2023-2024学年湖北省十四校协作体高一（下）质检数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省十四校协作体高一（下）质检数学试卷（3月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数z=(1+i)21−i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.集合A={x|tanx=0}，B={x|csx=0}，则( )
A. A=BB. A⊆BC. A⊇BD. A∩B=⌀
3.△ABC中，D为AB中点，E为线段BC上靠近B的三等分点，CD，AE交于G，BG交AC于F，若BF=λBE+μBD，则λμ=( )
A. 23B. 34C. 43D. 32
4.已知cs(α−β)=3cs(α+β)，则tanα⋅tanβ的值为( )
A. 13B. 23C. 12D. 34
5.△ABC中A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+c2+ac=b2，sinAsinC= 3−14，则cs(A−C)=( )
A. 32B. 12C. 6+ 24D. 6− 24
6.△ABC中，AB，BC，CA中点分别为D，E，F，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三角形内O点满足4(OD)2−c2=4(OE)2−a2=4(OF)2−b2，则S△ABO：S△AOC：S△BOC=( )
A. sinC：sinB：sinAB. csC：csB：csA
C. tanC：tanB：tanAD. sin2C：sin2B：sin2A
7.已知△ABC的三边a，b，c满足 an+bn=cn(n∈N,n>2).则△ABC为( )
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定
8.平面内有向量a，b，c满足|a|=|c|=2|b|=2，a⋅b=0，则|a−c|+2|b−c|的最小值为( )
A. 2B. 2 5C. 2 3D. 2 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有向量a，b，c，满足(a⋅b)⋅c=(a⋅c)⋅b=(b⋅c)⋅a，这三组向量中共线的组数可能有且仅有( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
10.下列说法中正确的有( )
A. csx+csy=m,sinx+siny=n,则cs(x−y)=m2+n2−22
B. csx+csy=m，sinx+siny=n，则tan(x+y)=2m3(m+n)(m−n)n
C. cs(x+y)=m，sin2x−sin2y=n，则sin(x−y)=m2n
D. sin2xsin2y=k,则tan(x+y)tan(x−y)=k+1k−1
11.△ABC的三条高交于一点H，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanB⋅(2HA+HB)+tanC⋅HC=0，下列说法中正确的有( )
A. A=2B
B. S△BHC=2S△AHC
C. 3sin2A+cs2(A+B)=3sin2B+1
D. 若tanB∈[1,2]，则tanC的取值范围为[67,1]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若x∈R，则|2−csx−isinx−i|的最小值为______．
13.已知三角函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)，又已知函数y=f(x)满足如下条件：x=−π4为f(x)的一个零点，x=π4为f(x)的一条对称轴，且f(x)在区间(π10,π5)上单调.则ω的最大值为______．
14.f(x)=|2asinx+2bcsx|+|acsx−bsinx|(a,b∈R)的最大值为 5，则复数z=a+bi的模为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)计算：−sin7π30+isin11π15cs2π5+isin3π5；
(2)求值：(1+ 3tan10°)sin130°．
16.(本小题15分)
如图，正方形ABCD中，E、F分别为线段AB、BC上的点，满足AE=BF，连接DE、AF交于点G．
(1)求证：DE⊥AF；
(2)设AE=x,AB=1,DG=λDA+μDF，求μλ的最大值和λu的最大值．
17.(本小题15分)
如图，三角形ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2a−cb=csCcsB,c=acsB+b2，D，E为线段BC上两点，满足∠DAE=π6．
(1)判断△ABC的形状，并证明；
(2)证明：BD2+EC2+BD⋅EC=DE2；
(3)直接写出S△ADES△ABC的最小值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=|sinx|+|csx|．
(1)求函数的值域；
(2)设g(x)=|sinx+csx|−2sinxcsx，若∀x，g(t)≤f(x)+ 2−12恒成立，求t∈(0,2π3)时，t的最大值．
19.(本小题17分)
向量外积(又称叉积)广泛应用于物理与数学领域.定义两个向量a与b的叉积a×b=c，规定c的模长为|c|=|a|⋅|b|⋅sin〈a，b〉，c与a、b所在平面垂直，其方向满足如图1所示规则，且须满足如图所示的排列顺序.已知向量外积满足分配律，且λa×μb=λμ(a×b).
