，y= 3− 2，
∴x2+y2+2xy−2x−2y
=(x+y)2−2(x+y)
=(x+y)(x+y−2)
=( 3+ 2+ 3− 2)( 3+ 2+ 3− 2−2)
=2 3×(2 3−2)
=12−4 3．
【解析】首先对所求的式子分解因式然后代入数值计算求解．
本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，正确对所求的式子分解因式是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(3− 7)(3+ 7)+ 2(2− 2)
=9−7+2 2−2
=2 2；
(2)9×3−2+(π−3)0−|−2|+ 2× 8
=9×19+1−2+ 16
=1+1−2+4
=4．
【解析】(1)先计算二次根式的乘法运算，再合并即可；
(2)先计算负整数指数幂，零次幂，化简绝对值，二次根式的乘法运算，再合并即可．
本题考查的是二次根式的乘法运算，零次幂与负整数指数幂的含义，熟记运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵矩形ABCD中，AB//DC，
∴∠DCE=∠CEB，
∵∠DCE=∠BAF，
∴∠CEB=∠BAF，
∴FA//CE，
又矩形ABCD中，
FC//AE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】证得FA//CE后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断即可．
考查了平行四边形的判定及矩形的性质，解题的关键是牢记平行四边形的五种判定方法，难度不大．
19.【答案】解：根据题意，得
PQ=16×1.5=24(海里)，
PR=12×1.5=18(海里)，
QR=30(海里)，
∵242+182=302，
即PQ2+PR2=QR2，
∴∠QPR=90°．
由“远洋号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，
即“海天”号沿西北方向航行．
【解析】本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．
20.【答案】解：连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC//AB，∠DCB=90°．
∴∠FCO=∠EAO．
在△COF和△AOE中，
∠FCO=∠EAO∠COF=∠AOECF=AE，
∴△COF≌△AOE(AAS)，
∴OE=OF，OA=OC．
∵BF=BE，
∴BO⊥EF，
在Rt△BEO中，
∠BEF+∠ABO=90，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：
∴BO=AO=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵2∠BAC+∠BAC=90°，
∴∠BAC=30，
∵BC=2 3，
∴AC=2BC=4 3，
∴AB= AC2−BC2=6．
∴AB的长为6．
【解析】连接BO，由矩形的性质得出DC//AB，∠DCB=90°.证明△COF≌△AOE(AAS)，由全等三角形的性质得出OE=OF，OA=OC.再根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC等于30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．
本题考查了矩形的性质．等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是证明Rt△BFO≌Rt△BFC．
21.【答案】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
AB+BC+AC=36cm，
∴3x+4x+5x=36，
得x=3，
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，
∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP=9−3×1=6(cm)，BQ=2×3=6(cm)，
∴S△PBQ=12BP⋅BQ=12×(9−3)×6=18(cm2).
故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．
【解析】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．
本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
22.【答案】(1)证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN//BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
(2)解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF= CE2+CF2= 144+25=13，
∴OC=12EF=132；
(3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
理由如下：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【解析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；
(2)根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；
(3)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
本题考查了矩形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23.【答案】解：(1)结论：PB=PQ，
理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形．
∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
∠PFQ=∠PEBPF=PE∠QPF=∠BPE，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE(ASA)，
∴PB=PQ；
(2)结论：PB=PQ．
理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
∠PFQ=∠PEBPF=PE∠QPF=∠BPE，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE(ASA)，
∴PB=PQ．
【解析】(1)结论：PB=PQ，如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F.只要证明Rt△PQF≌Rt△PBE即可．
(2)结论不变，证明方法类似．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，属于中考常考题型．
2022-2023学年广东省惠州市小金茂峰学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若二次根式 x−2有意义，则x的取值范围是( )
A. x<2 B. x≠2 C. x≤2 D. x≥2
2. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是( )
A. 当AB=BC时，它是菱形
B. 当AC⊥BD时，它是菱形
C. 当AC=BD时，它是正方形
D. 当∠ABC=90°时，它是矩形
3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. 12 B. 5 C. 4 D. 0.8
4. 下列各组数中，以a、b、c为边长的三角形不是直角三角形的是( )
A. a=3，b=4，c=5 B. a=0.6，b=0.8，c=1
C. a=32，b=2，c=3 D. a=1，b=2，c= 5
5. 若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则这个三角形的面积是( )
A. 30 B. 60 C. 32.5 D. 40
6. 如果x≥1，那么化简 −(1−x)3的结果是( )
A. (1−x) 1−x B. (x−1) x−1 C. (1−x) x−1 D. (x−1) 1−x
7. 顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是( )
A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形
8. 如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为( )
A. − 5 B. −1− 5 C. 1− 5 D. −1+ 5
9. 已知：如图菱形ABCD中，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是( )
A. 16 3
B. 16
C. 8 3
D. 8
10. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=6，BC=10，则EF的长为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 计算：( 3)2= ______ ； 20= ______ ．
12. 有一个直角三角形的两边为4、5，要使三角形为直角三角形，则第三边等于______．
13. 如果最简二次根式 1+a与 4a−2是同类二次根式，那么a=______．
14. 如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是______．
15. 如图，将长8 cm，宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为________cm．
三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）
16. 已知x= 3+ 2，y= 3− 2，求x2+y2+2xy−2x−2y的值．
四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：
(1)(3− 7)(3+ 7)+ 2(2− 2)；
(2)9×3−2+(π−3)0−|−2|+ 2× 8．
18. (本小题8.0分)
如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF.试判断四边形AECF的形状并加以证明．
19. (本小题8.0分)
某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口32小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
20. (本小题9.0分)
如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC.若BC=2 3，求AB的长．
21. (本小题9.0分)
如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？
22. (本小题12.0分)
如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN//BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
(1)求证：OE=OF；
(2)若CE=12，CF=5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
23. (本小题12.0分)
如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
(1)如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
(2)如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意得，x−2≥0，
解得，x≥2，
故选：D．
根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据菱形、矩形、正方形的判定逐个判断即可．
本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、 12= 22，不是最简二次根式，故此选项错误；
B、 5，是最简二次根式，故此选项正确；
C、 4=2，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、 0.8= 45，不是最简二次根式，故此选项错误．
故选：B．
直接利用最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案．
此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵32+42=52，故选项A中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
∵0.62+0.82=12，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
∵(32)2+22≠32，故选项C中的三条线段不能构成直角三角形，符合题意；
∵12+22=( 5)2，故选项D中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理，可以判断出各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
5.【答案】A
【解析】解：设另一直角边为x，
∵斜边的长为13，一条直角边长为5，
∴x= 132−52=12，
∴S=12×5×12=30．
故选：A．
设另一直角边为x，根据勾股定理求出x的值，再根据三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵x≥1，
∴1−x≤0，
∴ −(1−x)3= (x−1)3=(x−1) x−1．
故选：B．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出1−x的符号是解题关键．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了中点四边形，三角形中位线，矩形的判定方法.常用的方法有三种：
①一个角是直角的平行四边形是矩形．
②三个角是直角的四边形是矩形．
③对角线相等的平行四边形是矩形．
根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．
【解答】
解：如图，
AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．
∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF//AC，GH//AC，EH//BD，FG//BD(三角形的中位线平行于第三边)，
∴四边形EFGH是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，
∵AC⊥BD，EF//AC，EH//BD，
∴∠EMO=∠ENO=90°，
∴四边形EMON是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)，
∴∠MEN=90°，
∴四边形EFGH是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
故选：B．
8.【答案】B
【解析】解：∵BD= 22+12= 5，
∴BA= 5，
∴a=−1− 5，
故选：B．
根据勾股定理求出BD的长度，根据弧的半径相等得到BA的长度，从而求出a．
本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出BD的长度是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，OA=12AC=2，OB=12BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=4，
∴OB= AB2−OA2=2 3，
∴BD=2OB=4 3，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×4×4 3=8 3；
故选：C．
由菱形的性质得出AB=BC，OA=12AC=2，OB=12BD，AC⊥BD，∠BAD+∠ABC=180°，再证明△ABC是等边三角形，得出AB=AC=4，根据勾股定理求出OB，得出BD，由菱形的面积=12AC⋅BD，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、菱形面积的计算；熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理求出OB是解决问题的关键．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，计算即可．
【解答】
解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC=5，
∵∠AFB=90°，D是AB的中点，
∴DF=12AB=3，
∴EF=DE−DF=2，
故选B．
11.【答案】3 2 5
【解析】解：( 3)2=3，
20= 4×5=2 5，
故答案为：3；2 5．
根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质计算即可．
本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式的性质，掌握二次根式的乘法法则、二次根式的性质是解题的关键．
12.【答案】3或 41
【解析】
【分析】
本题考查勾股定理，解题的关键是注意分情况讨论．
分两种情况讨论：①若4是直角边，5是斜边，②若4和5都是直角边，再利用勾股定理求出第三边．
【解答】
解：①若4是直角边，5是斜边，那么第三边= 52−42=3；
②若4和5都是直角边，那么第三边= 42+52= 41．
故答案是3或 41．
13.【答案】1
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义建立关于a的方程，求出a的值．