(1)直接写出结果：①a×a=_____；②a×b+b×a=_____；
(2)空间直角坐标系中有向量a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，
①若c=a×b，用含x1，y1，z1，x2，y2，z2的坐标表示c；
②若c=(x3,y3,z3)证明：(a×b)×c=b(a⋅c)−a(b⋅c)；
(3)如图2所示，平面直角坐标系xOy中有三角形OAB，A(x1,y1)，B(x2,y2)，试探究S△OAB的表达式．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵z=(1+i)21−i=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，
∴z=−1−i．
∴z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为：(−1,−1)，在第三象限．
故选：C．
利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：集合A={x|tanx=0}={x|x=kπ,k∈Z}，
B={x|csx=0}={x|x=kπ+π2,k∈Z}，
则A∩B=⌀．
故选：D．
化简集合A、B，再判断A、B的关系．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：设CG=xCD，则CD=1xCG，
因为D是AB的中点，
所以CD=12CA+12CB=12CA+12⋅32CE=12CA+34CE，
所以1xCG=12CA+34CE，即CG=x2CA+3x4CE，
因为A，G，E三点共线，所以x2+3x4=1，解得x=45，
所以CG=45CD，
所以BG=BC+CG=BC+45CD=BC+45(BD−BC)=15BC+45BD=35BE+45BD，
又B，G，F三点共线，
所以可设BF=yBG=y(35BE+45BD)=3y5BE+4y5BD，
因为BF=λBE+μBD，所以λ=3y5，μ=4y5，
所以λμ=34．
故选：B．
设CG=xCD，根据向量的线性运算法则，可得CG=x2CA+3x4CE，利用A，G，E三点共线，求得x=45，进而得BG=35BE+45BD，再根据B，G，F三点共线，求解即可．
本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的线性运算法则，三点共线的条件是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：由已知可得csαcsβ+sinαsinβ=3csαcsβ−3sinαsinβ，
则4sinαsinβ=2csαcsβ，
所以tanαtanβ=12．
故选：C．
利用余弦的和差角公式化简即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为a2+c2+ac=b2，即a2+c2−b2=−ac，所以csB=a2+c2−b22ac=−12，
由A+C=π−B，得cs(A+C)=csAcsC−sinAsinC=−csB=12，
即csAcsC− 3−14=12，可得csAcsC= 3−14+12= 3+14，
因此，cs(A−C)=csAcsC+sinAsinC= 3+14+ 3−14= 32．
故选：A．
利用余弦定理算出csB=−12，结合诱导公式算出cs(A+C)=12，根据两角和的余弦公式算出csAcsC= 3+14，进而算出cs(A−C)的值．
本题主要考查余弦定理、三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数公式等知识，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：因为4(OD)2−c2=4(OE)2−a2=4(OF)2−b2，
所以4(OD)2−AB2=4(OE)2−BC2=4(OF)2−CA2，
(2OD)2−AB2=(2OE)2−BC2=(2OF)2−CA2，
所以(OB+OA)2−(OB−OA)2=(OC+OB)2−(OC−OB)2=(OA+OC)2−(OA−OC)2∖]，
所以OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，
所以OB⋅(OA−OC)=OC⋅(OB−OA)=OA⋅(OB−OC)=0，
所以OB⋅CA=OC⋅AB=OA⋅CB=0，
所以点O为△ABC的垂心，
连接AO，BO，CO并延长交BC，AC，AB于点M，N，P，
所以S△ABOS△AOC=12AO⋅BM12AO⋅CM=BMCM=AM⋅tanCAM⋅tanB=tanCtanB，
S△ABOS△BOC=12BO⋅AN12BO⋅CN=ANCN=BN⋅tanCBN⋅tanA=tanCtanA，
所以S△ABO：S△AOC：S△BOC=tanC：tanB：tanA．
故选：C．
根据向量运算，化简条件等式，证明点O为△ABC的垂心，连接AO，BO，CO并延长交BC，AC，AB与点M，N，P，由此可求S△ABO：S△AOC：S△BOC．
本题考查平面向量的数量积运算，考查正弦定理及三角形的面积公式，属中档题．
7.【答案】A
【解析】解：∵△ABC的三边a，b，c满足an+bn=cn(n∈N,n>2)，
∴(ac)n+(bc)n=1，0∴1<(ac)2+(bc)2，
∴a2+b2>c2．
∴csC=a2+b2−c22ab>0，
∴C为锐角，
又C为最大角，∴△ABC为锐角三角形．
故选：A．
利用三角形的三边大小关系、指数函数的单调性、余弦定理即可得出．
本题考查了三角形的三边大小关系、指数函数的单调性、余弦定理，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为a⋅b=0，所以=π2，
如图，设AB=a，AE=c，AC=b，
则BE=|a−c|，CE=|b−c|，
延长AC至点D，使得AD=4AC=2AE，
构造△ACE∽△AED，
所以DECE=AEAC=12AD14AD=2，所以DE=2CE，
则|a−c|+2|b−c|=BE+2CE=BE+DE≥BD= a2+b2=2 5．
故选：B．
由条件=π2，结合题意作出图形，构造△ACE∽△AED，
本题考查向量模的求法，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：若a,b,c至少有两个为0，不妨设a=b=0，
则(a⋅b)⋅c=0⋅c=0,(a⋅c)⋅b=0⋅b=0，(b⋅c)⋅a=0⋅c=0，
满足条件(a⋅b)⋅c=(a⋅c)⋅b=(b⋅c)⋅a，
此时三组向量中两两共线的有3组，故D正确；
若a,b,c有且仅有1个为0，不妨设a=0,b,c均为非零向量，
则(a⋅b)⋅c=0,(a⋅c)⋅b=0,(b⋅c)⋅a=0，
所以(a⋅b)⋅c=(a⋅c)⋅b=(b⋅c)⋅a，此时b,c可能共线，也可能不共线，
此时三组向量中两两共线的有2组或3组，故C正确，
若向量a,b,c均为非零向量，且向量a,b,c两两互相垂直，
则(a⋅b)⋅c=(a⋅c)⋅b=(b⋅c)⋅a=0，
此时三组向量中两两共线的有0组，故A正确，
若三组向量中两两共线的有1组，则向量a,b,c均为非零向量，
不妨设a,b共线，a,c不共线，c,b不共线，与(a⋅b)⋅c=(a⋅c)⋅b矛盾，故B错误．
故选：ACD．
根据已知条件进行分类讨论，列举出A，C，D三个选项的可能情况即可，利用反证法判断B错误．
本题考查平面向量数量积的性质及向量共线的判定，属中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：对A，因为csx+csy=m，sinx+siny=n，分别平方可得，
cs2x+cs2y+2csxcsy=m2，sin2x+sin2y+2sinxsiny=n2，
相加可得，2+2cs(x−y)=m2+n2，所以cs(x−y)=m2+n2−22，A正确；
对B，因为csx+csy=m，所以cs(x+y2+x−y2)+cs(x+y2−x−y2)=m，
所以2csx+y2csx−y2=m，
因为sinx+siny=n，所以sin(x+y2+x−y2)+sin(x+y2−x−y2)=n，