本题考查了同类二次根式，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
【解答】
解：∵最简二次根式 1+a与 4a−2是同类二次根式，
∴1+a=4a−2，
解得a=1．
故答案为1．
14.【答案】10cm
【解析】解：如图1所示：
AB= (3+3)2+82=10(cm)，
如图2所示：
AB= (3+8)2+32= 130(cm)．
∵10< 130，
∴蚂蚁爬行的最短路程是10cm．
故答案为：10cm．
将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
此题考查了平面展开−最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．
15.【答案】2 5
【解析】解：连接AC，与EF交于O点，
∵E点在AB上，F在CD上，A、C点重合，EF是折痕，
∴AO=CO，EF⊥AC，
∵AB=8，BC=4，
∴AC= 82+42=4 5，
∵AE=CE，
∴∠EAO=∠ECO，
∴△OEC∽△BCA，
∴OE：BC=OC：BA，
∴OE= 5，
∴EF=2OE=2 5．
故答案为：2 5．
连接A、C，则EF垂直平分AC，推出△OEC∽△BCA，根据勾股定理，可以求出AC的长度，根据相似比求出OE，即可得出EF的长．
本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、折叠的性质；熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
16.【答案】解：∵x= 3+ 2，y= 3− 2，
∴x2+y2+2xy−2x−2y
=(x+y)2−2(x+y)
=(x+y)(x+y−2)
=( 3+ 2+ 3− 2)( 3+ 2+ 3− 2−2)
=2 3×(2 3−2)
=12−4 3．
【解析】首先对所求的式子分解因式然后代入数值计算求解．
本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，正确对所求的式子分解因式是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(3− 7)(3+ 7)+ 2(2− 2)
=9−7+2 2−2
=2 2；
(2)9×3−2+(π−3)0−|−2|+ 2× 8
=9×19+1−2+ 16
=1+1−2+4
=4．
【解析】(1)先计算二次根式的乘法运算，再合并即可；
(2)先计算负整数指数幂，零次幂，化简绝对值，二次根式的乘法运算，再合并即可．
本题考查的是二次根式的乘法运算，零次幂与负整数指数幂的含义，熟记运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵矩形ABCD中，AB//DC，
∴∠DCE=∠CEB，
∵∠DCE=∠BAF，
∴∠CEB=∠BAF，
∴FA//CE，
又矩形ABCD中，
FC//AE，
∴四边形AECF是平行四边形．
【解析】证得FA//CE后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判断即可．
考查了平行四边形的判定及矩形的性质，解题的关键是牢记平行四边形的五种判定方法，难度不大．
19.【答案】解：根据题意，得
PQ=16×1.5=24(海里)，
PR=12×1.5=18(海里)，
QR=30(海里)，
∵242+182=302，
即PQ2+PR2=QR2，
∴∠QPR=90°．
由“远洋号”沿东北方向航行可知，∠QPS=45°，则∠SPR=45°，
即“海天”号沿西北方向航行．
【解析】本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据路程=速度×时间分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．
20.【答案】解：连接BO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC//AB，∠DCB=90°．
∴∠FCO=∠EAO．
在△COF和△AOE中，
∠FCO=∠EAO∠COF=∠AOECF=AE，
∴△COF≌△AOE(AAS)，
∴OE=OF，OA=OC．
∵BF=BE，
∴BO⊥EF，
在Rt△BEO中，
∠BEF+∠ABO=90，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：
∴BO=AO=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵2∠BAC+∠BAC=90°，
∴∠BAC=30，
∵BC=2 3，
∴AC=2BC=4 3，
∴AB= AC2−BC2=6．
∴AB的长为6．
【解析】连接BO，由矩形的性质得出DC//AB，∠DCB=90°.证明△COF≌△AOE(AAS)，由全等三角形的性质得出OE=OF，OA=OC.再根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠BAC等于30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．
本题考查了矩形的性质．等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是证明Rt△BFO≌Rt△BFC．
21.【答案】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
AB+BC+AC=36cm，
∴3x+4x+5x=36，
得x=3，
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，
∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP=9−3×1=6(cm)，BQ=2×3=6(cm)，
∴S△PBQ=12BP⋅BQ=12×(9−3)×6=18(cm2).
故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．
【解析】本题先设适当的参数求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．
本题是道综合性较强的题，需要学生把勾股定理的逆定理、三角形的面积公式结合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，是解题的关键．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
22.【答案】(1)证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN//BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
(2)解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF= CE2+CF2= 144+25=13，
∴OC=12EF=132；
(3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，
理由如下：当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【解析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；
(2)根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；
(3)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
本题考查了矩形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23.【答案】解：(1)结论：PB=PQ，
理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形．
∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
∠PFQ=∠PEBPF=PE∠QPF=∠BPE，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE(ASA)，
∴PB=PQ；
(2)结论：PB=PQ．
理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
∠PFQ=∠PEBPF=PE∠QPF=∠BPE，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE(ASA)，
∴PB=PQ．
【解析】(1)结论：PB=PQ，如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F.只要证明Rt△PQF≌Rt△PBE即可．
(2)结论不变，证明方法类似．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，属于中考常考题型．
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