所以2sinx+y2csx−y2=n，所以tanx+y2=nm，
所以tan(x+y)=2tanx+y21−tan2x+y2=2⋅nm1−n2m2=2mnm2−n2=2mn(m+n)(m−n)，B错误；
对C，因为sin2x−sin2y=n，所以sin[(x+y)+(x−y)]−sin[(x+y)−(x−y)]=n，
所以2cs(x+y)sin(x−y)=n，又cs(x+y)=m，所以sin(x−y)=n2m，C错误；
对D，因为sin2x=sin[(x+y)+(x−y)]=sin(x+y)cs(x−y)+cs(x+y)sin(x−y)，
sin2y=sin[(x+y)−(x−y)]=sin(x+y)cs(x−y)−cs(x+y)sin(x−y)，sin2xsin2y=sin(x+y)cs(x−y)+cs(x+y)sin(x−y)sin(x+y)cs(x−y)−cs(x+y)sin(x−y)=tan(x+y)+tan(x−y)tan(x+y)−tan(x−y)，
所以tan(x+y)+tan(x−y)tan(x+y)−tan(x−y)=k，
所以tan(x+y)+tan(x−y)=ktan(x+y)−ktan(x−y)，
所以tan(x+y)tan(x−y)=k+1k−1，D正确．
故选：AD．
对于A，由条件等式平方相加，结合两角差余弦公式，平方关系化简可求cs(x−y)，即可判断，对于B，结合两角和差余弦公式和正弦公式化简求tanx+y2，再由二倍角正切公式求tan(x+y)，即可判断，对于C，结合两角和差正弦公式化简sin2x−sin2y=n，由此可求sin(x−y)，即可判断，对于D，利用两角和差正弦公式，结合同角关系可得tan(x+y)+tan(x−y)tan(x+y)−tan(x−y)=k，化简判断D．
本题考查两角和差公式，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：在△ABC中tanA⋅HA+tanB⋅HB+tanC⋅HC=0，
结合条件tanB⋅(2HA+HB)+tanC⋅HC=0，可知tanA=2tanB，故A错误；
由S△BHC：S△AHC=tanA：tanB=2可知B正确；
由tanA=2tanB，整理得sinAcsA⋅csBsinB=a⋅a2+c2−b22acb⋅b2+c2−a22bc=2，整理得3a2=3b2+c2，即3sin2A=3sin2B+sin2(A+B)，3sin2A+cs2(A+B)=3sin2B+1，故C正确；
由tanC=tan[π−(A+B)]=−tan(A+B)=tanA+tanBtanAtanB−1，把tanA=2tanB代入：可整理得：tanC=3tanB2tan2B−1=32tanB−1tanB，当tanB∈[1,2]，故tanC=32tanB−1tanB∈[67,1]；故D正确，
故选：BCD．
直接利用向量的线性运算，余弦定理，三角函数的和角的正切运算判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识点：向量的运算，余弦定理和三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】 5−1
【解析】解：|2−csx−isinx−i|=|2−csx−(1+sinx)i|
= (2−csx)2+(1+sinx)2= 6+2sinx−4csx= 6+2 5sin(x−θ)≥ 6−2 5= 5−1，
当且仅当csθ= 55，sinθ=2 55时，等号成立，
故|2−csx−isinx−i|的最小值为 5−1．
故答案为： 5−1．
根据已知条件，结合复数模公式，以及三角函数有界性，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
13.【答案】5
【解析】解：因为x=−π4是f(x)的一个零点，
所以−π4ω+φ=k1π(k1∈Z)，
因为x=π4是f(x)的一条对称轴，
所以π4ω+φ=k2π+π2(k2∈Z)，
故π2ω=(k2−k1)π+π2，
所以ω=2(k2−k1)+1，
因为y=f(x)在区间(π10,π5)上单调，
设函数f(x)的周期为T，则T2≥π5−π10=π10，
所以πω≥π10，
所以ω≤10，所以ω的可能取值为9，7，5，3，1，
当ω=9时，φ=π4，f(x)=sin(9x+π4)，
因为9×(−π4)+π4=−2π,9×π4+π4=5π2，
x=−π4为f(x)的一个零点，x=π4为f(x)的一条对称轴，
由π10函数y=sint在(23π20,41π20)不单调，所以函数f(x)在(π10,π5)上不单调，不满足要求，
当ω=7时，φ=−π4，f(x)=sin(7x−π4)，
因为7×(−π4)−π4=−2π,7×π4−π4=3π2，
x=−π4为f(x)的一个零点，x=π4为f(x)的一条对称轴，
由π10函数y=sint在(9π20,23π20)不单调，
所以函数f(x)在(π10,π5)上不单调，不满足要求，
当ω=5时，φ=π4，f(x)=sin(5x+π4)，
因为5×(−π4)+π4=−π,5×π4+π4=3π2，5×π4+π4=3π2，
x=−π4为f(x)的一个零点，x=π4为f(x)的一条对称轴，
π10所以函数f(x)在(π10,π5)上单调，满足要求，所以ω的最大值为5．
故答案为：5．
由已知结合正弦函数零点及对称轴的取得条件可表示ω，然后由ω的取值特点，集合正弦函数的单调性分析ω的取值情况即可判断．
本题主要考查了正弦函数的零点，对称性及单调性的综合应用，体现了分类讨论及转化思想的应用，属于中档题．
14.【答案】1
【解析】解：根据题意，f(x)=|2asinx+2bcsx|+|acsx−bsinx|=2|asinx+bcsx|+|acsx−bsinx|，
= a2+b2[2|sinx(x+θ)|+|cs(x+θ)|]，(tanθ=ba)，
设|sin(x+θ)|=m，|cs(x+θ)|=n，则有f(x)= a2+b2(2m+n)，
又由m2+n2=1，
由柯西不等式，(2m+n)2≤(m2+n2)(22+12)=5，当m=2n时等号成立，
故f(x)的最大值为5 a2+b2，则有a2+b2=1，
复数z=a+bi的模|z|= a2+b2=1．
故答案为：1．
根据题意，将f(x)的解析式变形可得f(x)= a2+b2[2|sinx(x+θ)|+|cs(x+θ)|]，设|sin(x+θ)|=m，|cs(x+θ)|=n，利用柯西不等式求出2m+n的最大值，分析可得a2+b2=1，结合复数模的计算公式分析可得答案．
本题考查三角函数的恒等变形以及函数的最值，涉及复数的模，属于基础题．
15.【答案】解：(1)−sin7π30+isin11π15cs2π5+isin3π5=cs(π2+7π30)+isin11π15cs2π5+isin(π−2π5)=cs11π15+isin11π15cs2π5+isin2π5
=cs(11π15−2π5)+isin(11π15−2π5)=csπ3+isinπ3=12+ 32i；
(2)(1+ 3tan10°)sin130°=cs10°+ 3sin10°cs10°sin130°
=2sin(10°+30°)sin(90°+40°)cs10∘=2sin40°cs40°cs10∘=sin80°sin80∘=1．
【解析】(1)根据复数三角表示的除法运算计算即可；(2)先化切为弦，然后根据辅助角公式，诱导公式及倍角公式化简即可得解．
本题考查复数的运算，考查三角恒等变换，属于中档题．
16.【答案】解：(1)如图，建立平面直角坐标系，
不妨设AB=1，AE=x∈[0,1]，
则A(0,1)，B(1,1)，C(1,0)，D(0,0)，E(x,1)，F(1,1−x)，
可得DE=(x,1),AF=(1,−x)，
因为DE⋅AF=x−x=0，可知DE⊥AF，所以DE⊥AF；
(2)因为A，G，F三点共线，且DG=λDA+μDF，可知λ>0，μ≥0，λ+μ=1，
由(1)可知DA=(0,1),DF=(1,1−x),DE=(x,1)，
则DG=λDA+μDF=(μ,λ+μ(1−x))=(μ,1−μx)，
又因为DG//DE，则μ=x−μx2，
可得μ=x1+x2,λ=1−μ=x2−x+11+x2，
则μλ=x1+x2x2−x+11+x2=xx2−x+1，
若x=0，则μλ=0；
若x∈(0,1]，则μλ=xx2−x+1=1x+1x−1≤12 x⋅1x−1=1，
当且仅当x=1x，即x=1时，等号成立；
综上所述：μλ的最大值为1；
又因为λμ≤(λ+μ)24=14，当且仅当λ=μ=12，即x=1时，等号成立；
所以λu的最大值为14．
【解析】(1)建立平面直角坐标系，利用平面向量证明垂直关系；
(2)根据三点共线可得λ+μ=1，利用向量的坐标运算可得μ=x1+x2,λ=x2−x+11+x2，进而结合基本不等式求最值．
本题考查平面向量的线性运算和数量积，属于中档题．
17.【答案】证明：(1)等边三角形，证明如下，
因为2a−cb=csCcsB，由正弦定理得到2sinA−sinCsinB=csCcsB，即2sinAcsB−sinCcsB=sinBcsC，
所以2sinAcsB=sinCcsB+sinBcsC=sin(B+C)=sinA，又A∈(0,π)，所以sinA≠0，
得到csB=12，又B∈(0,π)，所以B=π3，
又c=acsB+b2，由正弦定理得sinC=sinAcsB+sinB2，
又sinC=sin(B+A)=sinBcsA+csBsinA，所以sinBcsA=sinB2，得到csA=12，
又A∈(0,π)，所以A=π3,C=π−A−B=π3，故△ABC为等边三角形；
(2)如图，作∠CAF=∠BAD，AF=AD，连接CF，EF，过F作FG⊥BC的延长线于G，

由(1)知AC=AB，所以△BAD≅△CAF，得到CF=BD,∠ACF=π3，
又∠ACB=π3，所以∠FCG=π3，在Rt△CGF中，CG=12CF=12BD,FG= 32CF= 32BD，
又∠DAE=π6,A=π3，所以∠BAD+∠EAC=∠CAF+∠EAC=π6，
所以∠DAE=∠EAF，又AF=AD，AE=AE，所以△DAE≅△FAE，得到DE=EF，
在Rt△EGF中，DE2=EF2=EG2+FG2=(EC+12BD)2+( 32BD)2=EC2+EC⋅BD+14BD2+34BD2，
即BD2+EC2+BD⋅EC=DE2；
解：(3)因为S△ADES△ABC=12AD⋅AEsinπ612AB⋅ACsinπ3= 33AD⋅AEAB⋅AC，
在△ABD中，ADAB=sinBsin∠ADB=sinπ3sin∠ADE，在△AEC中，AEAC=sinCsin∠AEC=sinπ3sin∠AED，
所以S△ADES△ABC= 3334sin∠ADE⋅sin∠AED= 341sin∠ADE⋅sin∠AED，
不妨令∠ADE=θ，则∠AED=5π6−θ，
所以sin∠ADE⋅sin∠AED=sinθsin(5π6−θ)=sinθ(12csθ+ 32sinθ)=14sin2θ+ 34sin2θ=14sin2θ+ 32⋅1−cs2θ2=14sin2θ− 34cs2θ+ 34=12sin(2θ−π3)+ 34，
当θ=5π12时，即∠ADE=∠AED=5π12,sin∠ADE⋅sin∠AED取到最大值12+ 34，
此时S△ADES△ABC最小，最小值为2 3−3．
【解析】(1)根据条件，利用正弦定边边转角，得到B=π3,A=π3，即可求出结果；
(2)作∠CAF=∠BAD，AF=AD，连接CF，EF，过F作FG⊥BC的延长线于G，根据几何关系，利用△BAD≅△CAF，△DAE≅△FAE，得到CF=BD，DE=EF，在Rt△EGF，利用勾股定理，即可证明结果；
(3)利用三角形面积公式和正弦定理，得到S△ADES△ABC= 341sin∠ADE⋅sin∠AED，不妨令∠ADE=θ，则∠AED=5π6−θ，得到sin∠ADE⋅sin∠AED=12sin(2θ−π3)+ 34，求出sin∠ADE⋅sin∠AED的最大值，即可解决问题．
本题考查了正弦定理和三角形的面积公式，属于难题．
18.【答案】解：(1)当2kπ≤x<2kπ+π2时，f(x)=sinx+csx= 2sin(x+π4)，
所以2kπ+π4≤x+π4<2kπ+3π4,1≤ 2sin(x+π4)≤ 2，
所以1≤f(x)≤ 2，
当2kπ+π2≤x<2kπ+π时，f(x)=sinx−csx= 2sin(x−π4)，
所以2kπ+π4≤x−π4<2kπ+3π4,1≤ 2sin(x−π4)≤ 2，
所以1≤f(x)≤ 2，
当2kπ+π≤x<2kπ+3π2时，f(x)=−sinx−csx=− 2sin(x+π4)，
所以2kπ+5π4≤x+π4<2kπ+7π4,1≤− 2sin(x+π4)≤ 2，
所以1≤f(x)≤ 2，
当2kπ+3π2≤x<2kπ+2π时，f(x)=−sinx+csx=− 2sin(x−π4)，
所以2kπ+5π4≤x−π4<2kπ+7π4,1≤− 2sin(x−π4)≤ 2，
所以1≤f(x)≤ 2，
所以函数f(x)的值域为[1, 2]；
(2)因为∀x,g(t)≤f(x)+ 2−12恒成立，
所以g(t)≤(f(x)+ 2−12)min，
所以g(t)≤ 2+12，
所以|sint+cst|−2sintcst≤ 2+12，
sint+cst= 2sin(x+π4)，
当时t∈(0,2π3),π4所以sint+cst>0，
所以sint+cst−2sintcst≤ 2+12，
设sint+cst=μ，则2sintcst=μ2−1，
所以μ−μ2+1≤ 2+12，
所以2μ2−2μ+ 2−1≥0，
所以( 2μ−1)( 2μ− 2+1)≥0，
所以μ≥ 22或μ≤1− 22，
所以sint+cst≥ 22或sint+cst≤1− 22，
所以 2sin(t+π4)≥ 22或 2sin(t+π4)≤1− 22，
所以sin(t+π4)≥12或sin(t+π4)≤ 22−12，
又π4所以t+π4≤5π6，
所以t≤7π12，
所以t的最大值为7π12．
【解析】(1)讨论x的象限，化简函数f(x)，再求其值域；
(2)利用(1)的结论求f(x)+ 2−12的最小值，化简条件，解不等式求t的最大值．
本题考查了三角函数的恒等变换和函数不等式的恒成立问题，属于中档题．
19.【答案】解：(1)①|a×a|=|a||a|sin〈a,a〉=0，故a×a=0；
②由于|a×b|=|b×a|=|a||b|sin〈a,b〉，所以|a×b|=|b×a|，
但是a×b与b×a的方向相反，故a×b+b×a=0；
(2)①由题意可设x，y、z方向的单位向量i,j,k，则i×i=j×j=k×k=0,i×j=k,j×k=i,i×k=−j，
c=x1i×(x2i+y2j+z2k)+y1j×(x2i+y2j+z2k)+z1k×(x2i+y2j+z2k)
=x1x2(i×i)+x1y2(i×j)+x1z2(i×k)+x2y1(j×i)+y1y2(j×j)+y1z2(j×k)+x2z1(k×i)+y2z1(k×j)+z1z2(k×k)
=0+x1y2k−x1z2j−x2y1k+0+y1z2i+x2z1j−y2z1i+0
=(y1z2−y2z1)i+(x2z1−x1z2)j+(x1y2−x2y1)k，
综上，c=(y1z2−y2z1,x2z1−x1z2,x1y2−x2y1)；
证明：②(a×b)×c=[(x1,y1,z1)×(x2,y2,z2)]×(x3,y3,z3)=(y1z2−y2z1,x2z1−x1z2,x1y2−x2y1)×(x3,y3,z3)
=(x2z1z3−x1z2z3−y3x1y2+y3x2y1,x3x1y2−x3x2y1−y1z2z3+y2z1z3,y3y1z2−y3y2z1−x3x2z1+x3x1z2)
=(x2(x1x3+y1y3+z1z3),y2(x1x3+y1y3+z1z3),z2(x1x3+y1y3+z1z3))−(x1(x2x3+y2y3+z2z3),y1(x2x3+y2y3+z2z3),z1(x2x3+y2y3+z2z3))
=b(a⋅c)−a(b⋅c)，得证；
(3)由(2)问知c=(y1z2−y2z1,x2z1−x1z2,x1y2−x2y1),S△OAB=12|OA||OB|sin〈OA,OB〉=12|OA×OB|=|x1y2−x2y1|2．
【解析】(1)根据外积的定义，结合外积的模长即可求解；
(2)设单位向量i,j,k，根据外积定义得i×i=j×j=k×k=0,i×j=k,j×k=i,i×k=−j，即可根据外积定义代入化简求解；
(3)根据三角形的面积公式与外积表达，即可结合(2)的坐标运算求解．
本题考查了外积的定义和三角形的面积公式，属于难题．